精品解析： 广东省汕头市濠江区2024—2025学年九年级上学期数学第一次月考试卷

2024～2025学年上学期九年级第一次月考考试试卷 初三数学 （温馨提示：本次考试全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程x2+x﹣＝0的根的情况是（　　） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 3. 用配方法解方程，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 已知：毕业典礼后，小芳学习小组内部的名同学，每两个同学都互相交换了礼物，她们一共买了份礼物．根据以上条件可以列出以下哪个方程（ ） A. B. C. D. 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（）个人． A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 6. 在同一坐标系中，抛物线y＝4x2，y＝x2，y＝－x2的共同特点是（ ） A. 关于y轴对称，开口向上 B. 关于y轴对称，y随x的增大而增大 C. 关于y轴对称，y随x的增大而减小 D. 关于y轴对称，顶点是原点 7. 将抛物线向左平移2个单位长度，所得新抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12 9. 已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点D、点E，过该函数顶点A与x轴平行的直线交抛物线于点B、点C，若，那么和需满足关系（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的一个根是．则______． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 13. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 14. 开口方向和开口大小与相同，顶点在的抛物线的关系式是________________． 15. 如图所示，在中，，，点是线段上的一个动点（点可与点重合），过点作于点，作的平分线交于点，在线段上截取，过点作交于点，过点作交于点，此时四边形恰好为正方形，在点从点开始的运动过程中，正方形面积的最小值为______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 18. 某地2018年投入扶贫资金2000万元，并计划投入资金逐年增加，2020年投入扶贫资金2880万元，从2018年到2020年，该地投入扶贫资金的年平均增长率为多少？ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 … y … 0 ﹣4 0 … （1）这个二次函数图形的顶点坐标为 ； （2）利用上表，在答题卡上的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，y的取值范围为____． 20. 已知关于x的方程()． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 21. 成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫．某工厂生产“蓉宝”大熊猫，以30元的单价对外批发进行销售 （1）商场购进一批“蓉宝”的大熊猫，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个．商场决定尽快减少库存，商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？ （2）商城销售总利润为w，当销售单价应定为多少元，销售总利润最大？ 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：． 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 ①已知代数式，则的最小值为______； ②将代数式化为的形式，并求出它的最大值． （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小，值为多少？ 23. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴正半轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）若m＝3，试证明△BQM是直角三角形； （3）已知点F（0，），试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年上学期九年级第一次月考考试试卷 初三数学 （温馨提示：本次考试全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足以下条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．同时满足以上四个条件的方程就是一元二次方程． 【详解】解：、方程可以转化为，是一元二次方程的一般形式，故本选项正确； 、不是整式方程，故本选项错误； 、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； 、未知项的最高次数是3，故本选项错误； 故选． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且． 2. 一元二次方程x2+x﹣＝0的根的情况是（　　） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=2＞0，即可判断有两个不相等的实数根． 【详解】∵△＝12﹣4×1×（﹣）＝2＞0， ∴方程x2+x﹣＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 3. 用配方法解方程，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把常数项-2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方． 【详解】解：由原方程，得 x2+2x=2， x2+2x+1=2+1， （x+1）2=3． 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4. 已知：毕业典礼后，小芳学习小组内部的名同学，每两个同学都互相交换了礼物，她们一共买了份礼物．根据以上条件可以列出以下哪个方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据每两名同学之间交换礼物一个，则m人共赠贺卡m（m-1）张，列方程即可． 【详解】解：根据题意，得 m（m-1）=20， 故选C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（）个人． A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）=121，解方程即可求解． 【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得 1+x+x(1+x)=121，即(1+x)2=121 解方程得(舍去) 故选C． 【点睛】考查一元二次方程的应用解题的关键是读懂题目，，从实际问题中抽象出方程模型，设出未知数，找出等量关系，列方程求解． 6. 在同一坐标系中，抛物线y＝4x2，y＝x2，y＝－x2的共同特点是（ ） A. 关于y轴对称，开口向上 B. 关于y轴对称，y随x的增大而增大 C. 关于y轴对称，y随x的增大而减小 D. 关于y轴对称，顶点是原点 【答案】D 【解析】 【详解】解：因为抛物线y＝4x2，y＝x2，y＝－x2都符合抛物线的最简形式y=ax2，其对称轴是y轴，顶点是原点． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质． 7. 将抛物线向左平移2个单位长度，所得新抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规则“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，所得新抛物线的函数解析式为， 故选：B． 8. 等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：①当等腰三角形的底边为2时， 此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根， ∴△＝36−4k＝0， ∴k＝9， 此时两腰长为3， ∵2＋3＞3， ∴k＝9满足题意， ②当等腰三角形的腰长为2时， 此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根， 代入得4−12＋k＝0， ∴k＝8， ∴x2−6x＋8＝0 求出另外一根为：x＝4， ∵2＋2＝4， ∴不能组成三角形， 综上所述，k＝9， 故选∶B． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质． 9. 已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】分a>0和a<0时，分别判断两函数的图象即可求得答案． 【详解】当a>0时,则函数y=ax中,y随x的增大而增大,函数y=ax2开口向上，故①不正确，②正确； 当a<0时,则函数y=ax中,y随x的增大而减小,函数y=ax2开口向下，故④不正确，③正确； ∴两函数图象可能是②③. 故答案选B. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象与正比例函数的图象的相关知识点. 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点D、点E，过该函数顶点A与x轴平行的直线交抛物线于点B、点C，若，那么和需满足关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线与x轴的交点横坐标得出，再求出，根据求出 【详解】解：对于，令，则， 整理得，， 解得，， ， ∵点是抛物线的顶点， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为， 对于，令，则， 整理得，， 解得， ， ，整理得，， 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点问题以及二次函数图像上点的坐标特征，平行于x轴上的两点之间的距离，熟练掌握二次函数图像与性质是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的一个根是．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，则，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到且，解不等式即可求解． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且； 故答案为：且． 13. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 【答案】2029 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入计算可得． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，即， ． 故答案为：2029． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 14. 开口方向和开口大小与相同，顶点在的抛物线的关系式是________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 根据题意确定出所求抛物线解析式即可． 【详解】解：抛物线的开口方向和开口大小与相同， ， 顶点在， 该抛物线为， 故答案为∶ ． 15. 如图所示，在中，，，点是线段上的一个动点（点可与点重合），过点作于点，作的平分线交于点，在线段上截取，过点作交于点，过点作交于点，此时四边形恰好为正方形，在点从点开始的运动过程中，正方形面积的最小值为______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】设，则，，根据等腰直角三角形的性质和三线合一的性质可得出，然后再根据勾股定理将正方形表示为，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵平分， ∴G为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴ ∵四边形为正方形， ∴ 当，正方形面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、方形的性质，勾股定理以及二次函数的性质，属于常考题型，灵活应用上述知识是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用解一元二次方程的方法； （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用公式法即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解的定义，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据一元二次方程解的定义得到，据此代值计算即可． 【详解】解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 18. 某地2018年投入扶贫资金2000万元，并计划投入资金逐年增加，2020年投入扶贫资金2880万元，从2018年到2020年，该地投入扶贫资金的年平均增长率为多少？ 【答案】从2018年到2020年，该地投入扶贫资金的年平均增长率为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设从2018年到2020年，该地投入扶贫资金的年平均增长率为x，则2019年该地投入扶贫资金万元，2020年该地投入扶贫资金万元，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设从2018年到2020年，该地投入扶贫资金的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：从2018年到2020年，该地投入扶贫资金的年平均增长率为． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 … y … 0 ﹣4 0 … （1）这个二次函数图形的顶点坐标为 ； （2）利用上表，在答题卡上的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，y的取值范围为____． 【答案】（1） （2） 如图所示为所画的函数图象； （3） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质． （1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据、时的函数值即可写出的取值范围． 【小问1详解】 由表可得二次函数图象过两点， 所以对称轴为直线：， 所以二次函数的顶点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由表可得，当时，， 当，， 的取值范围为：． 故答案为： 20. 已知关于x的方程()． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 【答案】 （1）证明：， ∵， ∴，即． ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）． 【解析】 【分析】（1）先计算根的判别式得到△=（a＋3）2，然后根据a>0得到△＞0，则可根据判别式的意义得到结论； （2）利用公式法求得方程的两个解为 x1＝－1，x2＝，再由方程有一个根大于2，列出不等式，解不等式即可求得a的取值． 【详解】（1） 略 （2）∵，由求根公式得x＝ ， ∴， ∵方程有一个根大于2， ∴. ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 21. 成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫．某工厂生产“蓉宝”大熊猫，以30元的单价对外批发进行销售 （1）商场购进一批“蓉宝”的大熊猫，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个．商场决定尽快减少库存，商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？ （2）商城销售总利润为w，当销售单价应定为多少元，销售总利润最大？ 【答案】（1）销售单价应定为40元 （2）当销售单价应定为元，销售总利润最大 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设每个“蓉宝”降价x元，根据利润（实际售价进价）销售量列出方程求解即可； （2）设每个“蓉宝”降价x元，根据利润（实际售价进价）销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每个“蓉宝”降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵商场决定尽快减少库存， ∴， ∴， 答：销售单价应定为40元； 【小问2详解】 解：设每个“蓉宝”降价x元， 由题意得 ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为2450， ∴， ∴当销售单价应定为元，销售总利润最大． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：． 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 ①已知代数式，则的最小值为______； ②将代数式化为的形式，并求出它的最大值． （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小，值为多少？ 【答案】（1）①；②，24 （2），理由如下： ∵，， ， ， ， ． （3）时，四边形的面积最小，且最小面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式： （1）①根据完全平方公式得到，再仿照题意求解即可； ；②根据完全平方公式得到，再仿照题意求解即可； （2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可； （3）先用t表示出，然后表示出的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可． 【小问1详解】 解：①， ∵， ∴， 当时，，因此 有最小值，最小值为， ∴ A的最小值为． ② ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，，因此 有最大值，最大值为24； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：， ， ∵， ∴， ∴ 当时，的面积最大，且最大面积为； ∵， ∴， ∴当最大时，最小， ∴时，四边形的面积最小，且最小面积为． 23. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴正半轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）若m＝3，试证明△BQM是直角三角形； （3）已知点F（0，），试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？ 【答案】（1）y＝﹣x2+x+2； （2）证明：m＝3，则点P（3，0）， 点D与点C关于x轴对称，则点D坐标为（0，﹣2）， 把x＝3代入抛物线表达式，则y＝2，即：Q（3，2）， 把点D的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b， 则：y＝kx﹣2， 把点B坐标代入上式，解得：k＝， 则BD所在直线表达式为：y＝x﹣2， 则点M坐标为（3，﹣）， 则：BM2＝，BQ2＝5，QM2＝，即：BM2+BQ2＝QM2， 故：△BQM是直角三角形； （3）当m＝3或﹣1时，四边形DMQF是平行四边形． 【解析】 【分析】(1)解题时先根据已知条件算出二次函数的系数大小，从而得到二次函数的表达式； (2)根据一次函数和二次函数的交点计算出一次函数的表达式，从而进一步得到点的坐标，证明△BQM是直角三角形； (3)根据平行四边形对边相等的特点利用函数交点计算出几个点的坐标，就可以证明四边形DMQF是平行四边形 【详解】解：（1）函数与y轴交于点C（0，2），则抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx+2， 将点A坐标代入上式得：﹣﹣b+2＝0，则b＝， 故：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2， 令y＝0，则x＝4或﹣1，即点B坐标为（4，0）； （2）略 （3）点P的坐标为（m，0）， 则点Q坐标（m，﹣m2+m+2）、点M坐标（m， m﹣2）， 当QM＝EF＝时，四边形DMQF是平行四边形， 则：QM＝﹣m2+m+2﹣m+2＝， 解得：m＝3或﹣1， 答：当m＝3或﹣1时，四边形DMQF是平行四边形． 【点睛】此题重点考查学生对二次函数的表达式，解直角三角形，平行四边形的求证的应用，抓住二次函数表达式，解直角三角形的求解方法，平行四边形的求证方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $