2024-2025学年浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优课件《专题7 等腰三角形及其性质》

专题7 等腰三角形及其性质 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 【1】等腰三角形的概念:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 【2】等腰三角形的性质: （1）等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)， （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合(简称:三线合一). 知识梳理 【3】三线合一 等腰三角形是一类特殊的三角形，它有两条边相等，两个角相等，是轴对称图形，底边上的高线、中线和顶角的平分线互相重合（简称“三线合一”），这条线所在的直线就是等腰三角形的对称轴. 【4】等腰三角形是最简单的轴对称结构，平面几何中相等的角或边的证明大多可以利用这个对称结构实现，而解等腰三角形的相关问题，全等三角形依然是重要工具，但更多的是思考利用轴对称性来确定图形的全等，从而得到角、线、形之间的关系. 知识梳理 【5】等腰三角形中的分类讨论： （1）若已知等腰三角形的一条边，需对该边为腰还是底边进行分类讨论. （2）若已知等腰三角形的一个角，需对该角为顶角还是底角进行分类讨论. （3）若已知等腰三角形的一条高线，需对该高线是底边上的高线还是腰上的高线进行分类讨论，同时还要考虑钝角三角形和锐角三角形产生的分类讨论. （4）已知等腰三角形的三个顶点，需对哪个顶点是顶角的顶点进行分类讨论. 重点突破 知识点一：等腰三角形的边角关系 【例1】如图，在等腰三角形 中， 为底边 上一点，以点 为圆 心， 长为半径画弧，交 于点 ，测得 ，则 ____ 31 思路点拨 根据角的和差关系结合等腰三角形的性质可求 ，根据等 腰三角形的性质可求 ，再根据三角形外角的性盾即可求解 重点突破 [解析] 解题过程 由作图可知 故答案为31. 重点突破 【跟踪训练1】如图，在 中，已知 ，则 的度数为_ ____. <m></m> [解析] ， 故答案为 重点突破 知识点二：等腰三角形性质的应用 【例2】在 中， 是 的中点， 是 上任意一点. 重点突破 （1）如图1，连结 ，则 吗？请说明理由. 思路点拨 根据等腰三角形的性质可知 ，再根据垂直平分线的 性质即可得出结论 [答案] 解题过程 理由如下： 是 的中点， 为 的垂直平分线 重点突破 （2）若 的延长线与 垂直相交于点 ，如图2，则 成立吗？请说明理由. 思路点拨 由 可以推出 ，再证明 就可以得出结论 重点突破 [答案] 解题过程 理由如下： ， 为等腰直角三角形， 由（1）知 在 和 中， 重点突破 【跟踪训练2】如图，在 中， 与直线 垂直，垂足为 的平分线 交 于点 ，点 在线段 上， 的延长线与 的延长线相交于点 重点突破 （1）求证： [答案] 平分 重点突破 （2）若 ，求证： [答案] 由（1）得 在 和 中， 重点突破 【例3】探究与发现：如图1，在 中， ， 点 在底边 上， ，连 结 重点突破 （1）当 时，求 的度数. 思路点拨根据等腰三角形的性质得到 ，由于 ， 于是得到 ，根据三角形外角的性质即可得到 [答案] 解题过程 ， 重点突破 （2）当点 在 （点 除外）上运动时，试猜想并探究 与 的数量关系. 思路点拨设 ，于是得到 ，根据等腰三角形的 性质得到 ，根据 即可得到结论 [答案] 解题过程设 重点突破 （3）深入探究：若 ，试就图2探究 与 的数量 关系. 思路点拨设 ，同理（2）中的思路即可得到结论 [答案] 解题过程设 课后练习 A组 基础巩固 1.已知一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为( ) B A.13 B.22 C.22或17 D.17 课后练习 2.已知一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 ，那么这个 等腰三角形顶角的度数为 ( ) C A. B. C. 或 D. 或 3.如图所示为螳螂的示意图，已知 ，则 的度数为 ( ) A A. B. C. D. 课后练习 4.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 称为这个等腰 三角形的“特征值”.若在等腰三角形 中， ，则它的“特征 值” 等于 ( ) D A. B. C. 或 D. 或 课后练习 [解析] 分两种情况：当等腰三角形的顶角为 时， 等腰三角形的底角为 这个等腰三角形的“特征值” 当等腰三角形的底角为 时，等腰三角形的顶角为 这个等腰三角形的“特征值” 综上所述， 的值为 或 故选 课后练习 5.如图，在 中， 为 的角平分线，则 _ _____. <m></m> 6.如图，在 中， ，垂足为 ， 则 的面积为____. 10 课后练习 7.如图，在 中， ，点 在边 上， 的垂直平分线交 于点 ，若 ，则 的长为___. 8 课后练习 [解析] 的垂直平分线交 于点 在 和 中， 故答案为8. 课后练习 8.如图，在 中， 为 上一点，连结 ，作 交线段 于点 （1）求 的度数. [答案] ， 课后练习 （2）若 ，求 的度数. [答案] 课后练习 9.如图，在 中， 是 边上任意一点 （不与点 重合）， 于点 于点 为 的高线， 求 的值. 课后练习 [答案] 连结 为 的高线， ， 课后练习 B组 能力提升 10.如图，在 中， 是 边上的动点（不与点 重合），连结 ，若 为等腰三角形，则 的度数为 ( ) D A. B. C. D. 或 课后练习 [解析] 当 时， ， 当 时，点 与点 重合，不符合题意，舍去. 当 时， 综上所述， 的度数为 或 故选 课后练习 11.小丽从一张等腰三角形纸片 中恰好剪出 五个如图所示的小等腰三角形，其中 ，则 _ ______. <m></m> [解析] 设 课后练习 ， ，解得 故答案为 课后练习 12.如图， ，现用若干根 等长的小棒从点 开始向右依次摆放，使小棒的 两端恰好分别落在射线 上，其中 为第 <m></m> 1根小棒，且 若恰好能摆放4根小棒，则 的取值范围是_ ___ ____________. 课后练习 [解析] 同理可得 恰好能摆放4根小棒， ＜ 故答案为 ＜ 课后练习 13.如图，在等腰三角形 中， 是 的高线， 是 的角平分线， 与 交于点 （1）当 时，求 的度数. 课后练习 [答案] ， 平分 课后练习 （2）当 时，求 的度数（用含 的代数式表示）. [答案] ， 平分 课后练习 14.如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，交 的延长线于点 （1）若 ，求 的度数. [答案] ， 是 的垂直平分线， 课后练习 （2）如果将（1）中 的度数改为 ，其余条件不变，求 的 度数. [答案] ， 是 的垂直平分线， 课后练习 （3） 与 之间有什么关系？写出你的猜想，并说明理由. [答案] 理由如下： 是 的垂直平分线， 课后练习 C组 思维拓展 15.如图，在 中， 为 的角平分线， ，垂足为 已知 求证： 课后练习 [答案] 如图，延长 ，交 于点 平分 ， 又 ， 课后练习 是等腰三角形 ， 又 ， . . $$