2024-2025学年浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优讲义课件专题8 等腰三角形的判定

专题8 等腰三角形的判定 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 【1】等腰三角形的判定方法: (1)由定义判定，即说明两条边相等. (2)判定定理:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。 知识梳理 【2】等腰三角形提供了相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段. 【3】对于判定定理的说明： ①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定方法； ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③判定定理在同一个三角形中才能适用. 知识梳理 【4】常用的确定或构造等腰三角形的方法有： （1）“角平分线 平行线”构造等腰三角形. （2）“角平分线 垂线”构造等腰三角形. （3）线段垂直平分线构造等腰三角形. （4）用三角形中的倍角关系分割或构造等腰三角形. 【5】对于等腰三角形“三线合一”性质的拓展： 在①等腰；②底边上的高线；③底边上的中线；④顶角的平分线 这四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另 外两个元素为结论. 重点突破 知识点一：等腰三角形的判定 【例1】如图，直线 的平分线 交 于 点 的平分线交 的延长线于点 重点突破 （1）求证： 思路点拨 由题意可得 ,则 ，即可证得结论. [答案] 解题过程 的平分线 交 于点 重点突破 （2）若 ，求 的度数. 思路点拨 由 可求出 ，继而 可求出 利用三角形的内角和即可求得 的度数. [答案] 解题过程 的平分线交 的延长线于点 ， 重点突破 【跟踪训练1】如图， 是 的角平分线， ，与 的 延长线相交于点 ，点 在 的延长线上，且 求证： （1） 是等腰三角形. [答案] 是 的角平分线， 是等腰三角形. 重点突破 （2） [答案] 重点突破 知识点二：等腰三角形的判定与性质的综合应用 【例2】在 中， 平分 ，交 于 点 重点突破 （1）如图1，求 的度数. 思路点拨 设 ，由条件结合等腰三角形的性质可得， ，在 中由三角形内角和定理列出方 程即可求得 ,即可求得 [答案] 解题过程 设 平分 又 ，解得 重点突破 （2）如图 是 的中点，连结 并延长，交 的延长线于点 ， 连结 求证： 思路点拨 证明 是 的垂直平分线，得 ，再根据等腰三角形的性质利用线段的和差即可解决问题， 重点突破 [答案] 解题过程 是 的中点， 是 的垂直平分 线 重点突破 【跟踪训练2】如图，在 中， 分别是边 上的点，且 ，连结 交于点 （1）求证： 是等腰三角形. [答案] ， 即 ，即 是等腰三角形. 重点突破 （2）若 ，求 的度数. [答案] 是等边三角形. 重点突破 【例3】如图，已知 是 的角平分线，点 在 边上，连结 ，且 重点突破 （1）求证： 与 互补. 思路点拨 在 上截取 ，证明 即可解决问题。 [答案] 解题过程 如图，在 上截取 ，连结 是 的角平分线， 重点突破 在 和 中， ，即 与 互补. 重点突破 （2）点 在 边上，连结 ，若 ，探究线段 之间满足的等量关系，并加以证明. 思路点拨 只要证明 即可解决问题， [答案] 解题过程 理由如下： 由（1）知 ， 课后练习 A组 基础巩固 1.下列三角形中，不属于等腰三角形的是( ) A A.&6& B.&7& C.&8& D.&9& 课后练习 2.如图，在正方形网格中， 两点都在小方格的顶点 上，如果点 也是图中小方格的顶点，且 是等 腰三角形，那么点 的个数为 ( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 分别交 于点 ，则 的周长为 ( ) B A.4 B.7 C.8 D.9 课后练习 4.如图，已知 是射线 上一动点（即点 在射 线 上运动） ，当 为等腰三 角形时， 的度数为 ( ) C A. B. 或 C. 或 或 D. 或 或 或 课后练习 [解析] 分三种情况：①当 时， ②当 时， ， ③当 时， 综上所述，当 或 或 时， 为等腰三角形.故选 课后练习 5.如图，直线 ，点 在直线 上，以点 为圆心， 适当长度为半径画弧，分别交直线 于 两点， 连结 若 ，则 的度数为_ ____. <m></m> 6.如图，在 中， 是 的角平分线， 交 于点 若 ，则 的长 为____. 11 课后练习 7.如图，一艘海轮位于灯塔 的南偏东 方向的 处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行， 后到达位 于灯塔 的北偏东 的 处，则 处与灯塔 的距离 为____海里. 80 课后练习 8.如图，已知 平分 ，且 于点 ，则 ____ 12 [解析] 如图，延长 交 于点 课后练习 平分 故答案为12. 课后练习 9.如图，在 中， 是 的中点， 于点 ，点 在 的垂直平分线上. （1）求证： 是等腰三角形. [答案] 连结 是 的中点， 于点 ， 垂直平分 点 在 的垂直平分线上， 是等腰三角形. 课后练习 （2）若 ，求 的度数. [答案] ， 课后练习 10.如图，在 中， 平分 并交 于点 课后练习 （1）求 的度数. [答案] ， 是 的平分线， 课后练习 （2）过点 作 ，交 的延长线于点 ①求证： 是等腰三角形. [答案] ，即 是等腰三角形. 课后练习 ② 是否为等腰三角形？请说明理由. [答案] 是等腰三角形.理由如下： 是 的平分线， 是等腰三角形. 课后练习 B组 能力提升 11.如图，在 中， 平分 交 于点 ，交 于点 关于下面两个结论：① ；② 下列说法中正确的是 ( ) A A.①②都正确 B.①②都错误 C.只有①正确 D.只有②正确 课后练习 12.如图，在 中， 为直线 上一动 点，并沿直线 从右向左移动，若点 与 三个顶点中的至少两个顶点构造成等腰 C A.4个 B.6个 C.8个 D.9个 三角形，则将点 在直线 上进行标记，那么满足条件的点 的位置 有 ( ) 课后练习 [解析] 如图. 在 中， ， ①若 为等腰三角形： 当 时，点 在 位置；当 时，点 在 位置； 当 时，点 在 位置. 课后练习 ②若 为等腰三角形： 当 时，点 在 位置；当 时，点 在 位置；当 时，点 在 位置. 综上所述，满足条件的点 的位置有8个.故选 课后练习 13.如图，在 中， 和 的 平分线分别交 于点 ，若 ， 则 ____. 12 课后练习 [解析] 平分 平分 ， 故答案为12. 课后练习 14.如图，在 中， ，则 的度 数为_ ____. <m></m> 课后练习 [解析] 如图，延长 至点 ，使 ，连结 ，即 垂直平分 故答案为 课后练习 15.如图， 为等腰三角形， 求证： （1） [答案] 在 和 中， 课后练习 （2） 平分 [答案] 在 和 中， 平分 课后练习 16.如图，在 中， ，点 在线段 上， 点 在 的延长线上，连结 交 于点 ，过点 作 于点 （1）若 ，求 的度数. 课后练习 [答案] ， ， 课后练习 （2）若 ，求证： [答案] 如图，过点 作 交 于点 ，则 课后练习 在 和 中， 又 课后练习 C组 思维拓展 17.如图，在四边形 中， 与 相交于点 课后练习 （1）求证： [答案] 是 和 的外角， 课后练习 （2）若 ，求 的度数. [答案] 课后练习 （3）若 ，求证： [答案] 如图，延长 到点 ，使 ，连结 ， 课后练习 ， 在 和 中， 由（1）得 $$