第四章 一次函数（存在最值问题）讲义 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上第四单元一次函数（存在最值问题）讲义 知识点一.线段和最小值问题（将军饮马问题） 例1．（碑林区校级期中）如图，已知点C（﹣2，0），一次函数y＝x+6的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，E，F分别是线段OB，AB上的动点，当CE+EF的值最小时，点F的坐标为 　 　． 变式1．（2023秋•渭城区校级月考）对每个x的值，y是y1＝2x，y2＝x+3，y3＝﹣2x中的最大值，则当x变化时，函数y的最小值为 　 　． 变式2．（2023秋•雁塔区校级月考）如图，直线y＝x+5与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点C（﹣3，0），点P为直线上一动点，当PC+PO值最小时，点P的坐标为 　 　． 变式3．（2024•昭阳区校级开学）设一次函数y＝kx﹣1，k为常数，当2≤x≤4时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 　 　． 变式4．（2024春•昭通期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，3），B（3，1）是直线y＝﹣x+4上的两点，点P是x轴上的一个动点，则PA+PB的最小值为 　 　． 变式4．（2022秋•泾阳县期末）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为　 　． 变式5．（2022秋•高陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AC所在直线的解析式为y＝﹣x+4，点E是AB的中点，点P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 　 　． 变式6．（2024•库尔勒市一模）如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴交于点A、B，N是OA的中点，点M、点P分别是直线AB和y轴上的动点，则PM+PN的最小值为 　 　． 变式7．（2024春•庐阳区校级期中）如图所示，点A和点B分别为x轴与y轴上一点，且OA＝OB＝4，C为直线y＝﹣x（x＜0）上一点，作CD⊥BC交x轴于点D． （1）若点C的横坐标为﹣3，则CD＝　 　； （2）若E为线段AB中点，连接CE，则CD+CE的最小值为 　 　． 变式8．（2022秋•新城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为线AB的中点，若点D是经过点A，且与y轴平行的直线上的一个动点，则OD+CD的最小值为 　 　． 变式9．（2024春•南沙区期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C的坐标为（3，0），点D，E分别是线段BO，BC上的动点，且BD＝CE，则BC的长为 　 　；当AD+AE的值取最小值时，点D的坐标为 　 　． 变式10．（2024春•单县期末）如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：①AB＝10；②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；③点；④若直线BC上存在一点P，使得AP+DP的值最小，则点P的坐标是（3，0）．正确的结论是 　 　． 例2．（2023秋•武功县期末）如图，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与x轴交于点B（4，0），直线l1与l2交于点C（2，n）． （1）求点C的坐标及直线l2的函数表达式； （2）若点D是线段BC上一个动点，点D的横坐标是m，△ADB的面积是S，请求出S与m之间的函数关系式； （3）在y轴上是否存在点P，使得PB+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标及这个最小值；若不存在，请说明理由． 变式1．（2023秋•碑林区校级期末）（1）模型建立： 如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，请直接写出图中相等的线段（除CA＝CB）； 模型应用： （2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，直线与x，y轴分别交于A、B两点，C为第一象限内的点，若△ABC是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点C的坐标和直线BC的表达式； 探究提升： （3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，A（3，0），点B在y轴上运动，将AB绕点A顺时针旋转90°至AC，连接OC，求CA+OC的最小值，及此时点B坐标． 变式2．（2023秋•灞桥区校级月考）如图，直线AB：y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线CD：y＝kx+b经过点C（﹣1，0），D，与直线AB交于点E． （1）求直线CD的函数关系式； （2）连接BC，求△BCE的面积； （3）设点Q的坐标为（m，2），求m的值使得QA+QE值最小． 变式3．（2022秋•碑林区校级期末）问题提出 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P为高AE上的动点，过点P作PH⊥AC于H，则的值为 　 　； 问题探究 （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点 A、B．