精品解析：辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高三上学期期中（I）数学试卷

滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高三期中I考试 数学试卷 命题人：大连市第二十高级中学卢永娜校对人：大连市第二十高级中学苑清治 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“函数在上单调递减的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在中，点在边上，，记，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设是定义域为上的偶函数，且在单调递增，则（ ） A. B. C D. 8. 已知向量，，函数.若对于任意的，且，均有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列式子的运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，则（ ） A. B. 与向量共线的单位向量是 C. D. 向量在向量上的投影向量是 11. 已知函数，且对，都有，把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把所得函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 在上有1个零点 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题每小题5分，共15分 12. 已知向量，，若，则实数_________. 13. 已知函数，若，，且，则最小值是______. 14. 已知函数，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）若，是方程两个根，求的值. 16. 已知函数在时取得极大值1. （1）求曲线，在点处的切线方程； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 17. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数， （1）求函数的极值； （2）若函数在区间上单调递增，求a最小值； （3）如果存在实数m、n，其中，使得，求的取值范围. 19. 已知函数的图象如图所示. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数，在上的最大值和最小值. （3）若函数在内恰有个零点，求实数、的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高三期中I考试 数学试卷 命题人：大连市第二十高级中学卢永娜校对人：大连市第二十高级中学苑清治 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：C 2. “”是“函数在上单调递减的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当时，， 由，则，单调递减成立，即充分性成立； 当时，函数在上单调递减， 推不出成立，如，故必要性不成立； 综上，“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A 3. 在中，点在边上，，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量加法的三角形法则得，根据可得到与的关系. 【详解】由题意得，点为线段上靠近点的三等分点，如图所示： . 故选：B. 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦函数的性质，分段求出值域即可得解. 【详解】依题意，，当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 故选：B 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】函数，令，即，解得或， 所以的定义域为， 又在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故选：C 6 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出、，再由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为， ，解得， 所以. 故选：A 7. 设是定义域为上的偶函数，且在单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数单调性可知，再根据对数函数单调性可得，结合函数的奇偶性和单调性即可得出结论. 【详解】由指数函数为单调递增函数可知，所以， 又是定义域为上的偶函数， 所以， 由对数函数可知，，所以， 即. 故选：B 8. 已知向量，，函数.若对于任意的，且，均有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，则在上恒成立，不妨设，则原不等式可转化为，构造函数，再利用导数研究函数的性质即可求得实数的取值范围 【详解】因为，， 所以， 则， 当时，，则恒成立， 所以在上增函数， 不妨设，则，因为， 所以等价于， 即， 令，， 所以可知在上为增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，， 则， 所以在上为减函数，所以， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：D 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列式子的运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式判断A、B、D；根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、二倍角公式判断C. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：， 所以，故B正确； 对于C： ，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：ABC 10. 已知向量，，则（ ） A. B. 与向量共线的单位向量是 C. D. 向量在向量上的投影向量是 【答案】CD 【解析】 【分析】求出的坐标，利用坐标法求模，即可判断A；与向量共线的单位向量为，即可判断B；求出即可判断C；根据向量在向量上的投影向量是判断D. 【详解】因为，， 所以，则，故A错误； 又，则与向量共线的单位向量为， 即或，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为，， 所以向量在向量上的投影向量是，故D正确. 故选：CD 11. 已知函数，且对，都有，把图象上所有的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把所得函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 在上有1个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导函数由可得关于直线对称，从而求得，即可得到，从而判断A；再根据三角函数的变换规则求出解析式，最后根据余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以， ，关于直线对称， ，， 又当时，，所以，故A正确； 对于B： 把图象上所有的点，纵坐标不变， 横坐标变为原来的得到， 再把的图象向右平移个单位得到， 即， 当时，， ∴关于点对称，满足，故B正确； 对于C：∵，为非奇非偶函数，故C错误； 对于D：当时，，则上只有一个零点，故D正确. 