精品解析：山东省济宁市邹城市第十中学2024—2025学年上学期八年级第一次月考数学试题

2024−2025学年第一学期八年级第一次月考数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 已知三角形三边分别为2，a-1，4，那么a的取值范围是（　　） A. 1＜a＜5 B. 2＜a＜6 C. 3＜a＜7 D. 4＜a＜6 2. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，G为的中点，延长交于点E．F为上一点，，垂足为H．下列判断正确的是（ ） A. 是的角平分线 B. 是的边上的中线 C. 是的边上的高 D. 是的角平分线 4. 如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 5. 如图，△ABC沿直线MN折叠，使点A与AB边上的点E重合，若∠B=54°，∠C=90°，则∠ENC等于（ ） A. 54° B. 62° C. 72° D. 76° 6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 7. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为(　　) A. (－，1) B. (－1，) C. (，1) D. (－，－1) 8. 如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1BlC1的面积是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 10. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 12. 已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为_____度． 13. 如图：________________． 14. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝78°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是_____． 15. 将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，则∠1的度数是______________； 16. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为________． 17. 如图，在中，点D、E、F分别是上的点，若，，则________． 18. 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，则下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是 _____． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解箸应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，在中，． （1）过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，，求的面积． 20. 如图，在中，是高，是角平分线． （1）若，求和的度数． （2）若，求的长． 21. 如图，． （1）求的度数； （2）若，求证：． 22. 已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 23. 如图，和中，．连接与交于点M，与交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 24. （1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年第一学期八年级第一次月考数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 已知三角形三边分别为2，a-1，4，那么a的取值范围是（　　） A. 1＜a＜5 B. 2＜a＜6 C. 3＜a＜7 D. 4＜a＜6 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式：4-2＜a-1＜4+2，化简即可得出a的取值范围． 【详解】解：依题意得：4-2＜a-1＜4+2， 即：2＜a-1＜6， ∴3＜a＜7． 故选C． 【点睛】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 2. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的概念及三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解题的关键，根据三角形边上高的定义即可判定，从而得到答案． 【详解】解：根据高的定义：边上的高，垂足应在边上，或线段的延长线或反向延长线上，且经过顶点， 符合条件的是， 故选：D． 3. 如图，在中，，G为的中点，延长交于点E．F为上一点，，垂足为H．下列判断正确的是（ ） A. 是的角平分线 B. 是的边上的中线 C. 是的边上的高 D. 是的角平分线 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键． 【详解】解：A、根据三角形的角平分线的概念，∵，∴是的角平分线，是的角平分线，故原说法不正确； B、根据三角形的中线的概念，知是的边上的中线，故原说法不正确； C、根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故原说法正确； D、根据三角形的角平分线和高的概念，知是的高线，故原说法不正确． 故选：C． 4. 如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 【答案】B 【解析】 【分析】认真阅读作法，可得出，结论可得． 【详解】解：根据题意得：， ∴△ODM≌△CEN的依据是“”， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等． 5. 如图，△ABC沿直线MN折叠，使点A与AB边上的点E重合，若∠B=54°，∠C=90°，则∠ENC等于（ ） A. 54° B. 62° C. 72° D. 76° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余可得，再根据折叠的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、折叠、三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 7. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为(　　) A. (－，1) B. (－1，) C. (，1) D. (－，－1) 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E， ∵∠OAD+∠AOD=∠COE+∠AOD， ∴∠OAD=∠COE， ∵OC=OA，∠ODA=∠OEC=90°， ∴△OAD△OCE全等， ∴OE=AD=，CE=OD=1， ∴点C的坐标为（-，1）， 故选A． 8. 如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1BlC1的面积是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解． 解：如图，连接AB1，BC1，CA1， ∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点， ∴S△ABB1=S△ABC=1， S△A1AB1=S△ABB1=1， ∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2， 同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2， ∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7． 故选D． 考点：三角形的面积． 9. 如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的转化，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将的面积与的面积建立等量关系． 延长交于点利用平分和证明得出且与面积相等；由可知与面积相等；通过面积转化可得的面积是面积的2倍，进而求出的面积． 【详解】延长交于点G． ∵ 平分 ∴． ∵ ∴． 在和中， ∴． ∴ ． ∵ ∴和等底同高（以、为底，高均为点C到的距离）， ∴． ∵ 且 ∴ ∵ ∴即． 故选：C． 10. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴平分，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 12. 已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为_____度． 【答案】36 【解析】 【分析】首先设此正多边形为n边形，根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，即可求得n=10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案． 【详解】设此多边形为n边形， 根据题意得：180°（n﹣2）=1440°， 解得：n=10， ∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握定义与相关方法是解题关键. 13. 如图：________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和以及三角形外角的性质，解题的关键是利用三角形外角的性质将所求角转化到一个四边形中进行计算． 通过连接，利用三角形外角的性质将和转化为和，再根据四边形内角和为求出的度数． 【详解】连接，为与的交点， 在和中， ， ， 那么． 而正好是四边形的内角和． 根据多边形内角和公式：边形内角和为， 四边形内角和为， 所以． 故答案为：． 14. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝78°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是_____． 【答案】42° 【解析】 【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE＝78°，可得∠CFE＝78°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E＝∠DCE﹣∠CFE． 【详解】解：如图，延长DC交AE于F， ∵AB∥CD，∠BAE＝78， ∴∠CFE＝78°， 又∵∠DCE＝120°， ∴∠E＝∠DCE﹣∠CFE＝120°﹣78°＝42°， 故答案为：42°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 15. 将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，则∠1的度数是______________； 【答案】75° 【解析】 【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可． 【详解】解：一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°， 由图可知∠1所在的三角形另外两个角的度数是60°，90°-45°=45°， 所以∠1=30°+45°=75° 故答案是：75°． 【点睛】主要考查了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°和三角形外角的性质．本题容易，解法很灵活． 16. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为________． 【答案】25° 【解析】 【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案． 【详解】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE， ∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC， ∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC， ∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC， ∴∠A＝2∠E， ∵∠A＝50°， ∴∠E＝25°， 故答案为：25°． 【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 17. 如图，在中，点D、E、F分别是上的点，若，，则________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】由“”可证，可得，由外角的性质可得，可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 18. 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，则下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是 _____． 【答案】①② 【解析】 【分析】利用角平分线的定义和三角形内角和定理可得①正确；构造全等三角形，即可确定②正确；利用角平分线性质，通过等面积法，分解成三个三角形表示即可确定③错误． 【详解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O， ∴∠OBA＝，， ∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB ＝ ＝ ＝ ＝，故①正确； ∵∠C＝60°， ∴∠BAC+∠ABC＝120°， ∵AE、BF分别平分∠BAC与∠ABC， ∴∠OAB+∠OBA＝＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠AOF＝60°， ∴∠BOE＝60°， 如图，在AB上取一点H，使BH＝BE， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠HBO＝∠EBO， 在△HBO与△EBO中， ， ∴△HBO≌△EBO（SAS）， ∴∠BOH＝∠BOE＝60°， ∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠AOH＝∠AOF， 在△HAO与△FAO中， ， ∴△HAO≌△FAO（ASA）， ∴AH＝AF， ∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确； 作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M， ∵∠BAC与∠ABC的平分线相交于点O， ∴点O在∠C的平分线上， ∴OH＝OM＝OD＝a， ∵AB+AC+BC＝2b， ∴ ＝ ＝ab，故③错误， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查角平分线的定义和性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，结合问题作出恰当的辅助线是解决问题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解箸应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，在中，． （1）过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 解：如图，为的平分线． （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质定理，三角形面积的计算，掌握分割法求三角形面积是解题关键． （1）通过尺规作图作出的平分线； （2）过点作的垂线，交于点，利用角平分线的性质得，将的面积拆分为与的面积和，然后将、和代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作的垂线，交于点， 平分，，， ， ． 答：的面积为． 20. 如图，在中，是高，是角平分线． （1）若，求和的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答； （2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． 本题考查了含30度角的直角三角形，三角形的面积，关键是三角形面积公式的应用． 【小问1详解】 解： ，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，，，，是高， ， 即， ． 21. 如图，． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1）∠DAE=30°； （2）证明：由（1）可得∠DAE=∠B=30°， 又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°， ∴△DAE≌△CBA（ASA）， ∴AD=BC． 【解析】 【分析】（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE； （2）证明△DAE≌△CBA，即可证明AD=BC． 【详解】（1）∵AB∥DE， ∴∠E=∠CAB=40°， ∵∠DAB=70°， ∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°； （2）略 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠DAE的度数是解题关键． 22. 已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 【答案】 （1）证明：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE； （2）证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE， 即∠BAN=∠CAM， 由（1）知：△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠C， 在△ACM和△ABN中， ， ∴△ACM≌△ABN（ASA）， ∴∠M=∠N． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定证明△ABD≌△ACE（SAS）即可； （2）由△ABD≌△ACE证得∠B=∠C，进而证得△ACM≌△ABN（ASA），再根据全等三角形的性质可证得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 23. 如图，和中，．连接与交于点M，与交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明： ， ，即， 在和中， ， ， ． （2） 证明：， ， ，， 又∵， ， ， ． 【解析】 【分析】（1） 先由，得出，证明，即可作答． （2）由，推出，由，，又，，可得． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. （1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1） （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又∵， ， ． ． ， （3）或或； 【解析】 【分析】（1）如图1，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得，再结合线段和差关系，即可解题； （2）如图2，与（1）同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：． 本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使．连接， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 则， 即， ∵，， ∴， ∴ 即， 故答案为：； （2）略 （3）①． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ， ，． ． ． ， 易证， ， ， ． ②． 证明：在上截取， 同第一种情况方法，证明， 证明， ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点在延长线上，点在延长线，此时线段，，之间并无直接数量关系． 综上，或或； 故答案为：或或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $