精品解析：四川省自贡市汇南实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024-2025上学期第一学月学科知识竞赛九年级数学 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在数轴上点表示的数为2，过点作，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. 2 C. D. 5 3. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 兰洽会期间，某纪念品原价160元，连续两次降价后售价为128元，下列所列方程正确的（ ） A. B. C. D. 5. 若代数式是完全平方式，则m的值为（ ） A. 10 B. 0 C. D. 6. 已知二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大，则m的值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知m，n是方程的两个根，且，则一次函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，在中，点，分别为，的中点，的平分线交于点，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图，是某水果店销售某种水果的付款金额（元）与购买量之间的函数图象，李阳和王辉同学打算一起去该水果店分别购买这种水果，若他们合起来一次购买这种水果，则一共可节省（ ） A. 6元 B. 5元 C. 4元 D. 3元 11. 已知关于的一元二次方程的两个根分别是，，求的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 12. 如图，点是正方形的边上一动点（不与点，重合），将沿翻折得到，连接交于点，延长交于点，连接．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）． 13. 化简：______． 14. 等腰的两边长恰为方程的两实数根，则等腰的周长为______ 15. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 16. 如图，菱形的对角线，相交于点，分别过点，作，的垂线交于点，连接，若，，则的长为__________． 17. 若实数，满足，，则的值为________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，过正方形的顶点，的直线与轴的负半轴交于点，已知点，则点的坐标为__________． 三、解答题（本题共5题，8分一题，共40分） 19. 请用适当方法解下列方程 （1） （2）． 20. 如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．求证：四边形是平行四边形． 21. 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求的值，并画出它的图象； （2）如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围． 22. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 四、解答题（22，23题每题10分，共20分） 23. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值． 24. 如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于点，，与直线交于点． （1）求，的值． （2）直线与轴交于点，点在轴上，且．求点的坐标． 五、解答题（25题12分，26题14分，共26分） 25. 阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成”和谐三数组”． 材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，． 问题解决： （1）请你写出三个能构成”和谐三数组”的实数 ； （2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0 (b，c均不为0)的解．求证：x1 ，x2，x3可以构成”和谐三数组”； 26. 矩形的顶点，分别在轴，轴上，点的坐标为，点在线段上． （1）如图1，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上点处，求长． （2）在（1）问基础上，求直线的解析式． （3）如图2，以为腰向右作等腰，，点在轴正半轴上运动， ①探究点是否在某定直线上运动？若是，求该定直线的解析式；若不是，说明理由． ②连接，当取最小时值时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025上学期第一学月学科知识竞赛九年级数学 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．根据二次根式的意义，被开方数是非负数计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：B． 2. 如图，在数轴上点表示的数为2，过点作，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图、实数与数轴、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．首先利用勾股定理计算出的长，然后再由题意可得，从而可得点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A对应的数为2， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵原点O为圆心，以为半径画弧，交数轴于点C， ∴， ∴点C表示的数为． 故选：C． 3. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特征及等式的性质可以得解． 【详解】解：∵， ∴原方程移项后两边再加1可得：， 故选C． 【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式的特征及等式的性质是解题关键． 4. 兰洽会期间，某纪念品原价160元，连续两次降价后售价为128元，下列所列方程正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了实际问题抽象出一元二次方程，根据连续两次降价，列出正确的方程即可．弄清题意是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 5. 若代数式是完全平方式，则m的值为（ ） A. 10 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的定义得出，即可得出答案，熟练掌握完全平方式是解此题的关键． 【详解】解：∵代数式是完全平方式， ∴， ∴， 故选：D． 6. 已知二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大，则m的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据次数为2可列方程，再根据函数增减性确定m值． 【详解】解：根据题意可知，， 解得，， ∵二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得m＜-2， 综上，m=， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义和增减性，解题关键是根据二次函数的定义列方程，依据增减性确定二次项系数的符号． 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴解得：， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 8. 已知m，n是方程的两个根，且，则一次函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程以及一次函数图象与系数的关系，通过解一元二次方程可得出，的值，再利用一次函数图象与系数的关系可得出函数的图象经过第一、二、三象限，即可解题． 【详解】解：由一元二次方程可得：， 或， 解得：，， ，n是方程的两个根，且， ，， 一次函数为， ，， 一次函数交轴交于正半轴，随的增大而增大， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 9. 如图，在中，点，分别为，的中点，的平分线交于点，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中位线，平行线，角平分线的性质，掌握中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，，根据角平分线，平行线的性质可得，由即可求解． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，是某水果店销售某种水果的付款金额（元）与购买量之间的函数图象，李阳和王辉同学打算一起去该水果店分别购买这种水果，若他们合起来一次购买这种水果，则一共可节省（ ） A. 6元 B. 5元 C. 4元 D. 3元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据题意求出时与之间的函数关系式，再把代入计算可得答案． 【详解】解：当时，设与之间的函数关系式为，根据题意得： ， 解得， ， 当时，（元）， 由图象可知，单独购买这种水果需要20元， （元）， 即若他们合起来一次购买这种水果，则一共可节省6元． 故选：A． 11. 已知关于的一元二次方程的两个根分别是，，求的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，先把代入得，整理得，结合，代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根分别是，， ∴把代入得， 则， ∴， 则， 故选：B． 12. 如图，点是正方形的边上一动点（不与点，重合），将沿翻折得到，连接交于点，延长交于点，连接．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠判断①正确；证明，得出，判断②正确；延长交于点H，根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出，即可判断③错误；过点B作于点M，先求出，根据四边形内角和得出，求出，判断④正确． 【详解】解：根据折叠可知：，，，故①正确； ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 如图，过点B作于点M， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有3个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）． 13. 化简：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 等腰的两边长恰为方程的两实数根，则等腰的周长为______ 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法及等腰三角形的定义是解题的关键；先求出一元二次方程的两个根，然后再根据等腰三角形的定义可进行求解． 【详解】解：解方程得：， 当腰长为3时，则底边长为6，那么，不满足三角形三边关系，故舍去； 当腰长为6时，则底边长为3，符合三角形三边关系，所以该等腰的周长为； 故答案为15． 15. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的判别式：根据一元二次方程根的情况求参数．因为关于的一元二次方程有实数根，则，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 16. 如图，菱形的对角线，相交于点，分别过点，作，的垂线交于点，连接，若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，等边三角形的判定和性质．由菱形的性质推出，，，判定是等边三角形，得到，判定四边形是矩形，推出． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 是等边三角形， ， ，， 四边形是矩形， ． 故答案为：． 17. 若实数，满足，，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】当时，由实数，满足，，可把，可以看成一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系，两根之和等于，两根之积等于，即可得到，，再将化简，代入数据求解即可；当时，代入原式求解即可． 【详解】当时， 实数，满足，， ，可以看成一元二次方程的两个根， 根据根与系数的关系可知：，， 原式 ， 当时， 原式 ， 综上所述，的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，分式的化简，掌握根与系数的关系是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，过正方形的顶点，的直线与轴的负半轴交于点，已知点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，证明，得出，，求出，根据待定系数法求出直线的解析式为，把代入得：，求出求出点D的坐标即可． 【详解】解：过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，如图所示： 则， ∵， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析，解题的关键是作出辅助线，求出点C的坐标． 三、解答题（本题共5题，8分一题，共40分） 19. 请用适当方法解下列方程 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法，得，再令每个因式为0，即可作答． （2）运用配方法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， 移项，， 配方 ∴， ∴， ∴． 20. 如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明，推出，，再证明，根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 21. 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求的值，并画出它的图象； （2）如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式，再描点画图即可； （2）当时，，当时，，当时，n取最大值，，并结合函数图象求出n的取值范围． 【小问1详解】 解：由是二次函数，且当时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：或（舍去）； 二次函数的解析式为， 如图所示： 【小问2详解】 解：点是此二次函数的图象上一点，， 当时，， 当时，， 当时，n取最大值，， ∴当时，． 【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，熟练的利用二次函数的定义求解二次函数的解析式是解本题的关键． 22. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【答案】要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元． 【解析】 【分析】设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元， 由题意，得， 解得：，． 有利于减少库存， ． 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元． 【点睛】本题考查了销售问题的数量关系利润售价进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解题的关键是根据销售问题的数量关系建立方程． 四、解答题（22，23题每题10分，共20分） 23. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值． 【答案】（1）m≤ （2）-1 【解析】 【分析】（1）利用判别式得到Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=2m-4，（x1-3）（x2-3）=m2-1变形得到x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【23题详解】 解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0， 解得m≤； 【24题详解】 根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4， ∵（x1-3）（x2-3）=m2-1， ∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1， ∴2m-4-3×1+9=m2-1， ∴m2-2m-3=0， 解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）． 故m的值是-1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=．也考查了根的判别式． 24. 如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于点，，与直线交于点． （1）求，的值． （2）直线与轴交于点，点在轴上，且．求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入得，，则，将，代入，可求； （2）由（1）可得，直线的解析式为，可求；时，，即；则，设，则，，由，可得，计算求解，进而可得点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入得，， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可得，直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴； 当时，，即； ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得，或， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，两直线交点，坐标与图形，绝对值方程等知识．熟练掌握 一次函数解析式，两直线交点，坐标与图形，绝对值方程是解题的关键． 五、解答题（25题12分，26题14分，共26分） 25. 阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成”和谐三数组”． 材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，． 问题解决： （1）请你写出三个能构成”和谐三数组”的实数 ； （2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0 (b，c均不为0)的解．求证：x1 ，x2，x3可以构成”和谐三数组”； 【答案】（1），2，3（答案不唯一）； （2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， ∴，， ∴， ∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解， ∴，∴， ∴=， ∴x1，x2，x3可以构成”和谐三数组” ． 【解析】 【分析】（1）根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论； （2）先根据材料2，得出，再求出一元一次方程的解，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴，2，3是”和谐三数组”； 故答案为：，2，3（答案不唯一）； （2） 略 【点睛】此题主要考查了新定义的理解和运用，熟知一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 26. 矩形的顶点，分别在轴，轴上，点的坐标为，点在线段上． （1）如图1，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上点处，求长． （2）在（1）问基础上，求直线的解析式． （3）如图2，以为腰向右作等腰，，点在轴正半轴上运动， ①探究点是否在某定直线上运动？若是，求该定直线的解析式；若不是，说明理由． ②连接，当取最小时值时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）①点在直线上；②点． 【解析】 【分析】（1）将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上点处，则，则； （2）在中，，即，解得：，即点，即可求解； （3）①证明，得到点的坐标，即可求解； ②由点、的坐标得，，即可求解． 【小问1详解】 解：由点的坐标得，点、的坐标分别为：、， 则， 将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上点处， 则，则； 【小问2详解】 解：由图形的翻折得，，设，则， 在中，，即， 解得：，即点， ∵点C的坐标为， ∴设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：； 【小问3详解】 解：①点是否在直线上运动，理由： 过点作轴于点，设， 为等腰，则，， ，， ， ， ， 则，， 则点， 则点在直线上； ②由点、的坐标得，， 当时，上式取等号， 即点． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、勾股定理的运用，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $