专项练习 一次函数中的动点问题 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

一次函数中的动点问题O B A x y 类型一 垂线段最短 1.如图，点A的坐标为（1，0）,点B在直线y=-x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 。 2.如图将直线向上平移后经过点A(4,3)，交x 轴y轴于点B、C. （1）求直线BC的函数表达式； （2）点P为直线BC上一动点，连接OP.问：线段OP的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP的最小值，若不存在，请说明理由 3．直线y=-2x+a与y轴交于点A，与直线y=x+1交于点P （3，b），B为直线y=x+1上一点. （1）求a，b的值； （2）当线段AB最短时求点B的坐标； 类型二 最小值（将军饮马） 4．一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4)． (1)求该函数的解析式，并说明点（1，2）是否在函数图象上； (2)设OA、AB的中点分别为C、D，点P为OB上一动点，求的最小值．并求取得最小值时P点的坐标． 5.如图，正比例函数的图象为直线，已知两点A(0,1)、B(0,3). （1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得∠CAB=∠CBA.用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； （2）直接写出点C的坐标. （3）点P在x轴上，求PA+PC的最小值. 6.如图，直线y=8-2x与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线y=x+b与y轴交于点C，与x轴交于点D，如果两直线交于点P，且AC：CO=3:5(AO>CO) （1）求点A、B的坐标；（2）求四边形COBP的面积S； （3）在y轴上找一点M，使得BM+PM的值最小，求出点M的坐标和BM+PM的最小值 学科网（北京）股份有限公司 类型三 直角三角形存在性 7．直线经过点（5，6），交x轴于点A（-3，0），直线交直线于点B． (1)求直线的解析式和点B的坐标． (2)求ΔAOB的面积． (3)在x轴上是否存在点C，使得ΔABC是直角三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是OB的中点. （1）求直线AC的表达式． （2）在x轴上找一点D，使得SΔABC，求点D的坐标. （3）在x轴上是否存在一点P，使得ΔABP是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 类型四 等腰三角形存在性 9．如图，直线AB与x轴交于点A（1,0），与y轴交于点B（0，-2）． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线AB上一点C在第一象限，且点C的坐标为（a，2），求ΔBOC的面积； （3）在x轴上存在点P，使得ΔPAB是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标 10．如图，直线y=2x+m与x轴交于点A（-3,0），直线y=-x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m相交于点D，点A在点B左边.且AB=6 （1）求点D的坐标： （2）求出四边形AOCD的面积； （3）若E为x轴上一动点，且ΔACE为等腰三角形，求出点E的坐标． 类型五 等腰直角三角形存在性 11．如图，直线AB为与x，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的负半轴上，若将ΔCAB沿直线AC折叠，点B 恰好落在x轴正半轴上的点D处. （1）点A坐标是 ，点B的坐标是 AB 的长是 （2）求点C的坐标． （3）若点M是y轴上一动点，若，直接写出点M坐标. （4）在第一象限内是否存在一点P，使ΔPAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由 12．如图，直线：y=kx+1交y轴于点A，交x轴于点B(4,0)，过点E(2,0)的直线平行于y轴，交直线于点D，点P是直线动点（异于点D)，连接PA、PB. （1）直接写出直线的表达式和点D的坐标, （2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求ΔABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）； （3）当ΔABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角ΔBPC，请直接写出点C的坐标 参考答案 1.答案：（ ，） 2.答案：（1）设平移后的直线BC的解析式为+b 代入A(4，3) 解得b=6 直线BC的解析式为+6 （2）存在，理由如下： 令x=0 得y=6∴C(0,6) ，故OC=6 令y=0 得x=8 ∴B(8,0)，故OB=8 ∴BC=10 ∵OP⊥BC时，线段OP最小，OB×OC÷2=BC×OP÷2 ∴OP=OB×OC÷BC=4.8 即线段OP的最小值为4.8． 3.答案：解：（1）把点P(3,b)代入直 y=x+1中,解得b=4 ∴点P的坐标为（3,4） 把点P(3,4)代入直线y=-2x+a中 解得a=10 ∴a=10, b=4 （2） 当AB⊥直线y=x+1时，线段AB最短 把（0,1）标记为C，则 ∴B横坐标为，纵坐标为 ∴点B坐标为 4.答案：解：（1）∵y=kx+b的图象过A(2,0),B(0,4) ∴将点A，B的坐标代入y=kx+b，解得k=-2, b=4. ∴y=-2x+4 当x=1时，y=-2×1+4=2. ∴点（1,2）在函数图象上． （2） ∵O(0,0) A(2,0)，且C为AO的中点 ∴点C的坐标为（1,0） ∴点C关于y轴的对称点为 A(2,0),，D为AB的中点 ∴点D的坐标为（1,2）． 如下图，连接C＇D，设C＇D的解析式为y=kx+b， 则 解得 直线C＇D的解析式为y=x+1. 令x=0, ∴y=1，即P(0,1). PC+PD 5.答案：（1）作线段AB的垂直平分线交直线l于点C即为所求， ∵CD是线段AB的垂直平分线， ∴CA=CB ∴∠CAB=∠CBA （2）∵CD是线段AB的垂直平分线， ∴点D是线段AB的中点，CD／／x轴， ∵A(0,1)、 B(0,3). ∴D(0,2))将 ∴点C的坐标为(4,2), （3）作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇C交x轴于点P，此时，PA+PC的值最小， ∵A(0,1) ∴ ∵D(0,2),C(4,2) ∴ ∴PA+PC的最小值是5 6.答案：(1)∵直线y=8-2x与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴当x=0时, y=8-2×0=8，当y=0时， x=4 ∴A(0,8),B(4,0); (2)AC:CO=3:5, AO=8A∴C(0,5), ∴5=0+b，解得b=5 ∴y=x+5 当x+5=8-2x时，解得：x=1 代入得y=6 ∴P(1,6), ∴四边形COBP的面积 (3)∵B(4,0)9 ∴B点关于y轴的对称点B＇(-4,0), 连接PB＇，交y轴于点M，连接MB，如图， 则，此时BM+PM的值最小. 设直线PB＂的解析式为y=kx+b,解得 ∴直线PB＇的解析式为： , 令x=0，得, ∴M点坐标为(0, ∴BM+PM的最小值为： 7.答案：(1)函数表达式为点B的坐标为（1,3）； (2). (3)：①当时，点C在图中的位置： ∵B(1,3), ②当时，点C在图中的位置： 设A(-3,0),B(1,3),7 在中， 在中， ∴ 即) 解得 0). 综上可知，点C的坐标为（1,0）或（,0) 8.答案：(1)y=x+2 （2）点D的坐标为（-4,0）或(0,0). （3）存在，点P的坐标为(0,0)或（8，0). 9.答案：（1）设直线AB解析式为y=kx+b, 将A(1,0),B(0,-2)代入得：解得 ∴直线AB解析式为y=2x-2; （2）将C(a,2)代入y=2x-2得:2=2a-2,解得a=2。 ∴C(2,2), ∴: 答：ΔBOC的面积是2； （3）设P(m,0), ∵A(1,0) B(0,-2) ∴ PA=|m-1|, ①若AB=PA 则9解得或 ∴或 ②若AB=PB，则9解得m=1(（与A重合，舍去）或m=-19 ∴P(-1,0), 综上所述，ΔPAB是以AB为腰的等腰三角形，P的坐标为（或或(-1,0) 10.答案：解：(1)将点A(-3,0)代入y=2x+m, 得m=6，所以y=2x+6。、 因为AB=6,A(-3,0)，点A在点B左边，所以B（3,0）。 将B（3，0)代入y=-x+n, 得n=3, 所以y=-x+3。 联立得方程组，解得。 所以D（-1，4)。 (2).∵C(0,3) ∴ (3).设E(t,0)9 因为A ①当AC=AE时,解得 所以E或, ②当CA=CE时,解得t=3或t=-3 （舍），所E（3,0）； ③当EA=EC时， 此时t=0,，所以E（0，0)。 综上所述，E点坐标为或或(3,0)或(0,0)。 11.答案：(1)令x=0，则:令y=0，则 ，解得x=3 ,, ∴A(3,0),B(0,4)∴OA=3,OB=4 (2)由折叠的性质可知BC=CD,AB=AD=5- ∴OD=OA+AD=8,∴D(8,0). 设OC=x,则CD=CB=x+4 在RtΔOCD中 解得x=6 ∴C(0,-6); (3), · 设点M的坐标为（0，y）， 、解得 , ∴点M的坐标为: （4）存在，理由如下： ①若 ，如图，过点P作PGLOA交OA于点G， ∵∴∠PAG=∠OBA 在ΔAOB ΔPGA中， ∴ΔAOB≌ΔPGA ∴OB=AG=4,OA=PG=3 ∴OG=OA+AG=7, ∴点P的坐标为（7,3）； ②若 ，如图，过点P作PH⊥OB交OB于点H， 同理可得，此时点P的坐标为（4.7）； ③若∠APB=90°，BP=AP，如图，过点P作PM⊥OA 交OA于点M，P.N⊥OB 交OB于点N， ∵ ∴∠BPN=∠APM 在ΔBPN和ΔAPM中 ∴ΔBPN≌ΔAPM, ∴PN=PM,BN=AM 设点P的坐标为(a,a) ∴4-a=a-3,解得a= 此时点P的坐标为 学科网（北京）股份有限公司 综上所述，点P的坐标为（4,7）或（7,3）或 12.答案：（1）： （2）由得： ∵P(2,m), 当时， S=1-2m； （3）当， 2m-1=3,解得m=2, ∴点P(2,2)7 ∵E(2,0), ∴PE=BE=2, ∴ 如图2， BP=BC,,过点C作CF⊥x轴于点F，∵9 ∴A 在ΔCBF与ΔPBE中，∠CBF=∠PBE BC=BP ∴ΔCBF≅ΔPBE(AAS). ∴BF=CF=PE=EB=2. ∴OF=OB+BF=4+2=6. ∴C(6,2); 如图3，ΔPBC是等腰直角三角形， ∵PE=CE, ∴C(2,-2) ∴以点B为直角顶点作等腰直角ΔBPC,，点C的坐标是（(6,2)或(2,-2). 当1-2m=3时， m=-1，可得P(2,-1)9 同法可得C(3,2)或(5,-2) 综上所述，满足条件的点C坐标为(6,2)或(2,-2)或(3,2)或(5,-2) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$