2.6直角三角形 直角三角形的性质与判定学案2024-2025学年浙教版数学八年级上册

直角三角形的性质与判定 目标导航 学习目标 1.进一步认识直角三角形，会用符号和字母表示直角三角形. 2.掌握直角三角形两个锐角互余的性质定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质定理. 3.会运用直角三角形的性质定理解决有关图形的论证计算等问题。 4.掌握直角三角形的判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形，会运用直角三角形的判定定理判定直角三角形. 知识精讲 知识点01直角三角形的性质 直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形的性质3：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 知识点02 直角三角形的判定 直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形 一、直角三角形的性质（1） 1、△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 2．在Rt△ABC中，∠B是直角，∠C＝50°，那么∠A的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．130° 3、如图所示，一张长方形纸片前去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2等于( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 4、如图所示,BD平分∠ABC,CD⊥BD,点 D为垂足,∠C=55°,则∠ABC的度数是（ ） A．35° B．55° C．60° D．70° 5、取一张长方形纸片,按如图所示的方法折叠一角,得到折痕 EF,若∠BEF=54°,则∠BFC的度数是（ ） A．100° B、108° C、118° D、120° 6、将一副三角尺按如图所示的方式摆放,且∠1比∠2大 50 ,则∠2的度数是 （6） （7） 7、如图所示,在△ABC中,∠C=60°,∠B=50,D是BC上一点,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC于点 F,则∠EDF 的度数为 8、如图所示,在RtABC中，∠C=90°,BD平分∠ABC交AC 于点 D,AP平分∠BAC交 BD 于点 P， (1)求∠APD 的度数 (2)若∠BDC=58°,求∠BAP 的度数 （8） （9） 9．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝　 　． 10.如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD 是ABC 的角平分线DE⊥AB 于点E,连结CE,求 CE 的长. 11、如图所示,在△ABC中,BD⊥AC 于点 D,CE⊥AB 于点 E,F 是BC 的中点， ∠EFD=50°,则∠DEF 的度数是( ). A、50° B、60° C、65° D、70° 12．如图，△ABC中，，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．如图，已知平分，，，于点D，于点E．如果点M是的中点，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，在△ABC中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（　 　） A． B． C． D． 15．如图，在中，，为的中点，，点在上，且，则的大小为 ． 16、如图所示，∠AOP=∠BOP=15°,PC//OA,PD⊥OA 于点 D,若PC=4,则PD= （16） （17） 17、如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=20°,∠ACB 的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E,连结 AE,则∠AEC= 18．如图，，平分，点是射线上一点，，于点，点是射线上的一个动点，则的长度的最小值是（　　　） A．5 B．6 C．7 D．4 19、如图1所示,已知∠ABC=90°,△ABC 是等腰三角形,D为斜边AC 的中点,连结 DB,过点A作∠BAC的平分线,分别与 DB,BC 相交于点E,F (1)求证;BE=BF， (2)如图2所示,连结 CE,在不添加任何辅助线的条件下,直接写出图中所有的等腰三角形. 20、如图所示,直线a,b 交于点A,C,E 分别是直线b,a 上的点，且 BC⊥a 于点 B，DE⊥b于点 D,M,N 分别是 EC,DB 的中点.求证:MN⊥BD. 21、如图所示,在△ABC中,AD 是边 BC 上的高线,CF是边AB 上的中线，且 DC=BF,DE⊥CF于点E， (1) E是CF的中点吗? 请说明理由 (2)求证:∠B=2∠BCF 22．如图，在△ABC中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．    (1)求证：DG=CE． (2)若，求的度数． 23．如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．    (1)求证：是直角三角形． (2)如图（2），若，，求的大小． (3)若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系． 24．如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形． 25．如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结． (1)求证：△ADE是等腰直角三角形． (2)如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长． 26．如图1，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P． (1)求线段的长度； (2)连接，求的度数； (3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 一、直角三角形的性质（2） 1、在△ABC中,满足下列条件:①∠A=60°,∠C=30°;②∠A+∠B=∠C;③∠A:∠B:∠C=3:4:5;④∠A=90°-∠C.其中能确定△ABC 是直角三角形的有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 3．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、在下列条件中： ①∠A+∠B＝∠C， ②∠A：∠B：∠C＝1：5：6， ③∠A＝90°﹣∠B， ④∠A＝∠B＝∠C 中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5、在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAB＝1：3，则∠B＝　 　． 7、如图所示,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB 边上的高线,且 AB=5,AC=4,BC=3,则CD的长为( ) A、 B、 C、 D、 8．如图是由个顶角为的等腰三角形拼成的图形，若要求阴影部分的面积，则只需要知道（    ） A．和的面积差 B．和的面积差 C．和的面积差 D．和的面积差 9．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，．将沿BO对折至，M为BC上的动点，则A'M的最小值为 ． 10、已知：如图，在中，，平分，垂直平分，为垂足，若，则的长度为（  ） A．4 B．5 C．6 D．8 11．如图，在△ABC 中，，点为边上的动点，当最小时，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 12．如图，在△ABC中，，以为边在△ABC外作等边，过点D作，垂足为E，若，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 13．如图，△ABC中，，，，点在的延长线上，点在边上，且．若，则的边长为（    ） A．2.5 B．3.5 C．2 D． 14．如图所示，已知，点D在上，连接并延长交于点F．且过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，则 ． 15．如图，在△ABC中，∠A+∠B＝90°，D为AB边的中点，若AB＝8，则CD＝（　　） A．3 B．4 C．5 D． 16．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝（　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 17．如图，两条公路AC，BC恰好互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为0.9km，则M，C两点间的距离为（　　） A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km 18．如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，点P是AB中点，A′B′表示竹竿AB及在竹竿AB滑动过程中的情况是（　　） A．下滑时，OP的长度增大 B．上升时，OP的长度减小 C．只要滑动，OP端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则OP的长的长度就变化 D．无论怎样滑动，OP的长度不变 19、如图，在△ABC中，，，点D为斜边上的中点，则为（    ）    A．10 B．3 C．5 D．4 20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，若BD＝1，则AD＝（　　） A．2 B． C．3 D． 21、如图， 在中，，，， P是边上一动点， 将沿折叠，点B落在处， 交于D， 则的最大值为 ． 22、在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,CD⊥AB 于点 D,AB=a,则 DB 的长为（ ） A、 B、 C、 D.以上结果都不对 23．在△ABC中，∠A+∠B＝90°，∠C＝3∠B，若AB＝6，则AC＝　 　． 24、.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，且AB＝2AE，求∠EDC的度数． 25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm 26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠BAD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE恰好是∠ADB的平分线，则∠B的度数为（　　） A．45° B．60° C．30° D．75° 27．如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 28、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论是（　　） A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④ 29．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于 F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，若△DEF的周长是11，则AF＝　 ． 30．如图，在等边三角形中，D是上的一点，E是延长线上一点，连接、，已知． (1)求证：△DEC是等腰三角形． (2)当，时，求的面积． 31、图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长． 32、图所示，在等边△ABC中，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝2PQ． 33、如图,在△ABC 中，∠ABC=45°,CD⊥AB,垂足为D,BE平分∠ABC,且 BE⊥AC,垂足为E，与CD相交于点F,H是边 BC 的中点,连结DH,与BE相交于点G. (1)求证:BF=AC; (2)求证:CE= BF; (3)CE与BG的大小关系如何?试说明理由 34、如图所示，在 中， ， ， 是 的中点， ． 求证： 为等腰直角三角形． 35．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4 cm，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为vP＝2 cm/s，vQ＝1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t(s)． (1)当t为何值时，△PBQ是等边三角形？ (2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ 36．如图，△ABC为等边三角形，BD是AC边上的高线，延长BC至点E，使CE＝CD. (1)求证：DB＝DE. (2)过点D作DF⊥BE，垂足为F.若CF＝3，求△ABC的周长． 37．已知：如图，BD⊥AC，垂足为E，△ABE的中线EF的反向延长线交CD于点G，∠B＝∠C. (1)求证：EG是△CDE的高线． (2)若EG是△CDE的中线，判断△ABE的形状，并说明理由． 38．在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，直线AD交直线BE于点F，连结CF. (1)如图1，若∠BAC是锐角，求证：△CDF是等腰直角三角形． (2)如图2，若∠BAC是钝角，则(1)中的结论是否仍成立？请说明理由． 39．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，CE是△ABC的角平分线，它们相交于点P． （1）若∠B＝40°，∠AEC＝75°，求证：AB＝BC； （2）若∠BAC＝90°，AP为△AEC边EC上中线，求∠B的度数． 40．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF． （1）求证：EF＝CF； （2）若∠BAC＝30°，AD＝6，求C，E两点间的距离． 41、如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点． （1）求证：DE⊥MN； （2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长． 42、已知等腰三角形ABC的底边 BC=20cm,D是腰AB上一点,且 CD=16m,BD=12cm (I)求证:CD⊥AB. (2)求该三角形的腰的长度 43．［背景］除了高线、角平分线、中线这三条三角形中的主要特殊线段，三角形中还有很多线段值得我们研究．“等腰分割线”的定义如下：把一个三角形分成两个等腰三角形的线段称为这个三角形的等腰分割线． ［问题］如图，在中，，D是上一点（C，D不重合），且，点E是的中点，连结．    (1)求证：是的等腰分割线． (2)若是的等腰分割线，写出和存在的数量关系． 44．如图，点O是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 直角三角形的判定 【知识点睛】 · 直角三角形判定的方法： ①有一个角为直角的△是直角三角形； ②有两个内角互余的△是直角三角形 ③一边上的中线=这边长度的一半的△是直角三角形； ④30°角所对的边长=30°角临边的一半的△是直角三角形 ⑤勾股定理逆定理也可用于判定直角三角形 · 注意事项： ①上面直角三角形判定方法中，在综合问题中，第③条需要利用等边对等角与内角和证明之后才能用，选择填空可以直接应用； ②常见利用角度证明直角三角形的类型有：∠A＋∠B=90°；∠A＋∠B=∠C；∠A=½∠B=⅓∠C；∠A：∠B：∠C=a：b：c且a+b=c； 1．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D，若∠1＝∠2，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），则下列结论正确的是（　　） A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90° 3．以下说法： ①如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形； ②如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是直角三角形； ③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形； ④如果∠A＝∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形； ⑤在△ABC中，若∠A+∠B＝∠C，则此三角形是直角三角形．其中说法正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 5、如图所示,∠ACB=90°,AC=BC,AE⊥CE 于点E,BD⊥CE交CE 的延长线于点D,AE=5cm,BD=2cm,则 DE 的长是（ ） A、8㎝ B、5㎝ C、3㎝ D、 2㎝ （5） （6） 6、如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC 于点E,AD与BE 交于点F,若 BF=AC,则∠ABC 的大小是( ) A、40° B、45° C、50° D、60° 7、如图所示,在 Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,分别过点 B,C作过点A 的直线的垂线BD,CE,若BD=4cm,CE=3cm,则DE= 8．如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形． 9.如图所示,点 B,F,C,E在同一条直线上,AB⊥BE,DE⊥BE,连结 AC,DF,且 AC=DF.BF=CE,求证:AB=DE 10.如图所示,AD//BC,AB⊥BC,CD⊥DE,CD=ED,AD=2,BC=3,则△ADE的面积为( ) A、1 B、2 C、5 D、无法确定 （10） （11） 11、如图所示,在△ABC中,P,Q分别是BC,AC上的点,作 PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R,S,PR=PS,AQ=PQ,给出下列结论:①AS=AR;②PQ//AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是 12、如图所示,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC 边上一点,把△ACD沿AD翻折，点C刚好落在AB 边上的点 E 处,若AD=2,则△ADB 的面积为 13．如图，在中，，点，于点，于点，，则（　　） A． B． C． D． 14．如图，在 Rt△ABC 中， ， ， ，射线 于点A，点E、D分别在线段 和射线 上运动，并始终保持 ，要使 △ABC 和 △DAE 全等，则 的长为　 　. 15、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是经过A点的一条直线，且B，C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE＝2，BD＝6，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．4 16．如图，是△ABC的角平分线，于点F，且，，，则△DEF的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 17、如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB，AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰三角形；③EF=AP；④S四边形AEPF=，当∠EPF在△ABC内绕点P旋转时（点E不与点A，B重合），上述结论始终正确的有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 18、如图，已知F、G是OA上两点，M、N是OB上两点，且FG＝MN，S△PFG＝S△PMN，试问：点P是否在∠AOB的平分线上？ 19．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，E为AD上一点，且BE=AC，DE=DC． 求证：∠DBE=∠DAC． 20．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD. 求证：AD平分∠BAC. 21．如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC．求证：BE=CF． 22．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F， 点B的对应点为B′． （1）证明：AE=CF； （2）若AD＝12，DC＝18，求DF的长． 23、已知：如图，在△ABC中，于点D，E为上一点，且，．求证： (1)△BDF≌△ADC； (2)． 24．如图，，，于E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 25．如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分；(2)若，求的长． 26、如图所示,在等腰直角三角形DBC 中,∠BDC=90°,BF 平分∠DBC,与 CD相交于点F,延长 BD到点A,使 DA=DF. (1)试说明:△FBD≌△ACD. (2)延长 BF交AC 于点 E,试说明;CE= BF. (3)在(2)的条件下,若 H是BC 边的中点,连结 DH与BE 相交于点G试探索 CE,GE，BG之间的数量关系,并说明理由 学科网（北京）股份有限公司 $$