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题每小题5分，共15分 12. 已知向量，，若，则实数_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知函数，若，，且，则最小值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】确定给定函数奇偶性及单调性，再求出的关系等式，并利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】函数定义域为R，， 因此函数是R上的奇函数，且在R上单调递增， 由，得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值是. 故答案为： 14. 已知函数，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】化简可得，构造，通过导数研究其单调性即可得其最值. 【详解】 ， 由题可得，故， 令，， ， 由，则， 则当时，， 当时，， 即在上单调递减， 在上单调递增， 故， 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将原函数变形后，构造，利用导数研究其单调性，难点在于复合函数的求导计算. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）若，是方程的两个根，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解； （2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，所以，解得； 【小问2详解】 因为，是方程的两个根，所以， ∴， 又，∴． 16. 已知函数在时取得极大值1. （1）求曲线，在点处的切线方程； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合导数与极值的关系求，再根据导数的几何意义求切线方程. （2）先设切点坐标，根据导数的几何意义求切线方程，根据题意列式求解，进而可得结果. 【小问1详解】 函数，求导得， 依题意，，解得，即，， 由，得或，由，得，则在处取得极大值1， 即符合题意，于是，即切点坐标为，切线斜率， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）得：，， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 由切线过点，得， 整理得，解得或， 所以切线方程为或，即或. 17. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）设函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先可得函数的定义域，根据奇函数的性质得到，求出参数的值，再检验即可； （2）首先求出在上的值域，再利用换元法求出在上的值域，依题意，即可得到不等式组，解答即可. 【小问1详解】 由题意可得，函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，可得， 经检验，对于，成立，所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 因为，所以，，， ，， 所以当时的值域， 又，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立， 即，所以，解得，即实数m的取值范围是． 18. 已知函数， （1）求函数的极值； （2）若函数在区间上单调递增，求a的最小值； （3）如果存在实数m、n，其中，使得，求的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的极值； （2）依题意可得在上恒成立，显然，参变分离可得，设，，利用导数得到，即可求出参数的取值范围，即可得解； （3）方法1：依题意可得函数在、上为增函数，则，，从而得到，则，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围；方法2：依题意可得，，令，可得，，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出的范围，从而得解. 【小问1详解】 ∵定义域为，， ∴当时，；当时，； ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 依题可知，，在上恒成立，显然，所以， 设，，，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 【小问3详解】 方法1：由已知，则函数在、上为增函数， 若存在实数m、n，其中，使得，则，， 由可得，则， 故， 令，，，可得. 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 故，， 又因为，，且，所以， 因此，的取值范围是． 方法2：由已知，则函数在、上为增函数， 若存在实数m、n，其中，使得，则，， 令，则，可得， 由可得， 令，其中，令可得， 当时，，此时函数单调递减，当时，， 此时函数单调递增，故当时，， 又因为，，且，所以， 因此的取值范围是． 19. 已知函数的图象如图所示. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数，在上的最大值和最小值. （3）若函数在内恰有个零点，求实数、的值. 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据函数图象求出解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先利用三角恒等变换公式化简的解析式，根据的取值范围，求出的范围，再由正弦函数的性质计算可得； （3）首先得到，令，可得，令，得，则方程必有两个不同的实数根、，且、异号，再对、分类讨论，结合正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 由图象可得，最小正周期， 又，则，由， 所以， 所以，，又，则易求得， 所以， 由，， 解得，， 所以的单调递增区间为，． 【小问2详解】 由题意得 ， 因为，所以， 从而可知，即， 因此， 所以当，即时取得最大值， 当，即时取得最小值， 故在上的最大值为，最小值为． 【小问3详解】 因为 ，令， 可得，令，得， 易知，方程必有两个不同的实数根、，由，则、异号， ①当且或者且时， 则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去； ②当且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去； ③当，时，当时，只有一根，有两根， 所以关于的方程在上有三个根， 由于，则方程在上有个根， 由于方程在区间上有两个根， 方程在区间上有一个根，因此，不合题意，舍去； ④当，时，当时，只有一根，有两根， 所以关于的方程在上有三个根， 由于，则方程在上有个根， 由于方程在区间上只有一个根，方程在区间上两个根，此时，满足题意； 因此，，，得， 综上，，． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是推导出、异号且，再对、分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$