若点P是直线AB上一个动点，过点P作PH⊥OB于H，求OP+PH的最小值． 问题解决 （3）如图3，在平面直角坐标系中，长方形OABC的OA边在x轴上，OC在y轴上，且B（6，8）．点D在OA边上，且OD＝2，点E在AB边上，将△ADE沿DE翻折，使得点A恰好落在OC边上的点A′处，那么在折痕DE上是否存在点P使得EP+A′P最小，若存在，请求最小值，若不存在，请说明理由． 变式4．（陕西校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B． ①如图2，若过点B作直线BC使得BC⊥AB于点B，且交x轴于C，求△ABC的面积． ②D为线段OA延长线上一动点，在第二象限内以BD为直角边做等腰直角三角形BDE，连接EA．求直线EA的函数表达式． ③如图3，点F是y轴正半轴上一点，且F点坐标为（0，2），AG平分∠OAF，点M是射线AG上一动点，点N是线段AO上一动点，试判断是否存在这样的点M、N，使得OM+MN的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明． 变式5．（2024•沙坪坝区校级开学）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且OC＝3OB． （1）求直线BC的表达式； （2）点P是线段BC上一动点，点E是直线AB上一动点，点F为x轴上一动点，过P作PO⊥AB于Q，连接PE、EF，当时，求PE+EF的最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，点M为直线AB上一动点，当∠QPM＝∠ACB+∠BAC时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 变式6．（2024•泸州校级开学）在如图的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2），且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴正半轴交于点C，且△ABC的面积为9． （1）求直线n的函数表达式； （2）点P为x轴上一动点，当PC+PB的值最小时，求点P的坐标； （3）若M是直线l上一动点，在坐标平面内是否存在另一个点N，使以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 变式7．（2023秋•灞桥区校级期中）阅读以下材料，完成问题． 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．若已知∠A的对边与邻边的比值，则可得到∠A的度数．如：若，则∠A＝45°；若，则∠A＝60°． 在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，C为AB中点． （1）小试牛刀：如图1，根据材料，∠BAO＝　 　； （2）新知探究：如图2，若D是经过点A，且与y轴平行的直线上的一动点，求OD+CD的最小值； （3）实践应用： 【选做1】如图3，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于Q，P两点，C为PQ中点．E是线段PQ上一动点，以O为直角顶点，OE为腰在OE下方作等腰直角△OEF，连接CF，求OF+CF的最小值：　 　； 【选做2】如图4，M是线段AB上一动点，以OM为边在OM下方作等边△OMN，连接CN，求ON+CN的最小值：　 　． 知识点二.周长最小值（将军饮马问题） 例1．（2024春•绵阳期末）如图，函数y＝﹣x+2图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，C（1，0），点P为直线AB上动点，连接OP、PC，则△OPC的周长最小值为（　　） A．3 B．4 C． D． 例2．（2023秋•成都期末）如图，直线y＝kx+6过点A（1，a），且与x轴交于点B（2，0），点C是y轴上的一个动点，则△ABC的周长的最小值是 　 　． 变式1．（2023秋•汉中期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB，BO上的两个动点，，∠BAO＝30°，则△PCD周长的最小值为 　 　． 变式2．（2024•丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3）、B（5，2），点C在x轴上运动，点D在直线y＝x上运动，则四边形ABCD周长的最小值是 　 　． 变式3．（2024•芝罘区一模）如图，已知点A（﹣1，0），点B是直线y＝x+2上的动点，点C是y轴上的动点，则△ABC的周长的最小值等于 　 　． 变式4．（2024春•邳州市期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，4）、B（7，2），点C在x轴上运动，点D在直线y＝x上运动，则四边形ABCD周长的最小值是 　 　． 变式5．（2023秋•雁塔区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点A、B，且∠OAB＝30°．C为线段AB上一点，CD⊥x轴于点D，∠ACD的平分线交x轴于点E． （1）直线AB的函数表达式为 　 　； （2）若，求出点C的坐标； （3）在（2）的条件下，在线段CE上有一动点M，在y轴上有一动点N，连接DM、MN、DN，那么△DMN的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 变式6.（2023秋•雁塔区校级期中）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA．过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．易证得△BEC≌△CDA．（无需证明），我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“K形图”． 