第四章 一次函数（全等、平行四边形、特殊三角形存在）讲义 -2024--2025学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上第四单元一次函数（全等、平行四边形、特殊三角形存在）讲义 知识点一：等腰三角形存在问题 解题方法一两圆一线；解题方法二距离公式法 例1．（2024春•碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A（﹣1，0）、交y轴于点B（0，3）． （1）求直线l对应的函数表达式； （2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形，若存在，请求出点C的坐标，若不存在，请说明理由． 变式1．（2024秋•历城区校级月考）如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4），一次函数图象与y轴的交点为C（0，2），与x轴的交点为D． （1）求一次函数解析式； （2）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝3，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）如果在一次函数y＝kx+b的图象存在一点Q，使△OCQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 变式2．（2023秋•榆阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴，x轴于A（0，3），B（﹣9，0）两点． （1）求直线AB的函数关系式； （2）点E的坐标为（6，0），若在y轴上存在点F，使得△AEF是等腰三角形，请求出点F的坐标． 变式3．（2022春•满城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于点A（3，0），点B（0，3）． （1）求直线AB的解析式； （2）若点C是线段AB上的一个动点，当△AOC的面积为3时，求出此时点C的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得△COP是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 变式4．（2023秋•富平县月考）如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4）一次函数图象经过点B（﹣4，﹣2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． （1）求一次函数解析式； （2）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）如果在y轴上存在一点Q，使△OAQ是以OA为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 知识点二：存在直角三角形 解题方法一勾股定理；方法二距离公式法 例2．（2024春•潼关县期末）如图，已知经过点（4，﹣3）的直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）分别与x轴、y轴交于A（6，0）、B两点． （1）求该直线的函数解析式和点B的坐标； （2）在y轴上是否存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（2023秋•秦都区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+n的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）． （1）求m，n的值； （2）请直接写出在x轴上的点P坐标，使得△PBC为等腰三角形； （3）在线段OA上取一点M，线段AC上取一点N，连接MN，使得MN∥y轴，在y轴上是否存在点Q，使得△MNQ是等腰直角三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 知识点三.全等三角形存在问题 例3．（2023秋•碑林区校级期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（﹣3，0），连结BC，过点O作OD⊥AB于点D，点Q为线段BC上一个动点． （1）BC的长为 　 　，OD的长为 　 　； （2）在线段BO上是否存在一点P，使得△BPQ与△OAD全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（2023秋•咸阳期末）如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，8）． （1）求该一次函数的表达式； （2）点C为点B上方y轴上的点，在该一次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 知识点三.存在平行四边形问题 例4．（2024•雁塔区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8分别交两坐标轴于点A、B，直线CD与直线AB交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（1，0），点C的横坐标为4． （1）求直线CD的函数解析式： （2）将△ACD沿x轴方向平移，在y轴上存在点E，使得以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标，并直接写出平移方式． 变式1．（2024春•雁塔区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线y＝4x向下平移4个单位长度得到直线l2，直线l2与x轴交于点B，与l1相交于点C． （1）直线l2的解析式为 　 　； （2）求点C的坐标； （3）在坐标平面内是否存在一点N，使以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 变式2．（2024春•商南县期末）如图，已知在平面直角坐标系中，点P（a，3）在直线l1：y＝x+2上，过点P的直线l2：y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，PH⊥x轴于点H． （1）求直线l2的函数解析式和点B的坐标； （2）在直线l2上是否存在点C，使得△PHC的面积等于四边形OBPH的面积的6倍？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（2024春•碑林区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B．（0，4），∠OAB的平分线交y轴于点M． （1）求直线AM的函数解析式． （2）在直线AM上是否存在一点P，且在x轴上存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形，是以AB为边的平行四边形？若存在，请写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4．（2024春•汉中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8分别交两坐标轴于点A、B，直线CD与直线AB交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（1，0），点C的横坐标为4． （1）求直线CD的函数解析式： （2）在坐标平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 变式5．（2024春•雁塔区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且△ABC面积为10． （1）求点C的坐标及直线BC的解析式； （2）若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，求直线AM的解析式； （3）若E为直线AM上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$