24.1.4.2 圆内接四边形课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 24.1.4.2 圆周角推论 学习目标 1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理； 2. 理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题；（重点、难点） 3. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点） 1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角________． 一半　 相等　 知识回顾 3 圆周角定理及其推论 二 解：∵ AB 是直径，点 O 是圆心， ∴∠AOB = 180°. ∵∠ACB 是直径 AB 所对的圆周角， ∴∠ACB = ∠AOB = 90°. 如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？ · O A C B 能不能直接运用圆周角定理解答？ 4 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径. 知识要点 圆周角定理的推论2 5 【例1】如图，⊙O的直径AB＝6，∠B＝30°，求∠C的度数及AC的长． 解：∵AB是直径，　 ∴∠C＝90°.　 ∵AB＝6，∠B＝30°，　 ∴AC＝AB＝3.　 6 【变式1】如图，BD是⊙O的直径，点A，C在圆上，∠A＝50°，求∠DBC的度数． 解：∵BD是⊙O的直径，　 ∴∠BCD＝90°.　 ∵∠D＝∠A＝50°，　 ∴∠DBC＝90°－∠D＝40°.　 7 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 圆内接四边形 三 8 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形. 探究性质 猜想：∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的关系为： ∠A +∠C = 180°， ∠B +∠D = 180°. 想一想： 如何证明你的猜想呢？ 9 ∵ ∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α， ∴ 同理， 证明猜想 归纳总结 性质：圆的内接四边形的对角互补. 连接 OB，OD． α β ∴ 10 【例2】如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，∠A＝110°，∠B＝90°，则∠C＝______，∠D＝______. 70°　 90°　 11 【变式2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是 (　　) A．80° B．100° C．140° D．160° B　 12 【例3】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D＝2∠B，求∠B的度数． 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，　 ∴∠D＋∠B＝180°.　 ∵∠D＝2∠B，　 ∴2∠B＋∠B＝180°.　 ∴∠B＝60°.　 13 【变式3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角． 求证：∠DAE＝∠C. 证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，　 ∴∠C＋∠BAD＝180°.　 又∵∠DAE＋∠BAD＝180°，　 ∴∠DAE＝∠C.　 14 【例4】如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D.求BC，BD的长． 解：∵AB是直径，　 ∴∠ACB＝∠ADB＝90°.　 在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，　 ∴BC＝ ＝＝8(cm).　 又∵CD平分∠ACB，　 ∴∠ACD＝∠BCD.　 ∴＝.　 ∴AD＝BD.　 在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2.　 ∴AD＝BD＝10×＝5(cm)．　 15 【变式4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证： (1)AD＝CD； 证明：(1)如图，连接BD.　 ∵∠1＝∠ACD＝25°，∠ABC＝50°，　 ∴∠2＝50°－25°＝25°.　 ∴∠1＝∠2.　 ∴＝.　 ∴AD＝CD.　 16 【变式4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证： (2)AB是⊙O的直径． (2)∵∠BAD＝65°，∠1＝25°，　 ∴∠ADB＝180°－∠1－∠BAD＝90°.　 ∴AB为⊙O的直径．　 17 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理的推论 课堂小结 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角. 90°的圆周角所对的弦是直径 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 圆内接四边形 圆内接四边形的对角互补 18 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，＝，∠ADC＝120°，则∠BAC＝________． 60°　 2．如图，AB为⊙O的直径，点C，D为⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠C的度数为 (　　) A．34° B．36° C．46° D．54° 3．⊙O的半径是2，弦AB＝2，点C为⊙O上的一点(不与点A，B重合)，则∠ACB的度数为_____________． B　 30°或150°　 4．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，＝.求证：AB＝AC. 证明：如图，连接AD.　 ∵AB为⊙O的直径，　 ∴∠ADB＝90°＝∠ADC.　 ∵＝，　 ∴BD＝DE.　 ∴∠BAD＝∠EAD.　 ∴∠B＝∠C.　 ∴AB＝AC.　 $$