2.5.2圆与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2 圆与圆的位置关系 一 二 三 学习目标 掌握圆与圆的位置关系 能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系,培养逻辑推理的核心素养 能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. 学习目标 1.如何判断直线与圆的位置关系？ 代数法： ① △＞0 ② △＝0 ③ △＜0 方程有两不等实根 方程有一个实根 方程无实数根 直线l与圆C相交 直线l与圆C相切 直线l与圆C相离 几何法： ③ d＞r ① d＜r 直线l与圆C相交，有两个公共点； ② d＝r 直线l与圆C相切，只有一个公共点； 直线l与圆C相离，没有公共点. 联立直线与圆的方程，消元得px2+qx+t=0的解的个数(△的正负) 圆心到直线的距离 复习回顾 前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系．现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系． 2.回忆一下初中所学的知识，圆与圆的位置关系有哪些？ 圆与圆的位置关系有五种： 外离、外切、相交、内切、内含. 外离 外切 相交 内切 内含 随着两圆的相对位置变化，公共点个数又分别是多少？ 0个 1个 2个 1个 0个 复习回顾 4 新知探究 判断圆与圆位置关系的方法 1.代数法： 联立求解. (1)由两个圆的方程 联立两者方程看是否有解 (2)消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程； (3)求出△； (4)判断△的符号，得出结论： ① △＞0 ② △＝0 ③ △＜0 方程有两不等实根 方程有一个实根 方程无实数根 两圆相交 两圆相切 两圆相离或内含 （外切或内切） 问题1 类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系? 新知探究 2.几何法：判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系. 设圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2，圆心距d，则 ①圆和圆外离 ② 圆和圆外切 ③ 圆和圆相交 ④ 圆和圆内切 ⑤ 圆和圆内含 (1)把两圆的方程化成标准方程； (2)求出两圆的圆心坐标及半径r1, r2； (3)求两圆的圆心距d； (4)比较d与|r1-r2|, r1+r2的大小关系，得出结论： 新知探究 思路1 圆C1与圆C2的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定。 例5 解法1: 将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 ①-②，得 联立①③，消去y，可得 ∴方程④有两个不相等的实数根x1，x2. 把x1，x2分别代人方程③，得到y1，y2. 因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2) ，这两个圆相交. 典例解析 例5 追问1 画出圆C1与圆C2以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？ 当两圆相交时，两圆方程相减，所得二元一次方程是两圆公共弦所在直线的方程。 追问2 为什么不需要把圆C1与圆C2的两个公共点A、B的具体坐标求出来？ 典例解析 例5 思路2 借助图形，可以依据连心线的长(圆心距)与两半经的和r1+r2的或两半径差的绝对值|r1ￚr2|的大小关系，判断两圆的位置关系. y x A B C2 C1 解法2: 把圆C1与圆C2的方程分别化成标准方程，得 ∴圆C1与圆C2相交. 新知探究 问题2 如果两圆方程联立消元后得到的方程的∆＝0,它说明什么?你能据此确定两圆是内切还是外切吗?如何判断两圆是内切还是外切呢? 当∆<0时，两圆是什么位置关系? 还要根据两圆的半径与圆心距作进一步判断. 当∆＝0时, 方程组只有一组解, 此时两圆相切, 但不能确定两圆是内切还是外切. 若d=r1+r2，则两圆外切； 若d=|r1-r2| ，则两圆内切； 当∆< 0时, 方程组没有解, 此时两圆无公共点，但不能确定两圆是外离还是内含. 若d>r1+r2 ，则两圆外离； 若0≤d<|r1-r2| ，则两圆内含． 巩固练习 课本P98 解: 把圆C2方程化成标准方程，得 ∴圆C1与圆C2外切. 巩固练习 课本P98 解: 把圆C1与圆C2的方程分别化成标准方程，得 ∴圆C1与圆C2相交. 把圆C1与圆C2的方程相减，得 ∴圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为 典例解析 例6 已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的 倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. 分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系,求得满足条件的动点M的轨迹方程,从而得到点M的轨迹;通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。 • P • M x y O • A B 解: 如图示，以线段AB的中点O为原点建立平面直角坐标系. 由AB=4，得A(一2, 0)，B(2, 0). 所以点M的轨迹是以P(6, 0)为圆心，半 径为 的一个圆. 新知探究 问题3 如果把本例中的“ 倍”改为“k(k>0)倍”你能分析并解决这个问题吗？ 设点M的坐标为(x，y)，由|MA|=k|MB|得 化简，得 当k=1时，方程为=0， 可知点M的轨迹是线段AB的垂直平分线 当k>0，且k ≠1时，方程可化为 点M的轨迹是以(，0)为圆心，半径为的圆. 能力提升 1.已知圆 ,圆 ,则当a为何值时,圆与圆 (1)相切? (2)相交? (3)外离? (4)内含? [解析] 由题意得圆 , 圆心,半径 , 圆,圆心,半径 (1)当,即 时,两圆外切; 当,即 时,两圆内切. (2) 当,即 时,两圆相交. (3)当,即 时,两圆外离. (4)当,即 时,两圆内含. 能力提升 2.已知半径为的圆与圆 外切于点,则圆心 的坐标为______. [解析] 圆的圆心为,半径 , 设圆的圆心坐标为 , 若圆与圆外切于点, 则必有 三点共线且 , 即解得或 当时,圆与圆 相内切,不符合题意; 当时,圆与圆相外切,符合题意, 圆心 的坐标为 能力提升 3.已知圆的圆心坐标为 ,若圆C与圆的公共弦所在的直线过点,则圆 的方程为________________________. [解析] 设圆的半径为,则圆的方程为 即 , 两圆的方程相减得,公共弦所在的直线的方程为 因为该直线过点, 所以,则圆 的方程为 4.已知圆,则圆关于直线 对称的圆的方程为( ) A A. B. C. D. [解析] 设圆心关于直线的对称点为 , 则解得 所以对称圆的圆心为 , 所以对称圆的方程为 , 即 故选A. 能力提升 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ $$