专题01 集合及其运算-【题海探秘】2024-2025学年高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册）

2024-2025高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 专题01 集合及其运算13考点复习指南 知识1：元素与集合 （1）集合元素的三大特性：确定性、互异性（解题注意回代检验集合元素互异性）、无序性. （2）元素与集合的关系：属于（）或不属于（） （3）集合的表示方法：列举法、描述法、（韦恩图法）；注意描述法书写格式，一般元素代表，共同特征； 知识2：集合间的基本关系 （1）子集：若对任意，都有，则或. 图表示： （2）真子集：若，且集合中至少有一个元素不属于集合，则_. 图表示： （3）相等：若，且，则. （4）空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识3：集合的基本运算 （1）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 （2）交集：一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 （3）全集与补集：全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识4：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 考点一 判断元素与集合的关系 1．（22-23高一上·江苏镇江·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·西藏林芝·期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(    ) A．4 B．2 C．3 D．5 3．（23-24高一上·四川内江·期中）设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 4．【多选】（23-24高一上·山东·期中）已知，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．【多选】（23-24高一上·江西抚州·期中）已知集合，则下列对象是集合A的元素的是（    ） A． B． C．4 D．6 考点二 根据元素与集合的关系求参数 6．（23-24高三上·陕西·期中）已知集合，若，则（    ） A．1 B． C．1或 D．0 7．（23-24高一上·天津南开·期中）设集合，若，则 ． 8．（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）设集合，，若，则（    ） A． B．3 C． D．5 10．（23-24高一上·甘肃兰州·期中）已知集合.若，求a的值. 考点三 根据集合中元素的个数求参数 11．【多选】（20-21高一上·江苏南通·阶段练习）集合中有且仅有一个元素，则实数的值可能为（    ） A．1 B． C．0 D．2 12．（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 13．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 14．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）若集合有且只有一个子集，则的取值集合为（    ）. A． B． C． D． 15．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且有4个子集，则实数m的取值范围是 ． 考点四 集合中元素的特性 16．（23-24高三上·山东潍坊·期中）英语单词“banana”所含的字母组成的集合中含有 个元素. 17．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，若，则实数 . 18．（23-24高一上·浙江·期中）设集合，，且，则值是 ． 19．【多选】（22-23高一上·河北衡水·阶段练习）若全集，集合满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D．0 考点五 列举法，描述法 20．（23-24高一上·云南昆明·期中）方程组的解组成的集合为（     ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 22．（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 . 23．（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高三上·湖南株洲·阶段练习）已知，若且，则（    ） A． B． C． D． 考点六 子集（真子集）个数 25．（23-24高一上·西藏林芝·期中）已知集合，则的子集的个数为 . 26．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知集合，则集合A的真子集个数为（    ）． A．4 B．3 C．16 D．15 27．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 28．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 29．（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点七 判断两个集合的包含关系 30．（23-24高一上·江苏南通·期中）若非空且互不相等的集合M，N，P满足：，，则（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·云南昆明·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高三上·四川成都·期中）设集合，则集合、的关系是（    ） A． B． C． D． 考点八 根据集合的包含关系求参数 34．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．2 35．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一下·浙江·期中）设集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·北京·期中）集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（2021·陕西西安·模拟预测）集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 考点九 集合相等及其应用 39．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 40．（21-22高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 41．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 42．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 考点十 集合的交并补及其综合运算 43．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高一上·四川达州·期中）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 45．（22-23高一下·浙江杭州·期中）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高二下·北京·期中）集合，，则（    ） A． B． C． D． 47．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 48．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 49．（23-24高一上·安徽·期中）已知全集为R，集合，，则（    ） A． B．或 C． D．或 考点十一 根据集合的运算结果求参数 50．（23-24高一下·云南昆明·期中）设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 51．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）设集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52．（21-22高一上·陕西渭南·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 53．（2024·广西·一模）已知集合，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 54．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 55．（2021高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 56．（23-24高三上·安徽·期中）设集合，则（    ） A． B． C． D． 考点十二 韦恩图的应用 57．（23-24高一下·湖北·期中）已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 58．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 59．（2024·山东烟台·一模）已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 60．（20-21高一上·浙江·课后作业）设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 61．