【问题初探】如图1，创新小组同学对“K型图”非常感兴趣，他们记EC＝a，DC＝b，（a＜b），AB＝c，他们提出以下猜想： ①a+b＜c；②；③． 以上猜想中你认为正确的有 　 　（填序号）； 【应用探究】如图2，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣4x+4与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿顺时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求△PQR的面积． 【拓展延伸】 随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也由最初的美化市容、改善环境，渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游息场所，为居民幸福生活提供越来越丰富的作用．为了提升居住环境水平，高新区准备对区内一个街心花园进行改造，如图3，设计师标记公园原址为长方形AOBC，并以点O为原点建立平面直角坐标系，已知A、B的坐标分别是（0，30），（20，0）．设计师准备在原花园的两边OA和OB上分别选取点D和点E，以DE为斜边在DE的左下侧（包括左侧和下侧）修建一个等腰直角三角形DEF区域作为餐饮角，由于点C处是地铁站，为方便市民出行，设计师想确定点F的位置，使得点F到点C的距离最小，请你利用所学知识帮助设计师找到点F的位置，并求出CF的最小值． 知识点三.最值综合应用 例3．（2024春•临潼区期末）八年级一班同学为充实教室文化，准备购买一些名著读本和科幻读本，计划购买两种读本共46本，且科幻读本不多于名著读本的2倍，已知名著读本每本9元，科幻读本每本6元．设购买名著读本数量为x本，购买两种读本共花费y元． （1）求y与x的函数关系式． （2）请求出购买两种读本总费用的最小值． 例4．（雁塔区校级期末）预备知识：（1）在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点P（3t，2﹣t）在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？ 一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？” 小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将点P（3t，2﹣t）代入得：2﹣t＝k•3t+b，整理得（3k+1）t+b﹣2＝0． ∵t为任意实数，等式恒成立； ∴3k+1＝0，b﹣2＝0． ∴k＝﹣，b＝2． ∴这条直线的函数表达式为y＝﹣x+2． 请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点P（2t，3﹣t）在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式． 问题探究：（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，9），且∠BAC＝90°，AB＝AC，则点C的坐标为 　 　． 结论应用：（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点P（1，0），Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，连接PQ，过点P作PQ′⊥PQ，且PQ′＝PQ，连接OQ′，求线段OQ′的最小值． 变式1．（2024•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y＝x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 　 　． 变式2．（2023秋•沭阳县校级期末）如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．∠MPN＝90°，点C（0，3），则PC长度的最大值是 　 　． 变式3．（2024秋•龙湾区月考）如图，矩形OABC的边OA，OC在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线y＝上，OA＝8，点D从点O开始沿OA边向点A以每秒2个单位的速度移动，与此同时，点E从点A开始沿AO边向点O以每秒1个单位的速度移动，DF⊥x轴，交OB于点F，连接EF，当点D到达点A时，两点同时停止移动，设移动时间为t秒． （1）直接写出：AB＝　 　，DF＝　 　（含t的代数式表示）． （2）当点D在点E的左侧时，若△DEF的面积等于2，求t的值． （3）在整个移动过程中， ①若在矩形OABC的边上能找到点P，Q，使得以E，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，求出所有满足条件的t的值． ②以DA，DF为邻边作矩形DAGF，连接EG，取线段EG的中点Q，连接FQ，求FQ的最小值（直接写出答案）． 变式4．（2023秋•西安月考）[提出问题]（1）如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，求证：S四边形ABCD＝S△ABF（S表示面积）； [探究问题]（2）如图②，在△ABC中，过AC的中点P任意作直线EF，交BC于点F，交BA的延长线于点E，试比较S△BEF与S△ABC的大小，并说明理由； [解决问题]（3）如图③，在平面直角坐标系中，点P（5，3），过点P的直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，试问S△AOB是否存在最小值？若存在，请求出该直线的解析式，并求出这个最小面积；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$