精品解析：江苏省盐城市射阳县实验初级中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

射阳县实验初中2024年秋学期八年级数学巩固练习 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题） 1. 下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中,可以构成直角三角形的是( )． A. 1、2、3 B. 3、4、5 C. 1、1、 D. 6、7、8 4. 估计的值在（ ）． A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 如图，在中，已知点D在上，且，则点D在（ ） A. 的垂直平分线上 B. 的平分线上 C. 的中点 D. 的垂直平分线上 6. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 若一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题） 9. 9的算术平方根是_____． 10. 在平面直角坐标系中，把点先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点，则的坐标是______． 11. 若点在第四象限，则a的取值范围是______． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是______． 13. 如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形、若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是___． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，线段是由线段绕点逆时针旋转而得到的，则点的坐标是_______________________． 15. 如图，中，平分，分别垂直于，如果，，，那么______cm． 16. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 三．解答题（共11小题） 17. （1）计算： （2）已知：，求的值． 18. 已知函数． （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 19. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）当点在轴上时，求点的坐标； （2）已知直线平行于轴，且，求的长； 20. 如图，一次函数的图象过点，． （1）求此一次函数的解析式； （2）直接写出关于x的不等式的解集． 21. 如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． （1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； （2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小； （3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝______． 22. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 23. 如图，中，平分交于点E，平分．交于点D，与交于点O，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分 24. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． （1）求证：． （2）若，求． 25. 十一黄金周期间，为了给顾客更好的购物体验，某超市便利店在店门口离地面一定高度的墙上D处，设置了一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临”的语音．如图，一个身高的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃到地面的距离与到该生头顶的距离相等． （1）请计算迎宾门铃到地面的距离等于多少米？ （2）若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 26. 【阅读教材】 苏科版八年级上册第69页《折纸与证明》．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图），怎样证明呢？ 分析：把沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 【感悟与应用】 （1）如图（a），在中，，，点D在边上且平分，若，求的长； （2）如图（b），在四边形中，平分，，，， ①求证：； ②求的长． 27. 平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． （4）点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射阳县实验初中2024年秋学期八年级数学巩固练习 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题） 1. 下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴），寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．据此对各选项逐一进行判断即可． 【详解】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是， 故选A． 【点睛】本题考查了关于x轴轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 3. 下列四组线段中,可以构成直角三角形的是( )． A. 1、2、3 B. 3、4、5 C. 1、1、 D. 6、7、8 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形． 【详解】A. ∵1+2≠3，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形； B. ∵3+4=5，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故可以构成直角三角形； C. ∵1+1≠() ，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形； D. ∵6+7≠8，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形. 故选B. 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握运算法则. 4. 估计的值在（ ）． A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【详解】因为3的平方是9，4的平方是16，即=3，=4， 因为9<11<16， 所以估计的值在3和4之间， 故正确的选项是C． 5. 如图，在中，已知点D在上，且，则点D在（ ） A. 的垂直平分线上 B. 的平分线上 C. 的中点 D. 的垂直平分线上 【答案】A 【解析】 【分析】因为，，所以，点在的垂直平分线上，据此作答． 【详解】解：∵，， ， ∴点在的垂直平分线上， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，解题的关键是正确理解线段垂直平分线的判定定理． 6. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义即可判断． 【详解】解：A、对于一部分自变量的值，有多个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； B、对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，故选项符合题意； C、对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； D、对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； 7. 若一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数解析式判断其经过的象限．因为一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，故，，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限， ∴，， 即一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：B 8. 已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，即可求出答案． 【详解】解：设， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（共8小题） 9. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，把点先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移，根据点的平移法则：左减右加、上加下减即可得到答案，熟记点的平移法则是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，把点先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点，则的坐标是， 故答案为：． 11. 若点在第四象限，则a的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查直角坐标系中点的坐标特征及解一元一次方程组，掌握第四象限内点的横坐标是正数、纵坐标都是负数成为解答本题的关键．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得：． 故答案为： 12. 已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识，先由等腰三角形的性质分类讨论，再结合周长公式及三角形三边关系求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识是解决问题的关键． 【详解】解：由等腰三角形性质，分两种情况： 当腰是时，三角形的边长为，则该等腰三角形的周长是； 当腰是时，边长为，则由构成三角形的三边关系可知三条边长不能构成三角形，此种情况不存在； 故答案为：12． 13. 如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形、若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是___． 【答案】64 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴AB＝8（舍负）， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积， 故答案为：64． 【点睛】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，线段是由线段绕点逆时针旋转而得到的，则点的坐标是_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CM⊥x轴于M，根据旋转变换的性质可得△ABO与△BCM全等，再根据全等三角形对应边相等求出OB、CM的长度，然后根据点C在第二象限即可得出结论． 【详解】解：过点C作CM⊥x轴于M，则∠CMB=90°， 解：∵ ∴OB=2，OA=4； ∵线段是由线段绕点逆时针旋转而得到 ∴∠CMB=∠ABC=∠AOB=90°，BC=BA ∴∠ABO+∠OAB=90°，∠ABO+∠CBM=90° ∴∠OAB=∠CBM ∴△BCM≌△ABO， ∴BM=AO=4，CM=OB=2 ∴OM=BM+OB=6 ∵点C在第二象限， ∴C（-6，2） 故答案是：（-6，2） 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，利用全等三角形对应边相等求出点C到坐标轴的距离是解题的关键． 15. 如图，中，平分，分别垂直于，如果，，，那么______cm． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解角平分线上的点角两边的距离相等是解答此题的关键． 首先设，再根据角平分线的性质得，然后根据列出关于x的方程，最后解方程求出x即可． 【详解】解：设， ∵平分，、分别垂直于，， ∴， ∵，，， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 【答案】18 【解析】 【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可． 【详解】解：解：如图，连接BF， ∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点， ∴∠DBF=∠DBE=30°， 又∵∠ABC=30°， ∴∠CBF=60°， ∴即射线BF的位置是固定的， ∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°， ∴BF=BC. ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6， ∴AB=2AC=12，BC=， ∴BF=， 设BD=2x，则DF=x， ∴，即，解得x=3 ∴BD=6 ∴的周长为18． 故填：18． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解答本题的关键． 三．解答题（共11小题） 17. （1）计算： （2）已知：，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，求平方根的方法解方程： （1）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值后，计算加减法即可； （2）先把方程两边同时开方得到，再解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴或 解得或． 18. 已知函数． （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【小问1详解】 解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； 【小问2详解】 解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 19. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）当点在轴上时，求点的坐标； （2）已知直线平行于轴，且，求的长； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列方程求出m的值，再求解即可． 本题考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点在轴上， ∴， ， ， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：轴，且， 解得， ， ∴点的坐标为， ． 20. 如图，一次函数的图象过点，． （1）求此一次函数的解析式； （2）直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式、一次函数的图象等知识， （1）将A、B两点代入一次函数，利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象写出函数值小于等于2的自变量的取值范围即可； 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：观察图像可知：时，， 故答案为：． 21. 如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． （1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； （2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小； （3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝______． 【答案】（1） 如图：直线l即为所求， （2） 如图：连接CD，与直线l交于点P，点P即为所求． （3）3 【解析】 【分析】（1）连接对应点，作出对应点连线的垂直平分线； （2）连接CD，与直线l交于点P； （3）用割补法进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 22. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积的面积的面积 ． 23. 如图，中，平分交于点E，平分．交于点D，与交于点O，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分 【答案】（1） （2） 证明：如图1，过点O作于点N，于点M，于点K． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴点O在的平分线上． ∴平分． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理、 （1）结合角平分线设，，则，即，利用三角形的外角定理得即可； （2）过点O作于点N，于点M，于点K．则有和．即，即可得到点O在的平分线上． 【小问1详解】 解：∵，平分， ∴设，； ∵ ； ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． （1）求证：． （2）若，求． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： 是的垂直平分线， ， ， ，即是等腰三角形， 为线段的中点， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角得到，最后利用等腰三角形三线合一性质及三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， 由（1）知是等腰三角形，， 由等腰三角形三线合一性质可知是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了证明及求角度，涉及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 25. 十一黄金周期间，为了给顾客更好的购物体验，某超市便利店在店门口离地面一定高度的墙上D处，设置了一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临”的语音．如图，一个身高的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃到地面的距离与到该生头顶的距离相等． （1）请计算迎宾门铃到地面的距离等于多少米？ （2）若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，则，，设迎宾门铃距离地面，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）为该生向前走后的位置，则，，由（1）可知，，然后在中，由勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，，，， 过点作于点，如图1， 则，， 设迎宾门铃距离地面，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：． 答：迎宾门铃到地面的距离等于； 【小问2详解】 解：为该生向前走后的位置，如图2， 则， ， 由（1）可知，， 在中，由勾股定理得， 答：此时迎宾门铃距离该生头顶． 26. 【阅读教材】 苏科版八年级上册第69页《折纸与证明》．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图），怎样证明呢？ 分析：把沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 【感悟与应用】 （1）如图（a），在中，，，点D在边上且平分，若，求的长； （2）如图（b），在四边形中，平分，，，， ①求证：； ②求的长． 【答案】（1） （2） ① 在上截取，连接， 平分， ，又， ， ，， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据点D在边上且平分作图，在上截取，连接，证得，结合三角形内角和定理和直角三角形性质得到，，进而得到，，结合得出，进而可得，即可解题； （2）①在上截取，连接，由（1）同理可证，得到，，进而得到得，，根据，即可证明； ②作于点，结合等腰三角形性质设，结合勾股定理建立方程 求解，即可解题． 【小问1详解】 解：根据点D在边上且平分，作图如下： 在上截取，连接， 平分， ，又， ， ， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①略 ②作于点， ， ， 设， ，，， ，， ， 即， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线定义、直角三角形性质、等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于通过作辅助线证明三角形全等． 27. 平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． （4）点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值． 【答案】（1） （2）最小为 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标，作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． （4）作点关于的对称点，则，进而得出，当重合时，取得最小，即的长，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴，， 连接，过点作， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，则：， ∵， ∴三点共线，且为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 又∵为轴上的动点， ∴当轴时，最短，此时， ∴的最小值的最小值为； 【小问3详解】 解：图所示，当在点的左侧时，过点作轴于点， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设， 在中，， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， 当在点的右侧时，则与关于对称 又， ∴当在点的右侧时， 综上所述， 【小问4详解】 解：如图所示， 作点关于的对称点，则 ∵是等腰直角三角形， ∴，则 ∴是等腰直角三角形 ∵，，则， ∴， ∴， 依题意，， ∴ 当重合时，取得最小，即的长， 此时， 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $