精品解析：四川省广安市友实学校2024-2025学年高二上学期第一次月月考数学试题

广安友实学校 2024-2025学年度第一次月考 高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解. 【详解】点关于z轴的对称点为B， 所以. 故选：A. 2. 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率. 【详解】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个； 则这两个数都是奇数包含的基本事件有：，，，共个； 所以这两个数都是奇数的概率是. 故选：C. 3. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 4. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 【答案】D 【解析】 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 5. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解. 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得， 即，即，解得. 故选：D 6. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 7. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4.从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是红球”，C表示事件“取出的两球同色”，则下列说法错误的是（ ） A. A与C互斥 B. A与B相互独立 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A写出事件A和事件C包含的情况，得到；B写出不放回的依次取出两个球总的情况，进而得到，进而求出；C写出包含的情况数，得到；D写出包含事件，共4种情况，从而得到概率. 【详解】A，事件A包含， 事件C包含，显然，故A与C互斥，A正确； B，从中不放回的依次取出两个球为，共12种情况，故， 事件B包含，共6种情况，故， 事件AB包含，共4种情况，故， 由于，故A与B相互独立，B正确； C，包含，共9种情况，故，C错误； D，事件包含， 由于事件A包含， 故包含事件，共4种情况， ，D正确. 故选：C 8. 一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接相交于点，连接，以为原点，分别以所在的直线为轴正方向建立空间直角坐标系，设，求出，求出平面的一个法向量，利用可得答案. 【详解】如图，在正四棱锥中，连接相交于点，连接， 则平面，且， 以为原点，分别以所在的直线为轴正方向建立空间直角坐标系， 设，由， 可得， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，， 可得，所以， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和向量的数量积为零求解. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场 B. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈 C. 随机试验的频率与概率相等 D. 用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据概率和频率的概念即可判断答案. 【详解】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，则A，B是错的.频率受试验次数的影响，不稳定，但当试验次数较多时频率会稳定在概率附近，则C错误，D正确. 故选：ABC. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离是 C. D. 异面直线与所成角的正切值为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算判断A，建立空间直角坐标系利用空间向量模的坐标求法判断C，利用投影公式结合勾股定理判断B，利用线线角的向量求法判断D即可. 【详解】依题意得，故A正确； 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， ， 对于BC，， 所以，设， 则点到直线的距离，故BC正确； 对于D，因为， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的正切值为，故D错误． 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后利用投影公式结合勾股定理得到所要求的长度即可． 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在深圳中考体育科目中，分为必考项目和选考项目，其中男生的必考项目为在200米和1000米项目中二选一：女生的必考项目为在200米、800米项目中二选一，小明（男生）、小花（女生）（两人选择每个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率是________ 【答案】## 【解析】 【分析】先列表求出所有等可能结果数和两个人选择每个项目一样的结果数，然后运用概率公式求解即可. 【详解】记事件“小明选择200米项目”为，事件“小明选择1000米项目”为，事件“小花选择200米项目”为，事件“小花选择800米项目”为， 故所有基本事件有，，，，共有4种情况， 小明、小花所选的必考项目不同的基本事件有，，，共有3种情况， 所以小明、小花所选的必考项目不同的概率为. 故答案为：. 13. 已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用模的平方得到向量积，再由投影向量公式即可求解. 【详解】由两边平方化简得：，① 因为，所以， 又，代入①得：，解得：， 所以在上的投影向量坐标为. 故答案为：. 14. 已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，与都成角，则异面直线与所成角的余弦值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由向量的数量积和四边形法则分别求出，再代入异面直线夹角公式求出即可. 【详解】 设， 因为底面是等腰直角三角形，，与都成角， 所以， 又， 所以， ， 所以， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，，， （1）若、共线，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的模长公式以及可求出、的值，可得出向量、的坐标，根据、共线，可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）分析可知以及、不共线，结合空间向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，，，，， 则，可得，，解得， 所以，，所以，， 因为，所以，解得． 【小问2详解】 解；由（1）知，，， 因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 又当时，， 所以实数的范围为． 16. 如图，在三棱柱中，D，E分别为和AB的中点，设，，. （1）用表示向量； （2）若，，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，利用空间向量的运算法则即可求解； （2）由空间向量数量积的运算律计算可得结果. 【小问1详解】 根据题意可得； 【小问2详解】 易知，且， 显然，； 所以. 17. 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题： （1）这一组的频数､频率分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数. （3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率. 【答案】（1）， （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，，，，各组的频率，再利用对立事件的概率求解，进而得到频数； （2）根据频率分布直方图，利用平均数的平均数､众数､中位数的定义求解； （3）易得和之间的人数分别为4人和2人，然后利用古典概型的概率求解. 【小问1详解】 根据题意，的这一组的频率为， 的这一组的频率为， 的这一组的频率为， 的这一组的频率为， 的这一组的频率为， 则这一组的频率为， 其频数为； 【小问2详解】 这次竞赛的平均数为， 一组的频率最大，人数最多，则众数为， 分左右两侧的频率均为，则中位数为； 【小问3详解】 记“取出的人在同一分数段”为事件， 因为之间的人数为，设为､､､， 之间有人，设为､， 从这人中选出人，有 、、、､、、、 、、、､、、、 ，共个基本事件， 其中事件E包括、、、、、、，共个基本事件， 则. 18. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为·在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求 （1）“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率; （2） “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率; （3） “星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率; 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】令{M0，M1，M2}、{N0，N1，N2}表示第一轮、第二轮猜对0个、1个、2个成语的事件，{D0，D1，D2，D3，D4}表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法公式求P(M0)=P(N0)、P(M1)=P(N1)、P(M2)=P(N2). （1）（2）应用独立事件乘法、互斥事件加法求两轮活动中猜对2个成语的概率; （3）对立事件的概率求法求两轮活动至少中猜对1个成语的概率. 【详解】设A，B分别表示甲乙每轮猜对成语的事件，M0，M1，M2表示第一轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，N0，N1，N2表示第二轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，D0，D1，D2，D3，D4表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件. ∵P(A)=，P()=1-=，P(B)=，P)=1-=， ∴根据独立性的假定得：P(M0)=P(N0)=P()= P() P()= =， P(M1)=P(N1)=P()= P()+P() = +=， P(M2)=P(N2)=P(AB)=P(A)P(B)= =， （1）P(D2)=P(M2N0+M1N1+M0N2)= P(M2N0)+P(M1N1)+P(M0N2)=.+.+.=. （2）P(D3)=P(M1N2+M2N1)= P(M1N2)+P(M2N1)= .+.=. （3）P(D1+D2+D3+D4)=1-P(D0)=1-=. 19. 如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点． （1）证明：； （2）求异面直线BM与AD所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 由底面，平面，得， 而，即直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ，， 显然，即，所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出异面直线与的方向向量，由向量的夹角公式即可得解. （3）求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 ，， 设平面的法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安友实学校 2024-2025学年度第一次月考 高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 2. 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6 3. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 5. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 6. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 7. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4.从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是红球”，C表示事件“取出的两球同色”，则下列说法错误的是（ ） A. A与C互斥 B. A与B相互独立 C. D. 8. 一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场 B. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈 C. 随机试验的频率与概率相等 D. 用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离是 C. D. 异面直线与所成角的正切值为4 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在深圳中考体育科目中，分为必考项目和选考项目，其中男生的必考项目为在200米和1000米项目中二选一：女生的必考项目为在200米、800米项目中二选一，小明（男生）、小花（女生）（两人选择每个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率是________ 13. 已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为____________. 14. 已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，与都成角，则异面直线与所成角的余弦值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，，， （1）若、共线，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 16. 如图，在三棱柱中，D，E分别为和AB的中点，设，，. （1）用表示向量； （2）若，，，求. 17. 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题： （1）这一组的频数､频率分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数. （3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率. 18. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为·在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求 （1）“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率; （2） “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率; （3） “星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率; 19. 如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点． （1）证明：； （2）求异面直线BM与AD所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $