4.2.1等差数列的概念7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 4.2.1等差数列的概念7题型分类 一、等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 二、等差中项 1．由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b. 2．若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 三、等差数列的通项公式 1．等差数列的通项公式：=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. 2．等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项，(n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 四、等差数列的性质 设{}为等差数列，公差为d，则 1．若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+. 2．数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列. （一） 等差数列基本量的求解 1、首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d. 2、根据所给条件，求解等差数列的基本量，即可得解． 题型1：等差数列的概念 1-1．（2024高一下·宁夏石嘴山·期中）下列数列不是等差数列的是（    ） A．0，0，0，…，0，… B．－2，－1，0，…，n－3，… C．1，3，5，…，2n－1，… D．0，1，3，…，，… 1-2．（2024高二上·河北唐山·期末）若不全相等的非零实数成等差数列且公差为，那么（    ） A．可能是等差数列 B．一定不是等差数列 C．一定是等差数列，且公差为 D．一定是等差数列，且公差为 1-3．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 题型2：求等差数列的基本量 2-1．（2024高二上·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求d； (3)已知，，，求n. 2-2．（2024高二·全国·课堂例题）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求． 2-3．（2024高二上·全国·课后作业）已知数列是等差数列． (1)如果，，求公差d和； (2)如果，，求公差d和． 2-4．（2024高二下·辽宁大连·期末）在等差数列中，，，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2-5．（2024高二上·福建龙岩·阶段练习）已知等差数列中， ， ，则首项与公差分别为（    ） A． B． C． D． 2-6．（2024高二上·山西朔州·期末）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 （二） 等差中项的应用 等差中项： 1．由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b. 2．若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 题型3：等差中项的应用 3-1．（2024高二下·湖北孝感·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高二下·全国·课后作业）在等差数列中，，则（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 3-3．（2024高二下·全国·课后作业）已知数列满足，且，则 . 3-4．（2024高二上·甘肃金昌·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．13 B．26 C．39 D．52 3-5．（2024高三上·重庆·期中）记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 3-6．（2024高二下·山东日照·期中）已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． （三） 等差数列的通项公式 1．首项a1、公差d的等差数列{an}的通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 2．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 3． 结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可. 4.等差数列中常见的设元技巧 （1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为； （2）三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为； （3）四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为． 题型4：求等差数列的通项公式 4-1．（2024高二·全国·课后作业）在等差数列-5，，-2，，…的每相邻两项中插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4-2．（2024高三上·江西吉安·期中）已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为（    ） A． B．20 C． D． 4-3．（2024·宁夏石嘴山·三模）在数列中，，，则 . 4-4．（2024高二上·河南三门峡·期末）若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4-5．（2024高二下·河北廊坊·开学考试）已知数列满足，，则 ． 4-6．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 . 4-7．（2024高二下·全国·课后作业）已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数． （四） 等差数列的判定与证明 等差数列常用的判定方法： (1)定义法：-=d (常数)(n){}是等差数列. (2)等差中项法：=+(n){}是等差数列. (3)通项公式法：=pn+q(p,q为常数,n){}是等差数列. 题型5：等差数列的判定与证明 5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，证明：为等差数列. 5-2．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列的前项和为，求证：数列是等差数列． 5-3．（2024高二·全国·专题练习）设数列的前n项和为，，，．证明：为等差数列； 5-4．（2024高二上·浙江绍兴·期中）已知数列满足，（），令. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 5-5．（2024高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知满足，且. (1)求； (2)证明数列是等差数列，并求的通项公式. 5-6．（2024·湖南岳阳·二模）数列满足，. (1)求，； (2)证明是等差数列，并求的通项公式. （五） 等差数列性质的应用 等差数列的性质： 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 5.对于等差数列的运算问题，可观察已知项和待求项的序号之间的关系，利用等差数列的性质进行求解，这样可以减少运算量，提高运算速度. 题型6：等差数列性质的应用 6-1．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列是等差数列，且，求． 6-2．（2024高二下·新疆巴音郭楞·期中）在等差数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6-3．（2024高二下·西藏日喀则·期末）在等差数列中，若，则 . 6-4．（2024·云南·模拟预测）若等差数列的前15项和，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6-5．（2024高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）等差数列中，若，则的值是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 6-6．（2024高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知等差数列的首项与公差d均为正数，且，，成等差数列，则，，的公差为（    ） A． B． C． D． （六） 等差数列的实际应用 1、解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息． 若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 2、合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题 题型7：等差数列的实际应用 7-1．（2024高三上·重庆沙坪坝·期中）哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的短周期彗星，其绕太阳公转周期为76年，曾于1606年回到近日点，奥伯斯彗星的绕太阳公转周期为70年，也曾于1606年回到近日点，则哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份为（    ） A．3916年 B．4190年 C．4266年 D．4570年 7-2．（2024高二上·江苏盐城·阶段练习）中国古代有一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少?”其中“欲均容”的意思是使容量变化均匀，即由下往上均匀变细.该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 7-3．（2024高二上·河北保定·期末）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，问大雪、寒露的日影长之和为（    ） A．21寸 B．20.5寸 C．20寸 D．19.5寸 7-4．（2024高三下·湖北·阶段练习）图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则 （    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高二上·江苏扬州·期末）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．（2024高二下·辽宁大连·阶段练习）在数列中，，，则数列是（    ） A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为的等差数列 D．不是等差数列 3．（2024高二下·贵州毕节·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2024高二下·黑龙江鹤岗·期中）等差数列中，，公差，则是数列的第（    ） A．项 B．项 C．项 D．项 5．（2024高二下·北京海淀·期中）两个数的等差中项是（　　） A． B． C．5 D．4 6．（2024高二下·甘肃天水·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．9 B． C．11 D． 7．（2024高二·全国·课后作业）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 8．（2024·广东惠州·一模）设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024高二下·广东广州·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二下·辽宁锦州·阶段练习）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则（    ） A．4043 B．4044 C．4045 D．4046 12．（2024高二下·甘肃天水·期末）在数列中，，，若，则等于（    ） A．671 B．673 C．674 D．675 13．（2024高二下·北京·期中）已知数列满足，，则当时，n的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 14．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2024高二下·辽宁沈阳·期中）在数列中，，，则（    ） A．121 B．100 C．81 D．64 16．（2024高二上·广东·期末）已知等差数列满足，，则值为（    ） A．1024 B． C．256 D． 17．（2024高三上·天津和平·阶段练习）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 18．（2024高二下·重庆北碚·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．36 B．42 C．48 D．54 19．（2024高二上·河南平顶山·期末）已知等差数列中，，是函数的两个零点，则（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 20．（2024高二上·河北邢台·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．12 B．18 C．6 D．9 21．（2024高二上·山东烟台·期末）数列的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合中元素的个数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 22．（2024高二下·陕西安康·期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ） A．56 B．57 C．58 D．59 23．（2024高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知公差不为0的等差数列满足（其中），则的最小值为（    ）. A．6 B．16 C． D．2 24．（2024高三上·广东佛山·开学考试）已知数列对任意满足，则（    ） A．4040 B．4043 C．4046 D．4049 25．（2024高二下·河南周口·阶段练习）已知数列的通项公式分别为，将各项并在一起，相等的项即为一项，从小到大排列成一个新的数列，则（    ） A．14155 B．6073 C．4047 D．4045 26．（2024·浙江台州·模拟预测）已知数列满足：，，.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．2022 27．（2024高二下·湖北孝感·期末）设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 28．（2024高二上·福建漳州·阶段练习）已知数列的前项和为，且，，则（    ） A．是等差数列B．是等比数列 C．是递增数列 D．是递减数列 29．（2024高三·全国·专题练习）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为（    ）. A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 30．（2024高二下·江西新余·期末）已知在数列中，，，则下列结论正确的是（    ） A．是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递增数列 31．（2024高二上·全国·课后作业）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 32．（2024高二·全国·课后作业）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（    ） A．-2，4，10，16 B．16，10，4，-2 C．2，5，8，11 D．11，8，5，2 33．（2024高二上·甘肃定西·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（    ） A．戊得钱是甲得钱的一半 B．乙得钱比丁得钱多钱 C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 34．（2024高二上·吉林延边·期末）设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（    ） A． B． C． D．． 三、填空题 35．（2024·陕西咸阳·模拟预测）若等差数列中，，则 ． 36．（2024高二下·辽宁·期末）在数列中，，且.则数列的通项公式为 . 37．（2024高二·全国·课后作业）在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是 . 38．（2024·江苏扬州·二模）已知等差数列的首项，而，则 . 39．（2024高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知为等差数列，，，则 ． 40．（2024高二下·山东日照·期末）已知数列为等差数列，且，则 ． 41．（2024高二下·河南许昌·期末）在数列中，对任意总有，且，则 ． 42．（2024高二下·上海闵行·期中）已知数列满足，且，，则 ． 43．（2024高二下·上海黄浦·期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为 尺； 四、解答题 44．（2024高一·全国·单元测试）已知数列的通项公式为. （1）试问10是数列中的项吗？ （2）求数列中的最小项. 45．（2024高二上·全国·课后作业）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 46．（2024高二上·全国·课后作业）观察图，写出点数所成数列的一个通项公式．    47．（2024高二·全国·随堂练习）某城市的绿化建设有如下统计数据： 年份 2015 2016 2017 2018 绿化覆盖率/% 17.0 17.8 18.6 19.4 如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过？ 48．（2024高二·全国·随堂练习）某城市环境噪声平均值见下表： 年份 2014 2015 2016 2017 噪声/dB 57.8 57.2 56.6 56.0 如果噪声平均值依此规律逐年减少，那么从2017年起，至少经过多少年，噪声平均值将小于42dB？ 49．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项. 50．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式. 51．（2024高二上·全国·课后作业）已知等差数列8，5，2，…． (1)求该数列的第20项． (2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由． (3)该数列共有多少项位于区间内？ 52．（2024高二·全国·课后作业）在数列中，，对任意的正整数，都有恒成立，求实数的取值范围. 53．（2024高二·全国·课堂例题）如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为，第5级的宽为，且各级的宽度从小到大构成等差数列，求其余三级的宽度．    54．（2024高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，，求的值． 55．（2024高二上·全国·课后作业）已知等差数列中，，，求首项与公差d． 56．（2024高二·江苏·课后作业）三个数成等差数列，它们的和是15，它们的平方和等于83，求这三个数． 57．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求的通项公式. 58．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等差数列． 59．（2024高二·全国·课堂例题）某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围． 60．（2024高二下·宁夏银川·期中）已知函数. (1)若在数列中，，，计算、、，并由此猜想通项公式； (2)证明（1）中的猜想． 61．（2024·安徽安庆·三模）已知数列中，，数列满足. (1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式； (2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项. 62．（2024高二上·浙江宁波·期中）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列． (1)求新数列的通项公式； (2)16是新数列中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 4.2.1等差数列的概念7题型分类 一、等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 二、等差中项 1．由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b. 2．若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 三、等差数列的通项公式 1．等差数列的通项公式：=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. 2．等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项，(n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 四、等差数列的性质 设{}为等差数列，公差为d，则 1．若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+. 2．数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列. （一） 等差数列基本量的求解 1、首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d. 2、根据所给条件，求解等差数列的基本量，即可得解． 题型1：等差数列的概念 1-1．（2024高一下·宁夏石嘴山·期中）下列数列不是等差数列的是（    ） A．0，0，0，…，0，… B．－2，－1，0，…，n－3，… C．1，3，5，…，2n－1，… D．0，1，3，…，，… 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义判断． 【详解】选项A中，后项减前项所得差均为0，是等差数列； 选项B中，后项减前项所得差都是1，是等差数列； 选项C中，后项减前项所得差都是2，是等差数列； 选项D中，，不是等差数列， 故选：D． 1-2．（2024高二上·河北唐山·期末）若不全相等的非零实数成等差数列且公差为，那么（    ） A．可能是等差数列 B．一定不是等差数列 C．一定是等差数列，且公差为 D．一定是等差数列，且公差为 【答案】B 【分析】利用等差中项的概念结合条件可得，进而即得. 【详解】若是等差数列，则， 因为成等差数列，则， 则，整理得，与非零实数不全相等矛盾， 所以一定不是等差数列. 故选：B. 1-3．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义判断． 【详解】设的公差为， 对于①，， 是等差数列，故①正确； 对于②，， 是等差数列，故②正确； 对于③，，是等差数列，故③正确； 对于④，若，则不是等差数列，故④错误； 故选：C． 题型2：求等差数列的基本量 2-1．（2024高二上·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求d； (3)已知，，，求n. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列通项公式代入计算即可； （2）根据等差数列通项公式代入计算即可； （3）根据等差数列通项公式代入计算即可； 【详解】（1）由知：； （2）因为，，所以，所以， 解得； （3）由知：，解得. 2-2．（2024高二·全国·课堂例题）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式求解； （2）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式列方程组求解． 【详解】（1）由等差数列的通项公式，得 （2）设等差数列的公差为d，那么，解得． 所以． 2-3．（2024高二上·全国·课后作业）已知数列是等差数列． (1)如果，，求公差d和； (2)如果，，求公差d和． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】根据等差数列的定义即可求得公差，即而可求得其它项. 【详解】（1）由等差数列的定义，可知公差，． （2）由题意知公差，． 2-4．（2024高二下·辽宁大连·期末）在等差数列中，，，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，然后根据已知条件列方程组可求出 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，所以， ，解得， 故选：B 2-5．（2024高二上·福建龙岩·阶段练习）已知等差数列中， ， ，则首项与公差分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意列出方程组，即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 依题得，解得. 故选：D 2-6．（2024高二上·山西朔州·期末）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【答案】B 【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可. 【详解】数列，即数列， 由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列， 所以通项公式， 令，解得. 故选：B. （二） 等差中项的应用 等差中项： 1．由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b. 2．若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 题型3：等差中项的应用 3-1．（2024高二下·湖北孝感·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列等差中项的性质可得公差，进而确定通项及. 【详解】由，， 可得，，则，， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：C. 3-2．（2024高二下·全国·课后作业）在等差数列中，，则（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】C 【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果. 【详解】由题设，，则， 所以. 故选：C 3-3．（2024高二下·全国·课后作业）已知数列满足，且，则 . 【答案】21 【分析】根据题中条件，判断数列为等差数列，再计算基本量即可得出结果． 【详解】由知，数列是等差数列，∴成等差数列． ∴，∴. 故答案为：21. 3-4．（2024高二上·甘肃金昌·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．13 B．26 C．39 D．52 【答案】D 【分析】 根据等差数列的性质，得到，求得，再由，即可求解. 【详解】 因为是等差数列，所以，解得， 所以． 故选：D． 3-5．（2024高三上·重庆·期中）记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及等差中项的意义列式求解即得. 【详解】等差数列的公差为，由是与的等差中项，得， 即，整理得，而，解得， 所以d的值为1. 故选：C 3-6．（2024高二下·山东日照·期中）已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求解可得，然后根据等差中项的性质，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 设a，b的等差中项为， 根据等差中项的定义，有. 故选：B. （三） 等差数列的通项公式 1．首项a1、公差d的等差数列{an}的通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 2．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 3． 结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可. 4.等差数列中常见的设元技巧 （1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为； （2）三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为； （3）四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为． 题型4：求等差数列的通项公式 4-1．（2024高二·全国·课后作业）在等差数列-5，，-2，，…的每相邻两项中插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用公式法求出通项公式即可. 【详解】因为新的等差数列的公差， 所以. 故选A. 4-2．（2024高三上·江西吉安·期中）已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为（    ） A． B．20 C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意，设这五个数分别为，根据条件列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】设这五个数分别为，， 由题意可得，解得， 且，解得， 则最大的数为. 故选：C 4-3．（2024·宁夏石嘴山·三模）在数列中，，，则 . 【答案】 【分析】先求得数列的通项公式，进而求得数列的通项公式. 【详解】依题意，，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 4-4．（2024高二上·河南三门峡·期末）若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义及通项公式求解. 【详解】因为， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以. 故选：D 4-5．（2024高二下·河北廊坊·开学考试）已知数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】变形得到，利用等差数列求通项公式得到，进而得到答案. 【详解】由变形为， 等式两边同除以得，， 故为公差为的等差数列， 所以，所以． 故答案为： 4-6．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 . 【答案】 【分析】 先计算出等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，求出新数列的第项. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以， 设在数列每相邻两项之间插入三个数所得新数列为， 则新的等差数列的公差为，首项为， 所以新数列的通项公式为， 故. 故答案为：. 4-7．（2024高二下·全国·课后作业）已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数． 【答案】－，，1，，或，，1，，－ 【分析】 可设5个数分别为，根据题设得到关于的方程组，解这个方程组可得所求的5个数. 【详解】 设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为，由已知有 ， 整理得，所以. 当时,这5个数分别为－，，1，，； 当时,这5个数分别为，，1，，－. 综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－. （四） 等差数列的判定与证明 等差数列常用的判定方法： (1)定义法：-=d (常数)(n){}是等差数列. (2)等差中项法：=+(n){}是等差数列. (3)通项公式法：=pn+q(p,q为常数,n){}是等差数列. 题型5：等差数列的判定与证明 5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，证明：为等差数列. 【答案】证明见解析 【分析】设，由已知等式变形可得，推导出对任意的，（常数），结合等差数列的定义可证得结论成立. 【详解】证明：设，由可得， 从而可得，，，，， 由上可知，对任意的，（常数）， 因此，数列为等差数列. 5-2．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列的前项和为，求证：数列是等差数列． 【答案】证明见解析 【分析】根据与的关系求得通项，再根据等差数列的定义证明即可. 【详解】证明：已知数列的前项和为 当时， 所以 又当时，符合上式，所以 则，所以数列是等差数列 5-3．（2024高二·全国·专题练习）设数列的前n项和为，，，．证明：为等差数列； 【答案】证明见解析 【分析】 根据数列前n项和与第n项的关系，结合等差中项的性质进行证明即可. 【详解】 当时，， 则， 即，，· 因为，· 所以有①， 所以②， 则①②得， 即，· 所以为等差数列． 5-4．（2024高二上·浙江绍兴·期中）已知数列满足，（），令. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）采用迭代法，可求，; （2）将转化为，即可证明数列是等差数列，算出数列的通项公式后即可计算数列的通项公式. 【详解】（1）因为，且， 当时，， 当时，. （2）因为， 所以， 两边同时取倒数有：， 令，有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 5-5．（2024高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知满足，且. (1)求； (2)证明数列是等差数列，并求的通项公式. 【答案】(1) (2)证明详见解析， 【分析】 （1）根据递推关系求得正确答案. （2）根据已知条件进行整理，结合等差数列的定义进行证明，进而求得. 【详解】（1）依题意，，， 所以，， 所以. （2）依题意，，， 所以，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以. 5-6．（2024·湖南岳阳·二模）数列满足，. (1)求，； (2)证明是等差数列，并求的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）根据数列的递推式，分别令n=1,n=2，可求得结果； （2）根据可得，然后证明等于常数，继而求得数列的通项公式. 【详解】（1）由，， ，, ，; （2）证明：由已知得， ∵ ， 又∵， ∴是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴， 解得： （五） 等差数列性质的应用 等差数列的性质： 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 5.对于等差数列的运算问题，可观察已知项和待求项的序号之间的关系，利用等差数列的性质进行求解，这样可以减少运算量，提高运算速度. 题型6：等差数列性质的应用 6-1．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列是等差数列，且，求． 【答案】 【分析】根据等差数列下标和性质，结合对数运算法则可求得结果. 【详解】由等差数列性质知：， ，. 6-2．（2024高二下·新疆巴音郭楞·期中）在等差数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差中项的性质求出的值，再利用等差数列的基本性质可求得所求代数式的值. 【详解】在等差数列中，，可得， 所以， . 故选：C. 6-3．（2024高二下·西藏日喀则·期末）在等差数列中，若，则 . 【答案】24 【分析】由等差中项的性质即可求解. 【详解】解：因为在等差数列中，有， 所以由， 得，， 又， 所以. 故答案为：24 6-4．（2024·云南·模拟预测）若等差数列的前15项和，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由得到，再化简，即得解. 【详解】由题得. . 故选： 【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6-5．（2024高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）等差数列中，若，则的值是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】先由等差数列的性质得，再用性质求解 【详解】解：依题意，由，得，即 所以 故选C 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，根据题意结合等差数列的等差中项进行化简求出结果，较为基础 6-6．（2024高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知等差数列的首项与公差d均为正数，且，，成等差数列，则，，的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，成等差数列直接列式，求出和的关系，进而求出结果. 【详解】因为是公差为的等差数列，所以， 因为成等差数列，所以， 所以，即，所以， 又因为，所以， 则， 故选：C. （六） 等差数列的实际应用 1、解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息． 若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 2、合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题 题型7：等差数列的实际应用 7-1．（2024高三上·重庆沙坪坝·期中）哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的短周期彗星，其绕太阳公转周期为76年，曾于1606年回到近日点，奥伯斯彗星的绕太阳公转周期为70年，也曾于1606年回到近日点，则哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份为（    ） A．3916年 B．4190年 C．4266年 D．4570年 【答案】C 【分析】哈雷彗星与奥伯斯彗星回到近日点的年份分别成等差数列，首项都是，根据间隔求出公共项即可得到结果. 【详解】哈雷彗星回到近日点的年份为，奥伯斯彗星回到近日点的年份为， 则与公共项构成以1606为首项，70与76的最小公倍数为公差的等差数列，又70与 76 的最小公倍数为2660，则哈雷彗星与奥伯斯彗星同年回到近日点的年份为.令，则. 故选：C. 7-2．（2024高二上·江苏盐城·阶段练习）中国古代有一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少?”其中“欲均容”的意思是使容量变化均匀，即由下往上均匀变细.该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【分析】 设自上而下依次设各节竹子的容积分别为升，升，……，升，则数列，，……，为等差数列，再由已知条件列方程组，再根据等差数列的性质可求得结果. 【详解】设自上而下依次设各节竹子的容积分别为升，升，……，升，则数列，，……，为等差数列， 由题意得， 因为， 所以， 所以， 所以第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为升， 故选：B 7-3．（2024高二上·河北保定·期末）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，问大雪、寒露的日影长之和为（    ） A．21寸 B．20.5寸 C．20寸 D．19.5寸 【答案】A 【分析】 由题意可得日影长可构成等差数列，且可求出，从而可求出大雪、寒露的日影长之和为. 【详解】因为从冬至到夏至的日影长等量减少， 所以日影长可构成等差数列， 因为冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5， 所以，则，得， 所以大雪、寒露的日影长之和为（寸）， 故选：A 7-4．（2024高三下·湖北·阶段练习）图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出，且，从而说明数列是以为首项，为公差的等差数列，求得数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意知，， ，，，，都是直角三角形， ，且，故， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ． 又，， 数列的通项公式为， ， 故选：C． 一、单选题 1．（2024高二上·江苏扬州·期末）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【解析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数. 【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列， 且，故公差， 故， 故选：B. 2．（2024高二下·辽宁大连·阶段练习）在数列中，，，则数列是（    ） A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为的等差数列 D．不是等差数列 【答案】B 【分析】由已知递推关系式得到，根据等差数列定义可得结果. 【详解】由得：，即， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列，ACD错误，B正确. 故选：B. 3．（2024高二下·贵州毕节·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质求得. 【详解】依题意，. 故选：C 4．（2024高二下·黑龙江鹤岗·期中）等差数列中，，公差，则是数列的第（    ） A．项 B．项 C．项 D．项 【答案】A 【分析】由题意可得等差数列的通项公式，令，即可求得. 【详解】因为等差数列中，，公差，所以，则，所以，即，解得. 故选：A. 5．（2024高二下·北京海淀·期中）两个数的等差中项是（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】利用等差中项的定义即可得出结论． 【详解】两个数的等差中项为. 故选：C． 6．（2024高二下·甘肃天水·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．9 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到数列为等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】由数列满足，可得，即， 因为，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 则，所以. 故选：B. 7．（2024高二·全国·课后作业）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【分析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果. 【详解】由，即，解得，因为,故. 故选：A. 8．（2024·广东惠州·一模）设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义，结合充分、必要性定义判断即可. 【详解】充分性：若，则，即，∴，即，所以充分性成立；必要性：若，即，∴，则，必要性成立.因此，“”是“”的充要条件. 故选：C. 9．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差中项求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即， 所以， 故选：A 10．（2024高二下·广东广州·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，数列是首项为，公差为的等差数列，逐项计算可得出所求代数式的值. 【详解】因为，所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 则，，，，， 因此，. 故选：A. 11．（2024高二下·辽宁锦州·阶段练习）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则（    ） A．4043 B．4044 C．4045 D．4046 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质求出，再代入即可. 【详解】设数列的公差为，由题意可知，，，， 故，故， 则． 故选：C. 12．（2024高二下·甘肃天水·期末）在数列中，，，若，则等于（    ） A．671 B．673 C．674 D．675 【答案】C 【分析】由题意可知是以为首项，为公差的等差数列，求得通项公式，从而可求解. 【详解】由，得，即是以为首项，为公差的等差数列， 故，由，解得． 故选：C． 13．（2024高二下·北京·期中）已知数列满足，，则当时，n的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】由递推关系可得数列是等差数列，根据等差数列的通项公式求出，再求解不等式即可. 【详解】因为,，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. 令，可得，解得. 因为,所以,所以n的最大值为4. 故选:B. 14．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，从而求出公差的取值范围. 【详解】因为首项为的等差数列，从第项起开始为正数， 所以，即，解得， 故选：C 15．（2024高二下·辽宁沈阳·期中）在数列中，，，则（    ） A．121 B．100 C．81 D．64 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得数列是公差为的等差数列，即可得到结果. 【详解】因为，所以，故数列是公差为的等差数列， 因为，所以，则. 故选：C 16．（2024高二上·广东·期末）已知等差数列满足，，则值为（    ） A．1024 B． C．256 D． 【答案】B 【分析】 由对数运算，得出，再计算公差，由等差数列性质求出结果. 【详解】由已知， 因为数列是等差数列，设公差为，由，又，解得. 故有，， . 故选：B. 17．（2024高三上·天津和平·阶段练习）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】C 【分析】设此等差数列为，公差为，由题意列方程求出，进而得解. 【详解】设此等差数列为，公差为， 由题意可得： 则，联立解得 故选：C． 18．（2024高二下·重庆北碚·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．36 B．42 C．48 D．54 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质结合题设求得公差，即可求得，继而根据等差数列的性质求得答案. 【详解】由题意等差数列满足， 故， 则等差数列的公差为， 故， 故选：B 19．（2024高二上·河南平顶山·期末）已知等差数列中，，是函数的两个零点，则（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由等差数列的性质进行计算即可. 【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， ∴， ∵数列为等差数列， ∴， ∴. 故选：B. 20．（2024高二上·河北邢台·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．12 B．18 C．6 D．9 【答案】D 【分析】 根据等差数列的性质转化运算即可. 【详解】因为等差数列中， 所以，所以. 故选：D. 21．（2024高二上·山东烟台·期末）数列的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合中元素的个数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 【答案】C 【分析】利用列举法可知，将集合中的元素由小到大进行排序，构成的数列记为，可知数列为等差数列，求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论. 【详解】由题意可知，数列、、、、、、、、、、， 数列、、、、、、、、、、， 将集合中的元素由小到大进行排序，构成数列、、、， 易知数列是首项为，公差为的等差数列，则， 由，可得， 因此，集合中元素的个数为. 故选：C. 22．（2024高二下·陕西安康·期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ） A．56 B．57 C．58 D．59 【答案】C 【分析】由题意能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的数，从而可得数列的通项，再结合条件列不等式，即可得到结果. 【详解】因为能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的数， 所以，，，即是以1为首项，35为公差的等差数列， 即. 由题意知且，得， 解得，，所以此数列的项数为58项. 故选：C. 23．（2024高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知公差不为0的等差数列满足（其中），则的最小值为（    ）. A．6 B．16 C． D．2 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，代入化简可得，则，化简后利用基本不等式可求得其最小值. 【详解】设等差数列的公差为，则由，得 ， 则， 因为，所以（）， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2， 故选：D 24．（2024高三上·广东佛山·开学考试）已知数列对任意满足，则（    ） A．4040 B．4043 C．4046 D．4049 【答案】B 【分析】根据数列的递推公式可知相邻的奇数项或者偶数项成等差数列，写出的表达式即可求出结果. 【详解】由可得； 两式相减可得； 即相邻的奇数项或者偶数项成等差数列，且公差为4， 所以可得，即； 当时，，因此. 故选：B 25．（2024高二下·河南周口·阶段练习）已知数列的通项公式分别为，将各项并在一起，相等的项即为一项，从小到大排列成一个新的数列，则（    ） A．14155 B．6073 C．4047 D．4045 【答案】D 【分析】首先观察的项特征，把中的项按个一组划分，写出第组的项的格式，从而得解. 【详解】根据题意，得；； 故，把中的项按6个一组划分， 则第组可表示为，，，，， ，， 又，故是第组的第一个数，则． 故选：D． 26．（2024·浙江台州·模拟预测）已知数列满足：，，.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．2022 【答案】A 【分析】令，则，再根据等差数列的定义即可得到，即可求出答案. 【详解】令，则 故，为常数， 故数列是等差数列 故选：A. 27．（2024高二下·湖北孝感·期末）设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由求出的表达式，结合等差数列的定义可判断充分条件；举特例可判断必要条件，综合可得结论. 【详解】若，则；当时，. 所以，对任意的，，则，此时，数列是等差数列， 故“”能得出“是等差数列”； 若“是等差数列”，不妨设，则， 即“是等差数列”不能得出“”. 所以“”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 二、多选题 28．（2024高二上·福建漳州·阶段练习）已知数列的前项和为，且，，则（    ） A．是等差数列B．是等比数列 C．是递增数列 D．是递减数列 【答案】AD 【分析】 依题意可得，即可得到是递减的等差数列； 【详解】解：因为，所以，又， 所以是由为首项，为公差的等差数列， 因为公差小于，所以是递减数列； 故选：AD 29．（2024高三·全国·专题练习）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为（    ）. A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】， ，所以是递增数列，故①正确， ，当时，数列不是递增数列，故②不正确， ，当时，不是递增数列，故③不正确， ，因为，所以是递增数列，故④正确， 故选： 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题. 30．（2024高二下·江西新余·期末）已知在数列中，，，则下列结论正确的是（    ） A．是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递增数列 【答案】CD 【分析】根据递推关系可得，进而根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由可得，所以是以公差为1的等差数列，故CD正确， ，故不是等差数列，而且为单调递减数列，故AB错误， 故选：CD 31．（2024高二上·全国·课后作业）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】AD 【分析】根据可判断A；举反例可判断B，C；结合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，等差数列的公差，则数列是递增数列，正确； 对于B，不妨取，则不是递增数列，B错误； 对于C，不妨取，则不是递增数列，C错误； 对于D，由于等差数列的公差，随n的增大而增大，随n的增大而增大， 故也随n的增大而增大，即数列是递增数列，D正确， 故选：AD 32．（2024高二·全国·课后作业）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（    ） A．-2，4，10，16 B．16，10，4，-2 C．2，5，8，11 D．11，8，5，2 【答案】AB 【分析】根据等差数列的性质，列出方程求解即可 【详解】设这四个数分别为，，，， 则解得或 所以这四个数依次为-2，4，10，16或16，10，4，-2. 故选：AB 33．（2024高二上·甘肃定西·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（    ） A．戊得钱是甲得钱的一半 B．乙得钱比丁得钱多钱 C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 【答案】BD 【分析】根据题意列方程，得到，，然后判断即可. 【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，， 则由题意可知，，即， 又，所以，所以， 所以，，，， 所以甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱， 所以戊得钱是甲得钱的一半，故A正确； 乙得钱比丁得钱多钱，故B错误； 甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确； 丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误． 故选：BD. 34．（2024高二上·吉林延边·期末）设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】AB 【分析】对各个选项，利用求出数列的通项，再借助通项判断等差数列作答. 【详解】对于A，当时，，而满足上式， 则，数列是常数数列，是等差数列，A是； 对于B，当时，，而满足上式， 则有，数列的通项是n的一次整式，是等差数列，B是； 对于C，当时，，而不满足上式， 则，显然，数列不是等差数列，C不是； 对于D，当时，，而不满足上式， 则，显然，数列的不是等差数列，D不是. 故选：AB 三、填空题 35．（2024·陕西咸阳·模拟预测）若等差数列中，，则 ． 【答案】6 【分析】利用等差数列下标和性质可得. 【详解】由等差数列下标和性质可知，，得， 所以. 故答案为：6 36．（2024高二下·辽宁·期末）在数列中，，且.则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】判断是以为首项，以公差的等差数列，从而可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以是以为首项，以公差的等差数列， 所以， 则， 故答案为：. 37．（2024高二·全国·课后作业）在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是 . 【答案】-1 【分析】根据数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，得到数列的通项公式求解. 【详解】数列是以首项为31，公差为－4的等差数列， 所以数列的通项公式为an＝35－4n. 则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0. 又a8＝3，a9＝－1. 所以绝对值最小的项为a9＝－1. 故答案为：-1 38．（2024·江苏扬州·二模）已知等差数列的首项，而，则 . 【答案】0 【分析】由，代入即可化简求值. 【详解】等差数列的首项，，则. 故答案为：0. 39．（2024高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知为等差数列，，，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解. 【详解】设公差为， 由，， 得，解得， 所以. 故答案为：. 40．（2024高二下·山东日照·期末）已知数列为等差数列，且，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质以及已知条件可求，进而可得结果. 【详解】因为数列为等差数列， 所以，即， 所以. 故答案为：. 41．（2024高二下·河南许昌·期末）在数列中，对任意总有，且，则 ． 【答案】 【分析】先证明数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式求解. 【详解】因为，， 令,则，故， ∴为等差数列，首项和公差均为， ∴，∴， 故答案为：. 42．（2024高二下·上海闵行·期中）已知数列满足，且，，则 ． 【答案】 【分析】 根据等差中项法判断数列为等差数列，进而利用等差数列的性质求解. 【详解】因为数列满足， 所以数列为等差数列， 所以，又因为，， 所以，解得， 故答案为：. 43．（2024高二下·上海黄浦·期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为 尺； 【答案】/ 【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，从而求出所求项即可. 【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为， 则立春的日影子长为第项，芒种的日影子长为第项，立夏的日影子为第项， 所以，解得， 则， 所以立夏的日影子长为尺. 故答案为：. 四、解答题 44．（2024高一·全国·单元测试）已知数列的通项公式为. （1）试问10是数列中的项吗？ （2）求数列中的最小项. 【答案】（1）8  （2）当或时，取得最小值-20. 【分析】（1）将10代入通项公式，解得，即可得出结论； （2）根据数列的函数性，结合二次函数的性质与项数的特征，即可得出结论. 【详解】解（1）令，即， 解得（舍去）或， 因此10是数列中的第8项. （2）由，且知， 当或时，取得最小值-20. 所以数列中的最小项为： 【点睛】本题考查数列的通项公式及其函数性、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 45．（2024高二上·全国·课后作业）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)为递减数列． 【分析】（1）根据已知的两点，列出关于数列基本量的方程组，解出首项、公差d； （2）函数图像是在解析式对应直线方程上的离散的点，再坐标系中描出这些点； （3）直接根据公差的正负判断数列的单调性. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d． 因为，是等差数列的图象上的两点， 所以，，即，解得． 因此，． （2）等差数列的图象是均匀分布在直线上的一系列离散的点，如下图所示：    （3）因为公差，所以等差数列为递减数列． 46．（2024高二上·全国·课后作业）观察图，写出点数所成数列的一个通项公式．    【答案】 【分析】观察图中点数增加规律是依次增加3，可得求解. 【详解】由图可知，图中点数依次增加3，所以该题满足等差数列， 且首项，公差， 所以. 47．（2024高二·全国·随堂练习）某城市的绿化建设有如下统计数据： 年份 2015 2016 2017 2018 绿化覆盖率/% 17.0 17.8 18.6 19.4 如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过？ 【答案】2024 【分析】得出每年的绿化覆盖率成等差数列，求出通项公式，进而得到不等式，求出答案. 【详解】由表中数据可知，每年的绿化覆盖率成等差数列，设为， 则，公差， 故通项公式为， 令，解得， ， 故至少到2024年该城市的绿化覆盖率可超过. 48．（2024高二·全国·随堂练习）某城市环境噪声平均值见下表： 年份 2014 2015 2016 2017 噪声/dB 57.8 57.2 56.6 56.0 如果噪声平均值依此规律逐年减少，那么从2017年起，至少经过多少年，噪声平均值将小于42dB？ 【答案】 【分析】根据每年噪声的平均值的差值为定值，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】从2014年起，每年的年份从1开始记起， 设2014年噪声为，2015年噪声为，2016年噪声为，2017年噪声为， 从表中数据可知：， 所以数列为等差数列，， 由题意可知：， 因此从2014年起，需要年，噪声平均值将小于42dB， 所以从2017年起，需要年，噪声平均值将小于42dB. 49．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项. 【答案】 【分析】取倒数后得到是等差数列，求出，得到通项公式. 【详解】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2， ， ∴. 50．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式. 【答案】 【分析】两边取倒数后得到是一个等差数列，从而求出通项公式. 【详解】将两边取倒数得：， 这说明是一个等差数列，首项是，公差为2， ∴，即，经检验，满足上式， 故通项公式为. 51．（2024高二上·全国·课后作业）已知等差数列8，5，2，…． (1)求该数列的第20项． (2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由． (3)该数列共有多少项位于区间内？ 【答案】(1)； (2)是该等差数列的第44项； (3)67项． 【分析】根据等差数列已知的前两项，直接得出首项和公差，即可得到数列的通项公式. （1）直接将代入通项公式即可； （2）令，如果有正整数解，说明是该等差数列中的项； （3）解不等式，找出解集内正整数的个数. 【详解】（1）记该等差数列为，公差为d， 由，，得数列的通项公式是． 该数列的第20项． （2）由第一问，， 如果是这个数列的项，则方程有正整数解． 解这个方程，得，故是该等差数列的第44项． （3）由第一问，， 解不等式，得． 因此，该数列位于区间内的项从第4项起直至第70项，共有67项． 52．（2024高二·全国·课后作业）在数列中，，对任意的正整数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由可得任意的正整数恒成立,解出的范围即可 【详解】由题,对任意的正整数,都有恒成立, ,即恒成立, 对任意的正整数恒成立, ,即 【点睛】本题考查数列的增减性,考查数列的函数特性,考查数学转换思想 53．（2024高二·全国·课堂例题）如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为，第5级的宽为，且各级的宽度从小到大构成等差数列，求其余三级的宽度．    【答案】． 【分析】解法一：设公差为d，根据题意求得，进而求得的值； 解法二：由等差数列为，结合等差中项公式，即可求解. 【详解】解法一：由题意，可得． 设公差为d，则，解得． 因此， ， ． 因此，其余三级的宽度分别为． 解法二：因为等差数列为，共5项． 又因为，所以，即． 类似地，， 所以． 因此，其余三级的宽度分别为． 54．（2024高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，，求的值． 【答案】 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得. 【详解】在等差数列中，，， 所以，即，解得. 55．（2024高二上·全国·课后作业）已知等差数列中，，，求首项与公差d． 【答案】 【分析】由题意列出方程组，即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为d， 由，得， 解得. 56．（2024高二·江苏·课后作业）三个数成等差数列，它们的和是15，它们的平方和等于83，求这三个数． 【答案】3，5，7. 【分析】利用等差中项，列方程即可. 【详解】依题意：设三个数为a，b，c,则有，b为等差中项，故， b=5，，∴， 联立方程解得，， 故答案为：3，5，7. 57．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求的通项公式. 【答案】证明见解析， 【分析】在等式两边同时除以，结合等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式. 【详解】证明：在等式两边同时除以，可得， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为， 因此，，故. 58．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等差数列． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的条件，利用前n项和求出通项作答. （2）由（1）的结论，结合等差数列定义判断作答. 【详解】（1）由，，得当时，， 于是， 而当时，亦满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，当时，， 因此． 所以数列是一个以2为公差的等差数列． 59．（2024高二·全国·课堂例题）某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围． 【答案】 【分析】这台设备使用n年后的价值构成一个数列．由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解． 【详解】解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列．由已知条件，得 ． 由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元，所以， 于是． 根据题意，得， 即， 解这个不等式组，得． 所以d的取值范围为． 60．（2024高二下·宁夏银川·期中）已知函数. (1)若在数列中，，，计算、、，并由此猜想通项公式； (2)证明（1）中的猜想． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可得出，利用递推公式可写出、、的值，进而可猜想出数列的通项公式； （2）由递推公式变形可得出，可知，数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式. 【详解】（1）解：因为，在数列中，，，则， 所以，，，， 猜想，对任意的，. （2）证明：因为，，则，即， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，，故对任意的，. 61．（2024·安徽安庆·三模）已知数列中，，数列满足. (1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式； (2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项. 【答案】(1)证明见解析，； (2)，最大项为，最小项为. 【分析】（1）通过已知条件化简变形，凑出这种形式，凑出常数，就可以证明数列是等差数列，并利用等差数列的通项公式求出通项公式； （2）利用的通项公式求出数列的通项公式，把通项公式看成函数，利用函数图像求最大值和最小值；或利用函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴，又， 所以， ∴数列是以1为公差的等差数列； 又∵，， ∴是以为首项，为公差的等差数列， ∴，； （2）∵， 所以， ∴作函数的大致图象，    ∴由图知，在数列中，最大项为，最小项为； 另解：因为， 当时，数列是递减数列，且，， 当时，数列是递减数列，且， 所以在数列中，最大项为，最小项为. 62．（2024高二上·浙江宁波·期中）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列． (1)求新数列的通项公式； (2)16是新数列中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是 【分析】（1）求出原等差数列的通项公式，利用求解； （2）根据数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）设已知的等差数列为，易知， 则， 则， 由题意知：. （2）令， 故是新数列中的项. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$