4.2.2等差数列的前n项和公式9题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 4.2.2等差数列的前n项和公式9题型分类 一、等差数列的前n项和公式 Sn＝na1＋＝ 二、等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 三、等差数列前n项和公式的性质 (1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (2)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. (3)等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则. （一） 利用等差数列的前n项和公式求基本量 1．等差数列的通项公式：=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. 2．等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3.利用等差数列的前n项和，求解等差数列的基本量，即可得解. 题型1： 利用等差数列的前n项和公式求基本量 1-1．（2024高二·全国·课堂例题）已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 1-2．（2024高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 1-3．（2024高二·全国·课后作业）等差数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求n. 1-4．（2024高二上·江苏镇江·期中）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．78 B．100 C．116 D．120 1-5．（2024高二下·广东珠海·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 （二） 等差数列前n项和的性质 等差数列前n项和公式的性质 (1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (2)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. (3)等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则. 题型2： 等差数列片段和的性质 2-1．（2024高二上·上海闵行·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 2-2．（2024高二上·贵州贵阳·期末）等差数列的前n项和记为，且，，则=（    ） A．70 B．90 C．100 D．120 2-3．（2024高二上·甘肃金昌·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知为等差数列，若，则=（    ） A．73 B．120 C．121 D．122 2-5．（2024高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型3：等差数列前n项和与n的比值 3-1．（2024高二上·江苏常州·期末）在等差数列中,,其前项和为,则 . 3-2．（2024·贵州毕节·模拟预测）等差数列的前项和为，若且，则(    ) A． B． C． D． 3-3．（2024高二上·新疆·期末）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 题型4：两个等差数列前n项和的比值 4-1．（2024高二下·河南周口·期中）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 4-2．（2024高三上·江苏镇江·阶段练习）等差数列，的前项和分别是与，且，则 ； . 4-3．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 4-4．（2024高二下·黑龙江鹤岗·期中）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型5：等差数列奇数项与偶数项的和 5-1．（2024·山东济南·二模）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024高二·江苏·课后作业）已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式． 5-3．（2024高一下·安徽宣城·阶段练习）已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（    ） A． B． C． D． 5-4．（2024·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 5-5．（2024高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 5-6．（2024高一下·海南海口·期中）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 题型6：含绝对值的等差数列前n项和 6-1．（2024高三上·河南·期中）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 6-2．（2024高三上·江苏淮安·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式与前项和； (2)若，求数列的前项和. 6-3．（2024高二下·江苏盐城·开学考试）在等差数列中，， (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和． 6-4．（2024高二上·江苏南京·阶段练习）在公差为的等差数列中，已知，且. (1)求； (2)若，求. （三） 等差数列的前n项和与二次函数的关系 等差数列的前n项和公式与二次函数的关系： 等差数列的前n项和=+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0时,=Bn是一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 题型7：等差数列的前n项和与二次函数的关系. 7-1．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）数列为等差数列，它的前n项和为，若，则λ的值是 . 7-2．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知为等差数列的前n项和，且，则（    ） A．2600 B．2480 C．1660 D．1460 7-3．（2024高二下·上海青浦·阶段练习）等差数列的公差，其前项和为，若，则中，不同的数值有 个. 7-4．（24-25高二上·上海·期末）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年． （四） 等差数列前n项和的最值 1.通项法 若>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定； 若<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定. 2.二次函数法 对于公差为非零的等差数列{an}，由于==+(-)n，所以可用求函数最值的方法来求前n项和Sn的最值.这里应由n及二次函数图象对称轴的位置来确定n的值. 题型8：等差数列前n项和的最值 8-1．（2024高二上·湖南株洲·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式. (2)求的最大值. 8-2．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）等差数列{an}中，已知，，则的前n项和的最小值为（    ） A．S4 B．S5 C．S6 D．S7 8-3．（2024高二上·江苏苏州·开学考试）等差数列中，为它前项和，若，，，则当（    ）时，最大. A．20 B．19 C． D． 8-4．（2024高二下·安徽马鞍山·期中）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 （五） 等差数列前n项和实际应用 (1)与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现． 题型9：等差数列前n项和实际应用 9-1．（2024高二上·福建福州·期末）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（    ） A．3339块 B．3402块 C．3474块 D．3699块 9-2．（2024高二上·河北邢台·阶段练习）按照小方的阅读速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分钟.2023年10月26日，他开始阅读《巴黎圣母院》，当天他读了1个小时，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天减少2分钟，则他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为（    ） A．2023年11月12日 B．2023年11月13日 C．2023年11月14日 D．2023年11月15日 9-3．（2024高二上·江苏镇江·期中）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠．按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵．则年龄最小的儿子分到的绵是（    ） A．65斤 B．82斤 C．184斤 D．201斤 一、单选题 1．（2024高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为（    ） A．35 B．32 C．29 D．26 2．（2024高二上·江苏南京·期中）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．4 C． D． 3．（2024高三上·河南·阶段练习）中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品､从一品､正二品､从二品､正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正二品分得的俸粮是（    ） A．35石 B．48石 C．61石 D．74石 4．（2024高二下·江西九江·期末）中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第11月营收贯数为（    ） A．64 B．65 C．68 D．70 5．（2024高一下·四川成都·期末）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（    ） A．20 B．17 C．19 D．21 6．（2024高二上·甘肃兰州·期中）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 A．6 B．5 C．4 D．3 7．（2024高三上·全国·阶段练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二下·河南驻马店·阶段练习）设，分别是两个等差数列，的前n项和．若对一切正整数n，恒成立，（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二下·山东淄博·阶段练习）两个等差数列，它们的前n项和之比为，则这两个数列的第9项之比是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高三·全国·专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（    ） A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040 11．（2024高一下·河北衡水·期中）等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（   ） A．130 B．170 C．210 D．260 12．（2024高二下·湖北咸宁·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，则=（　　） A．0 B． C． D． 13．（2024高二上·黑龙江牡丹江·期末）在等差数列中，已知，，则（    ） A．90 B．40 C．50 D．60 14．（2024高二上·甘肃临夏·期中）设等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A．27 B．45 C．81 D．18 15．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．36 C．42 D．54 16．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 17．（2024高二·全国·课后作业）等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则的值是（    ） A． B． C． D． 18．（2024高一下·四川·阶段练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（    ）． A．30 B．29 C．28 D．27 19．（2024高二下·湖北·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（2024高二下·辽宁朝阳·阶段练习）等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（    ） A．11 B．11或12 C．12 D．12或13 21．（2024高三上·重庆渝中·阶段练习）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（    ） A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018 22．（2024高二上·山东济南·阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 23．（2024高二上·陕西西安·阶段练习）等差数列的前n项和，若，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．15 24．（2024高二上·福建三明·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 25．（2024高二下·全国·开学考试）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．36 C．40 D．42 二、多选题 26．（2024高二下·湖北·阶段练习）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（    ） A． B．时，的最小值为2022 C．有最大值 D．时，的最大值为4043 27．（2024高二上·广西贵港·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”其意思是：今有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共步行了一千二百六十里，求的值.关于该问题，下列结论正确的是（    ） A． B．此人第三天行走了一百二十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里 28．（2024高二下·河南信阳·阶段练习）等差数列的前项和记为，若，则成立的是（    ） A． B．的最大值是 C． D．当时，最大值为 29．（2024高二上·湖南益阳·期末）已知两个等差数列、的前项和分别为和，且，则使得为整数的的取值可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 30．（2024高二下·陕西商洛·期末）等差数列的前项和为，若，，则 ． 31．（2024高二上·湖南张家界·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则 ． 32．（2024高二上·江苏徐州·期中）已知为等差数列的前n项和，且满足，，则 . 33．（2024高二上·江苏盐城·期中）设各项均为正数的等差数列的前项和为，若，则 ． 34．（2024高二上·河南许昌·期末）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ． 35．（2024高二上·湖南株洲·阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 36．（2024高二上·内蒙古乌兰察布·期中）设等差数列{an}的前n项和为，且，则 . 37．（2024高二下·辽宁·期末）等差数列中，，前项和为，若，则 . 38．（2024高二下·辽宁阜新·期中）已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，求 . 39．（2024高三上·天津武清·阶段练习）等差数列的前项和分别是与，且，则 . 40．（2024高二下·湖北十堰·阶段练习）设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式 ． 41．（2024高三上·湖北·阶段练习）等差数列中，为其前项和，若，，则 ． 四、解答题 42．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列均为等差数列． (1)设，，求； (2)设，，求； (3)设，求． 43．（2024高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值及取得最小值时n的值． 44．（2024高二上·江苏南通·阶段练习）数列的前n项和为，对任意，点在直线上. (1)求. (2)求的最小值及此时n的值. 45．（2024高二下·广西桂林·期末）在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和，求n． 46．（2024高二上·安徽马鞍山·期中）已知等差数列，前项和为，又． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 47．（2024高二上·上海·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求． 48．（2024高二·全国·随堂练习）一个物体第1s下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m． (1)如果它从山顶下落，经过5s到达地面，那么这山的高度是多少米？ (2)如果它从1960m的高空下落到地面，要经过多长时间？ 49．（2024高二上·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值及取得最小值时的值． 50．（2024高三上·湖北·期中）已知为等差数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 51．（2024高二下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）设单调递减的等差数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)设数列的前项和为，求. 52．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列为等差数列，其前n项和为，且，，数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 53．（2024高二上·江苏盐城·期中）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式 (2)若，求的前项和. 54．（2024高三上·贵州·阶段练习）记等差数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求． 55．（2024高二下·甘肃临夏·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求等差数列的通项公式； (2)求的最小值及对应的n值． 56．（2024高二下·辽宁铁岭·期末）记等差数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求以及的最小值． 57．（2024高一下·安徽合肥·阶段练习）已知数列的前n项和 求数列的通项公式； 求证：数列是等差数列． 58．（2024高二下·全国·课后作业）已知数列的前项和，求证：是等差数列. 59．（2024高二·全国·课后作业）已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 4.2.2等差数列的前n项和公式9题型分类 一、等差数列的前n项和公式 Sn＝na1＋＝ 二、等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 三、等差数列前n项和公式的性质 (1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (2)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. (3)等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则. （一） 利用等差数列的前n项和公式求基本量 1．等差数列的通项公式：=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. 2．等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3.利用等差数列的前n项和，求解等差数列的基本量，即可得解. 题型1： 利用等差数列的前n项和公式求基本量 1-1．（2024高二·全国·课堂例题）已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 【答案】(1)2700 (2) (3)． 【分析】（1）可以直接利用公式求和； （2）可以先利用和的值求出d，再利用公式求和； （3）已知公式中的，d和，解方程即可求得n． 【详解】（1）因为，，根据公式， 可得． （2）因为，，所以．根据公式， 可得． （3）把，，代入， 得． 整理，得． 解得，或（舍去）． 所以． 1-2．（2024高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 【答案】(1)2 (2)1596 (3)11 【分析】设出公差，根据题意列出方程组，即可求得等差数列的首项和公差，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知数列为等差数列，，， 设公差为d，故， 解得； （2）数列为等差数列，，， 设公差为d，故，解得， 则； （3）由题意知数列为等差数列，，， 设公差为d，则，解得， 由，得， 解得或（舍去）， 故. 1-3．（2024高二·全国·课后作业）等差数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求n. 【答案】(1)，. (2)11 【分析】（1）利用等差数列的定义计算基本量即可； （2）利用等差数列的求和公式计算基本量即可. 【详解】（1）设公差为，则由题意可得， 又， 所以，； （2）由（1）可知， 即，所以. 1-4．（2024高二上·江苏镇江·期中）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．78 B．100 C．116 D．120 【答案】D 【分析】先利用等差数列的通项公式及求和公式列方程组求出首项和公差，进而用求和公式求出即可. 【详解】设等差数列的公差为， ， 解得， 则. 故选：D. 1-5．（2024高二下·广东珠海·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】直接利用等差数列公式计算得到答案. 【详解】设等差数列的公差为d，由题意，则， 解得，所以. 故选：A （二） 等差数列前n项和的性质 等差数列前n项和公式的性质 (1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (2)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. (3)等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则. 题型2： 等差数列片段和的性质 2-1．（2024高二上·上海闵行·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列片段和性质可得，，成等差数列，再根据等差中项的性质计算可得； 【详解】因为是等差数列，所以，，成等差数列， 则， 因为，，所以，解得. 故答案为：. 2-2．（2024高二上·贵州贵阳·期末）等差数列的前n项和记为，且，，则=（    ） A．70 B．90 C．100 D．120 【答案】D 【分析】根据等差数列前n项和的性质可得成等差数列，即可求得的值. 【详解】在等差数列中，成等差数列， 所以，则，即. 故选：D. 2-3．（2024高二上·甘肃金昌·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解. 【详解】 在等差数列中，，，成等差数列，即， 设，则，于是，解得，所以． 故选：A 2-4．（2024高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知为等差数列，若，则=（    ） A．73 B．120 C．121 D．122 【答案】B 【分析】 求得等差数列的首项和公差，从而求得正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 所以. 故选：B 2-5．（2024高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列片段和的性质可求得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，则、、为等差数列， 其公差为， 因此，. 故答案为：. 题型3：等差数列前n项和与n的比值 3-1．（2024高二上·江苏常州·期末）在等差数列中,,其前项和为,则 . 【答案】110 【分析】构造,可知是以2为首项,1为公差的等差数列,求出的通项公式,即可求得,进而求得. 【详解】解:由题知为等差数列,记数列, 所以,由,可知, 所以是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以, 所以,所以. 故答案为:110 3-2．（2024·贵州毕节·模拟预测）等差数列的前项和为，若且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等差数列前n项和构成的数列{}为等差数列，公差为原数列公差的一半﹒ 【详解】设的公差为d， ∵ ∴， 即{}为等差数列，公差为， 由知， 故﹒ 故选：A﹒ 3-3．（2024高二上·新疆·期末）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得：； ，，解得：， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：若数列为等差数列，公差为，为数列的前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列. 题型4：两个等差数列前n项和的比值 4-1．（2024高二下·河南周口·期中）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列下标的性质进行求解即可. 【详解】因为，， 所以． 故选：D 4-2．（2024高三上·江苏镇江·阶段练习）等差数列，的前项和分别是与，且，则 ； . 【答案】 / / 【分析】空1：根据等差数列的性质和求和公式，得到，代入即可求解；空2：设，，，代入即可求出. 【详解】空1：由等差数列的前项和公式，可得， 又由等差数列的性质，可得， 因为，可得. 空2：设， 所以， ，所以. 故答案为：；. 4-3．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得，再根据等差数列的求和公式可得，结合已知条件求解即可 【详解】设等差数列的公差为，则， 因为， 所以， 因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 所以， 故选：C 4-4．（2024高二下·黑龙江鹤岗·期中）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的求和公式，设，，求出即可得解. 【详解】， 令，则， 所以，， 所以， 故选：B 题型5：等差数列奇数项与偶数项的和 5-1．（2024·山东济南·二模）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可设等差数列共有项，然后通过即可得出结果. 【详解】设等差数列共有项， 则，，中间项为， 故 ， ， 故选：B. 5-2．（2024高二·江苏·课后作业）已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式． 【答案】 【分析】设公差等于d，由题意可得偶数项共有项，从而列出方程组求出m，d，，由此能求出数列的通项公式． 【详解】∵等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77， ∴，① ∵其中偶数项之和为33，由题意可得偶数项共有项，公差等于， +×=33，② ∵， ∴，③ 由①②③，解得， 故． 数列的通项公式为． 5-3．（2024高一下·安徽宣城·阶段练习）已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算得出，利用等差数列求和公式得出，由此可解得与的值. 【详解】由题意，， 所以，， ， 所以，，. 故选：A. 【点睛】本题考查等差数列公差的求解，同时也考查了等差数列奇数项和偶数项的和的问题，考查计算能力，属于中等题. 5-4．（2024·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 故选：B 5-5．（2024高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 根据等差数列的项的关系及和的性质列式求解即可. 【详解】 设等差数列的公差为，则由条件可知： 数列的奇数项之和为，① 偶数项之和为，② 由②-①，得，所以，即该数列的公差为. 故选：D. 5-6．（2024高一下·海南海口·期中）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】设等差数列有，项．公差为．由于奇数项和为40，偶数项和为32，可得，，分别相加相减即可得出． 【详解】解：设等差数列有奇数项，．公差为． 奇数项和为40，偶数项和为32， ， ， ，， ，即等差数列共项，且 故选：． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 题型6：含绝对值的等差数列前n项和 6-1．（2024高三上·河南·期中）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解， （2）分情况，即可根据等差数列求和公式求解. 【详解】（1）设的公差为d，依题意得， 所以，即， 化简得，解得或（舍去）， 故， （2）依题意，． 当时，，故； 当时，， 故． 故 6-2．（2024高三上·江苏淮安·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式与前项和； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，进而根据公式即可求解， （2）根据当时，，；当时，，，即可分类求解，结合等差数列求和公式即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得. 所以数列的通项公式为， 数列的前项和. （2）由得，所以当时，，； 由得，所以当时，，. 所以，当时，； 当时， . 所以，. 6-3．（2024高二下·江苏盐城·开学考试）在等差数列中，， (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据等差数列的基本量进行计算即可； （2）先分析的正负，然后利用等差数列的求和公式即可. 【详解】（1） 设等差数列的公差为， ，， ， 解得． ． （2） 由，解得． 当时，的前项和． . 当时，的前项和 ． 的前项和 6-4．（2024高二上·江苏南京·阶段练习）在公差为的等差数列中，已知，且. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1)当时，， 当时，； (2)65 【分析】（1）根据基本量进行计算；（2）先判断前10项为正数，再计算即可. 【详解】（1）由，， ，解得或， 当时，， 当时，； （2）由， ， 所以数列前10项为正数，第11项为0，从第12项起为负数， 所以==. （三） 等差数列的前n项和与二次函数的关系 等差数列的前n项和公式与二次函数的关系： 等差数列的前n项和=+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0时,=Bn是一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 题型7：等差数列的前n项和与二次函数的关系. 7-1．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）数列为等差数列，它的前n项和为，若，则λ的值是 . 【答案】 【分析】根据等差数列前n项和公式的函数特征求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 所以， 又， ，解得. 故答案为：. 7-2．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知为等差数列的前n项和，且，则（    ） A．2600 B．2480 C．1660 D．1460 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和的特征，先得出的值，再由当时，，得出的通项公式，求出的值，从而可得出也为等差数列，根据等差数列前项和的公式可得出答案. 【详解】因为为等差数列，所以， 当时，， 由，则 所以，所以，公差为6； ，则也为等差数列， 公差， 所以， 故选：B． 7-3．（2024高二下·上海青浦·阶段练习）等差数列的公差，其前项和为，若，则中，不同的数值有 个. 【答案】2020 【分析】 根据给定条件，求出与的关系，再利用前项和公式，结合二次函数对称性求解即得. 【详解】依题意，，解得， 因此，， 由于二次函数图象的对称轴为， 则在的2024个数值中，， 所以不同的数值有2020个. 故答案为：2020 7-4．（24-25高二上·上海·期末）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年． 【答案】8 【分析】计算出，解不等式，则有，再利用二次函数的单调性即可得到答案． 【详解】解：第一年年产量为，以后各年年产量为（，为正整数），当时也符合上式， ∴（为正整数）． 令，得． 设，对称轴为， 则当时，严格增，又因为为正整数，，， 则最大生产期限应拟定为8年， 故答案为：8． （四） 等差数列前n项和的最值 1.通项法 若>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定； 若<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定. 2.二次函数法 对于公差为非零的等差数列{an}，由于==+(-)n，所以可用求函数最值的方法来求前n项和Sn的最值.这里应由n及二次函数图象对称轴的位置来确定n的值. 题型8：等差数列前n项和的最值 8-1．（2024高二上·湖南株洲·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式. (2)求的最大值. 【答案】(1)； (2)28. 【分析】 （1）利用公式进行求解. （2）利用给定的前项和，结合二次函数求出最值即得. 【详解】（1）等差数列的前项和， 当时，， 当时，， 显然满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）由于，而， 于是当时，， 所以的最大值是28. 8-2．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）等差数列{an}中，已知，，则的前n项和的最小值为（    ） A．S4 B．S5 C．S6 D．S7 【答案】C 【分析】由等差数列的性质将转化为，而，可知数列是递增数列，从而可求得结果. 【详解】∵等差数列中，， ∴，即,又， ∴的前项和的最小值为． 故选：C 8-3．（2024高二上·江苏苏州·开学考试）等差数列中，为它前项和，若，，，则当（    ）时，最大. A．20 B．19 C． D． 【答案】C 【分析】 根据等差数列的下标性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】， ， 因此可得，而，因此该等差数列是递减数列， 所以当时，最大， 故选：C 8-4．（2024高二下·安徽马鞍山·期中）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的性质可得出，，即可求解. 【详解】在等差数列{}中，由，得， 则，又， ∴，，则当取得最大值时，． 故选：C （五） 等差数列前n项和实际应用 (1)与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现． 题型9：等差数列前n项和实际应用 9-1．（2024高二上·福建福州·期末）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（    ） A．3339块 B．3402块 C．3474块 D．3699块 【答案】B 【分析】依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为，其中，，根据下标和性质求出，再根据等差数列求和公式求出即可. 【详解】解：依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为，其中，， 所以， 所以 所以，故圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）块. 故选：B 9-2．（2024高二上·河北邢台·阶段练习）按照小方的阅读速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分钟.2023年10月26日，他开始阅读《巴黎圣母院》，当天他读了1个小时，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天减少2分钟，则他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为（    ） A．2023年11月12日 B．2023年11月13日 C．2023年11月14日 D．2023年11月15日 【答案】C 【分析】 根据等差数列的求和公式即可求解. 【详解】根据题意，从2023年10月26日开始到读完的前一天， 他每天阅读《巴黎圣母院》的时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为60，公差为， 则由，且，得， 所以小方读此书20天恰好可以读完，故他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为2023年11月14日. 故选：C 9-3．（2024高二上·江苏镇江·期中）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠．按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵．则年龄最小的儿子分到的绵是（    ） A．65斤 B．82斤 C．184斤 D．201斤 【答案】C 【分析】首先根据题意设个儿子按年龄从小到大依次分绵斤，斤，斤，…，斤，从而得到数列为公差为的等差数列，再根据求解即可. 【详解】设个儿子按年龄从小到大依次分绵斤，斤，斤，…，斤， 则数列为公差为的等差数列. 因为绵的总数为斤， 所以，解得. 故选：C. 一、单选题 1．（2024高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为（    ） A．35 B．32 C．29 D．26 【答案】A 【分析】由题意可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，然后根据等差数的求和公式列方程求解即可. 【详解】根据题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为， 则，解得． 故选：A 2．（2024高二上·江苏南京·期中）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件利用等差数列前项和公式推导出，由此能求出的值 【详解】设等差数列的首项为，公差为， ∵等差数列的前项和为，， ∴，整理得， ∴． 故选：. 3．（2024高三上·河南·阶段练习）中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品､从一品､正二品､从二品､正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正二品分得的俸粮是（    ） A．35石 B．48石 C．61石 D．74石 【答案】C 【分析】由等差数列的定义结合求和公式得出正一品的俸粮数，进而得出正二品分得的俸粮数. 【详解】正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员所分得的俸粮数记为数列， 由题意，是以为公差的等差数列，且，解得． 故正二品分得俸粮的数量为（石）． 故选：C 4．（2024高二下·江西九江·期末）中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第11月营收贯数为（    ） A．64 B．65 C．68 D．70 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列的通项公式及前n项和公式，列出方程求解作答. 【详解】 依题意，该人每个月的收入依次排成一列构成等差数列，其前项和为，有， 设的公差为d，因此，解得， 所以该人第11月营收贯数， 故选：B. 5．（2024高一下·四川成都·期末）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（    ） A．20 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】可判断数列是递减的等差数列，利用前项和公式和等差数列的性质可得进而可得的最大值． 【详解】因为，所以和异号， 又等差数列的前项和有最大值， 所以数列是递减的等差数列， 所以，， 所以， ， 所以当时，的最大值为19． 故选：C． 6．（2024高二上·甘肃兰州·期中）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】因为某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，因此数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果． 5a1+20d=15 5a1+25d=30 d=3，选B 7．（2024高三上·全国·阶段练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等差数列的性质与求和公式求解即可 【详解】由已知，， 所以， 所有奇数项的和为， 于是可得. 故选：A. 8．（2024高二下·河南驻马店·阶段练习）设，分别是两个等差数列，的前n项和．若对一切正整数n，恒成立，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知和等差数列的性质，可得. 【详解】由等差数列的性质，可得 . 故选：B 9．（2024高二下·山东淄博·阶段练习）两个等差数列，它们的前n项和之比为，则这两个数列的第9项之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据等差数列的前项和公式与等差数列的性质结合题意求解即可 【详解】设两个等差数列的前项和分别为， 则由题意可知， 所以 ， 故选：C 10．（2024高三·全国·专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（    ） A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040 【答案】C 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列． ∵a1＝﹣2018，， ∴数列{}的公差d，首项为﹣2018， ∴2018+2019×1＝1， ∴S2020＝2020． 故选：C． 11．（2024高一下·河北衡水·期中）等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（   ） A．130 B．170 C．210 D．260 【答案】C 【分析】根据等差数列前项和的性质，结合已知数据，求解即可. 【详解】利用等差数列的性质：成等差数列， 所以，即，解得. 故选：C. 12．（2024高二下·湖北咸宁·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，则=（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意根据等差中项的性质判断数列为等差数列，利用等差数列前n项和片段和的性质即可求得答案. 【详解】由可得， 故数列为等差数列， 又，故也成等差数列， 即 ， 故选：D 13．（2024高二上·黑龙江牡丹江·期末）在等差数列中，已知，，则（    ） A．90 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】根据题意得到成等差数列，从而求出，得到答案. 【详解】因为为等差数列，所以成等差数列， ，，故， . 故选：D 14．（2024高二上·甘肃临夏·期中）设等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A．27 B．45 C．81 D．18 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果. 【详解】因为等差数列，所以，，成等差数列， 可得，即，解得 ，即. 故选：B. 15．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．36 C．42 D．54 【答案】B 【分析】 利用等差数列的前项和公式列方程组求解即可. 【详解】 因为等差数列中，， 所以， 解得， 则， 故选：B 16．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】A 【分析】设成为等差数列的其中10层的塔数为：，设出公差，根据题意得，又，，且，故只能满足，进而可得答案. 【详解】设成为等差数列的其中10层的塔数为：，由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为； 故，①； 又由②，，且，所以， ①+②得，，得， 由知， 又因为观察答案，当且仅当时，满足条件，所以，； 组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19； 剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6. 所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列： 1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，则第11层的塔数为17. 故答案选：A 17．（2024高二·全国·课后作业）等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇数项和与偶数项和的差可求得，由可构造方程求得的值. 【详解】，， ， ，解得：. 故选：D. 18．（2024高一下·四川·阶段练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（    ）． A．30 B．29 C．28 D．27 【答案】B 【分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可 【详解】奇数项共有项，其和为， ∴． 偶数项共有n项，其和为， ∴． 故选：B． 19．（2024高二下·湖北·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用等差数列的前项和公式求解. 【详解】由已知得，可设，， 则，， 即， 故选：. 20．（2024高二下·辽宁朝阳·阶段练习）等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（    ） A．11 B．11或12 C．12 D．12或13 【答案】C 【分析】利用等差数列前n项和公式，再根据二次函数性质求解. 【详解】根据题意由可得， 整理可得. 所以， 由，可得； 由二次函数性质可知，当时，取最小时. 故选：C 21．（2024高三上·重庆渝中·阶段练习）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（    ） A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质可知，数列也为等差数列，结合已知条件求出等差数列的首项，即可得到. 【详解】因为为等差数列的前项和，令，则也为等差数列，设其公差为， 由得， 又得. 故选：A． 22．（2024高二上·山东济南·阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列片段和的性质可得出、、、成等差数列，即可求得的值. 【详解】解：由等差数列的性质可知，、、、成等差数列， 且该数列的公差为，则， 所以，， 因此，. 故选：D. 23．（2024高二上·陕西西安·阶段练习）等差数列的前n项和，若，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．15 【答案】A 【分析】由等差数列性质得，成等差数列，设公差为d，则，可求得对应公差，则可求值 【详解】由等差数列有成等差数列，设为d， 则， 故. 故选：A 24．（2024高二上·福建三明·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】利用等差数列的前n项和和等差中项，求得通项公式求解. 【详解】从冬至日起，依次构成等差数列，设为， 由题意得： ， 解得， 又冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺：， 所以， 所以， 所以， 故选：B 25．（2024高二下·全国·开学考试）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．36 C．40 D．42 【答案】B 【分析】确定为等差数列，得到，代入数据计算得到答案. 【详解】，故为等差数列， 故，故，解得. 故选：B 二、多选题 26．（2024高二下·湖北·阶段练习）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（    ） A． B．时，的最小值为2022 C．有最大值 D．时，的最大值为4043 【答案】CD 【分析】AB选项，根据，得到，从而得到，A错误，时，的最小值为2023，B错误；C选项，求出，由二次函数性质得到有最大值；D选项，计算出，，得到答案. 【详解】对于：由可得， 故等差数列的公差，故A错误； 对于B：由A得，数列为单调递减数列，且，故时， 的最小值为2023，故B错误； 对于C：由A得，，故是关于的开口向下的二次函数， 其有最大值，没有最小值，故C正确； 对于D：因为数列的前2022项均为正数， 且， ， 时，的最大值为4043，故D正确 故选：CD 27．（2024高二上·广西贵港·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”其意思是：今有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共步行了一千二百六十里，求的值.关于该问题，下列结论正确的是（    ） A． B．此人第三天行走了一百二十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里 【答案】BCD 【分析】 根据等差数列的前9项和和首项求出公差判断A，根据通项公式计算第3项判断B，根据求和公式计算前7项和及前8项和即可判断C、D. 【详解】 由题意,设此人第一天走里，第天走里，则是等差数列，， 由，可得，故选项A错误； 所以，故选项B正确； 所以，所以，，故选项C、D正确. 故选：BCD. 28．（2024高二下·河南信阳·阶段练习）等差数列的前项和记为，若，则成立的是（    ） A． B．的最大值是 C． D．当时，最大值为 【答案】BC 【分析】 根据已知条件求得的关系式，再根据等差数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， ，A选项错误. 所以，C选项正确. 所以的最大值是，B选项正确. 由于时，，是单调递减数列， 所以当时，没有最大值，D选项错误. 故选：BC 29．（2024高二上·湖南益阳·期末）已知两个等差数列、的前项和分别为和，且，则使得为整数的的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 利用等差数列中项以及等差数列求和公式可得出，即可得出正整数的可能取值. 【详解】由等差中项以及等差数列求和公式可得， 又因为，. 故选：ACD. 三、填空题 30．（2024高二下·陕西商洛·期末）等差数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】15 【分析】根据等差数列的性质得到，求出答案. 【详解】设，由等差数列的性质可得， 又，则，解得． 故答案为：15 31．（2024高二上·湖南张家界·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】 【分析】 利用等差数列片断和的性质即可得解． 【详解】 因为是等差数列，所以是等差数列， 则，即，解得． 故答案为：． 32．（2024高二上·江苏徐州·期中）已知为等差数列的前n项和，且满足，，则 . 【答案】92 【分析】 根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 则，， 所以. 故答案为： 33．（2024高二上·江苏盐城·期中）设各项均为正数的等差数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】 根据等差数列的通项公式，结合题意，化简得到，求得，再利用等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】由题意，设等差数列的公差为， 因为，可得， 即，可得，且，解得， 又由. 故答案为：. 34．（2024高二上·河南许昌·期末）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ． 【答案】 【分析】 根据等差数列的性质即可求解. 【详解】， 由于， 故答案为： 35．（2024高二上·湖南株洲·阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，结合等差数列前项和公式、等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列，的前项和分别为，，且， 所以. 故答案为： 36．（2024高二上·内蒙古乌兰察布·期中）设等差数列{an}的前n项和为，且，则 . 【答案】4 【分析】先利用关系式，求出公差，进而用等差数列的通项公式和求和公式得到方程组，即可求出答案. 【详解】由题意得：，， 则等差数列的公差， 则，， 解得：或（舍去）， 故答案为：4. 37．（2024高二下·辽宁·期末）等差数列中，，前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解． 【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为 ，， ， ， ，则 故答案为： 38．（2024高二下·辽宁阜新·期中）已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，求 . 【答案】 【分析】 根据等差数列的性质和等差数列的求和公式结合已知可求得结果. 【详解】因为等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且， 所以 ， 故答案为： 39．（2024高三上·天津武清·阶段练习）等差数列的前项和分别是与，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，代入即可求解. 【详解】由等差数列的前项和公式，得， 又由等差数列的性质，得，而， 所以. 故答案为： 40．（2024高二下·湖北十堰·阶段练习）设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】代入法求得，由表达式可知数列为等差数列，求得首项和公差后可得通项公式． 【详解】解：依题意得，即， 所以数列为等差数列，且，， 设其公差为，则， 所以． 故答案为：. 41．（2024高三上·湖北·阶段练习）等差数列中，为其前项和，若，，则 ． 【答案】 【解析】先利用等差数列的求和公式证得是等差数列，并由已知条件计算该数列的公差，进而利用等差数列的推广的通项公式求解. 【详解】等差数列中，记首项为，公差为，利用等差数列求和公式，可得， 又 所以是首项为，公差为等差数列， 由，，得， 所以的公差为 所以 所以 故答案为： 【点睛】本题考查等差数列的证明，及等差数列通项公式的求法，解题的关键是要证得是等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题. 四、解答题 42．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列均为等差数列． (1)设，，求； (2)设，，求； (3)设，求． 【答案】(1)260 (2)21.7 (3)49 【分析】（1）利用等差数列前n项和公式计算作答. （2）求出等差数列的公差，再利用前n项和公式计算作答. （3）求出，再利用前n项和公式计算作答. 【详解】（1）依题意，． （2），于是，从而. （3）设公差为，则，，于是， 所以． 43．（2024高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值及取得最小值时n的值． 【答案】(1) (2)当时，最小，最小值为-26 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程，解方程得到，，然后写通项即可； （2）方法一：根据等差数列的性质求最小值即可； 方法二：根据前项和的函数性质求最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由，，得，，解得，， 所以． （2）方法一：由知是递增数列， 当时，；当时，． 所以， 所以当时，最小，最小值为． 方法二：， 又，所以当时，最小，最小值为-26. 44．（2024高二上·江苏南通·阶段练习）数列的前n项和为，对任意，点在直线上. (1)求. (2)求的最小值及此时n的值. 【答案】(1) (2)，或 【分析】 （1）根据题意，得到，得到数列是等差数列，结合等差数列的求和公式，即可求解； （2）由数列的通项公式为，得到时，，时，，即可求解. 【详解】（1） 因为在上，可得，所以， 则，所以数列是等差数列， 所以. （2）由数列的通项公式为， 令，解得且， 即当时，；当时，；时，， 所以当或时，的最小值为. 45．（2024高二下·广西桂林·期末）在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和，求n． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出方程组，即可求得答案； （2）利用等差数列的前n项和，解方程可得答案. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为d， 则，解得， ∴． （2）由以及，，，    得方程，整理得， 解得或（舍去）， 故． 46．（2024高二上·安徽马鞍山·期中）已知等差数列，前项和为，又． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得. （2）由，令求出的取值范围，再分段求出数列的前项和 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 因为，所以， 所以，由，解得， 又，所以； （2） 设，的前项和为，得， ，得 当时，，即，所以 当时，得 ，所以， 则 综上所述： 47．（2024高二上·上海·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1)44 (2) 【分析】 （1）根据等差数列通项公式设，根据，的值得出关于，的方程组，解出后根据等差数列求和公式求出； （2）根据等差数列通项公式设，根据，的值得出关于，的方程组，解出后根据等差数列求和公式求出. 【详解】（1）设， 则 解得 故. （2）设， 则 解得 故. 48．（2024高二·全国·随堂练习）一个物体第1s下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m． (1)如果它从山顶下落，经过5s到达地面，那么这山的高度是多少米？ (2)如果它从1960m的高空下落到地面，要经过多长时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，利用等差数列的前项和公式列式求解即可. 【详解】（1）由题意可知，物体每秒下落的高度构成等差数列， 设该等差数列为，前项和为，则，公差， 所以， 故这山的高度是. （2）由（1）可得，，解得（负值舍去）， 所以要经过落地. 49．（2024高二上·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值及取得最小值时的值． 【答案】(1) (2)当时，最小，最小值为． 【分析】（1）列方程求出，即可求数列的通项公式； （2）由（1）知，利用二次函数的性质可求的最小值及取得最小值时的值． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得， 解得， 所以． （2）由（1）知， 又，所以当时，取最小，最小值为． 50．（2024高三上·湖北·期中）已知为等差数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程，解方程即可； （2）分和两种情况求和. 【详解】（1）设的公差为，则：， . （2）， 令， 当时，， ， 当时，， 综上所述：. 51．（2024高二下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）设单调递减的等差数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）根据已知条件结合等差数列的性质可得，解方程组求出，从而可求出，， （2）由，得，然后分和两种情况求. 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以， 又，解得，或， 又因为数列单调递减，所以， 所以，所以，解得， 所以. （2）由，解得， ，解得，即， 所以当时，， 当时，， 综上. 52．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列为等差数列，其前n项和为，且，，数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据等差数列的通项公式以及求和公式，建立方程组，可得答案； （2）利用分组求和方法，可得答案. 【详解】（1） 数列为等差数列，其前n项和为，且，， 设数列的首项为，公差为d，则， 解得，，所以. （2） 数列. 当时，，所以. 当时，，所以 . 所以. 53．（2024高二上·江苏盐城·期中）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式 (2)若，求的前项和. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）利用与的关系式进行通项公式的求解； （2）由通项公式可知，当时，其和为负数，则当求绝对值之和时，可直接添加负号即可，当时，可通过前8项的变号来进行计算即可. 【详解】（1）由， 当时，可得， 当时，，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由，可得，则， 令，可得， 当时，可得， 当时，可得 ， 因为，所以， 所以. 注意：分类标准和，都可以. 54．（2024高三上·贵州·阶段练习）记等差数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的基本量，建立方程，即可求解； （2）首先列出，再根据数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）设的公差为，， 则，得； 则； 所以数列的通项公式为; （2）由题可知 55．（2024高二下·甘肃临夏·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求等差数列的通项公式； (2)求的最小值及对应的n值． 【答案】(1)； (2)的最小值为，对应. 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差即可求解作答. （2）由数列的单调性求出的最小值及对应的n值作答. 【详解】（1）等差数列中，，，则的公差， 所以等差数列的通项公式. （2）由（1）知，等差数列单调递增，由，得，解得， 因此数列前15项均为负数，从第16项起均为正数， 所以当时，取得最小值. 56．（2024高二下·辽宁铁岭·期末）记等差数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求以及的最小值． 【答案】(1)； (2)，的最小值为. 【分析】（1）根据给定条件，求出公差，再求出通项作答. （2）由（1）结合等差数列前n项和公式求解作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，得， 解得，于是， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 显然，当且仅当时取等号， 所以，的最小值为. 57．（2024高一下·安徽合肥·阶段练习）已知数列的前n项和 求数列的通项公式； 求证：数列是等差数列． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）当时，类比写出，两式相减整理得；当时，求得并验证通项公式，从而确定数列通项公式. （2）根据（1）求得的通项公式，利用等差数列的定义证明即可. 【详解】解：当时，， 当时，，满足， 即数列的通项公式． 证明：， 当时，为常数， 则数列是等差数列． 【点睛】本题主要考查已知数列的前项和求数列的通项公式的方法，考查等差数列的判断方法. 已知数列的前项和求数列的通项公式，求解过程分为三步： （1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式； （2）当时， 求出； （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写． 58．（2024高二下·全国·课后作业）已知数列的前项和，求证：是等差数列. 【答案】证明见解析 【分析】先由求出，再利用等差数列的定义证明即可. 【详解】由题意得 ①若，则， ②若，则，经检验满足上式. 故， 由可知，数列是首项为23，公差为的等差数列. 59．（2024高二·全国·课后作业）已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用可得答案； （2）利用可得答案． 【详解】（1）当时，，令，， 所以时， ， 所以， 此时， 所以， 所以， 可得数列是公差为的等差数列. （2）， 令，得， 所以时， ， 所以， 所以， 可得时，数列是公差为的等差数列， 若数列是等差数列，则， 所以． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$