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远两项比赛．已知参加100米短跑比赛的有15人，参加立定跳远比赛的有21人，则同时参加这两项比赛的有（    ） A．3人 B．2人 C．6人 D．4人 62．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加游泳、田径、球类三项比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳一项比赛的有（    ） A．3人 B．6人 C．9人 D．10人 63．（23-24高一上·河北沧州·期中）某校为了丰富校园文化，培养学生能力，增强学生自我认知，组建了形式多样的学生社团．已知该校某班共有29名学生参加书法、篮球两个社团，这29名学生每人至少参加这两个社团中的一个社团，其中有22名学生参加书法社团，16名学生参加篮球社团，则两个社团都参加的学生人数为（    ） A．9 B．7 C．13 D．6 64．（23-24高一上·北京·期中）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（    ） A．80 B．70 C．60 D．50 65．（23-24高一上·吉林·期中）高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（    ） A．3人 B．2人 C．1人 D．4人    考点十三 集合的新定义问题 66．（22-23高一下·江西赣州·期中）定义运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 67．（22-23高一上·安徽芜湖·阶段练习）集合是的子集，当时，若有且，则称为的一个“孤立元素”，那么的子集中无“孤立元素”且包含有四个元素的集合个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 68．（2022·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 69．（23-24高一上·天津南开·期中）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 70．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 71．（23-24高一上·四川·期中）给定集合，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，以下结论正确的是（    ） A．集合不为闭集合； B．集合为闭集合； C．集合为闭集合； D．若集合为闭集合，则为闭集合． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 专题01 集合及其运算13考点复习指南 知识1：元素与集合 （1）集合元素的三大特性：确定性、互异性（解题注意回代检验集合元素互异性）、无序性. （2）元素与集合的关系：属于（）或不属于（） （3）集合的表示方法：列举法、描述法、（韦恩图法）；注意描述法书写格式，一般元素代表，共同特征； 知识2：集合间的基本关系 （1）子集：若对任意，都有，则或. 图表示： （2）真子集：若，且集合中至少有一个元素不属于集合，则_. 图表示： （3）相等：若，且，则. （4）空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识3：集合的基本运算 （1）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 （2）交集：一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 （3）全集与补集：全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识4：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 考点一 判断元素与集合的关系 1．（22-23高一上·江苏镇江·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据自然数集、整数集、有理数集、空集的定义判断各选项中元素与集合的关系. 【详解】对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为不是有理数，所以，故B正确； 对于C.，因为0是自然数，所以，故C错误； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：B. 2．（22-23高一上·西藏林芝·期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(    ) A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据常用数集的表示符合与各自的范围判断各命题，即可得出答案. 【详解】为无理数，有理数与无理数统称为实数，所以，所以①正确； 为无理数，不属于整数，所以，所以②错误； 0不是正整数，所以，所以③正确； 是正整数，属于自然数，所以，所以④错误； 是无理数，所以，所以⑤正确； 是正数，所以，所以⑥错误； 综上，共由3个正确命题， 故选：C. 3．（23-24高一上·四川内江·期中）设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求集合，进而逐项分析判断. 【详解】由题意可得：， 因为，则， 所以，，，，故B正确，ACD错误. 故选：B. 4．【多选】（23-24高一上·山东·期中）已知，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】明确集合A，B分别是数集和点集，根据集合的相等的概念以及元素和集合的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由题意知，A表示的为数集， 表示的是点集， 则，A错误； ，故，B正确； 1是一个数，B代表点集，故，C正确； 由于，故，D正确， 故选：BCD 5．【多选】（23-24高一上·江西抚州·期中）已知集合，则下列对象是集合A的元素的是（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】BCD 【分析】根据题意，将集合化简，即可得到结果. 【详解】因为方程的两根分别为， 即 故选：BCD 考点二 根据元素与集合的关系求参数 6．（23-24高三上·陕西·期中）已知集合，若，则（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】令集合中元素等于2，求得值并检验是否满足集合的定义即得． 【详解】若，则或. 当时，，不符合元素的互异性； 当时，，符合题意. 故选：B． 7．（23-24高一上·天津南开·期中）设集合，若，则 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得或，求出的值，再检验即可. 【详解】因为且， 所以或，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，符合题意. 故答案为： 8．（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围. 【详解】由题意. 故选：D 9．（23-24高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）设集合，，若，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】根据交集结果判断元素与集合的关系即可求参数. 【详解】因为，所以，则，即． 故选：C 10．（23-24高一上·甘肃兰州·期中）已知集合.若，求a的值. 【答案】或5 【分析】利用条件得，再列方程并检验即可得到a的值. 【详解】解：因为所以，        故或，                     即或.             检验可知，当且仅当或时，，满足题意. 故a的值为或5. 考点三 根据集合中元素的个数求参数 11．【多选】（20-21高一上·江苏南通·阶段练习）集合中有且仅有一个元素，则实数的值可能为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】AC 【分析】对方程进行分类讨论，结合一元一次方程、一元二次方程的解法作答． 【详解】集合有且仅有一个元素， 即方程有且仅有一个解， 时，解为，符合， 时，方程为一元二次方程，由，得， 综上，或，可知AC符合． 故选：AC． 12．（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【答案】2 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 13．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 14．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）若集合有且只有一个子集，则的取值集合为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到无实数根，故根据根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，故无实数根， 故，解得， 故的取值集合为. 故选：C 15．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且有4个子集，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先解不等式得到，根据的子集个数，得到元素个数，进而得到实数m的取值范围. 【详解】， 因为有4个子集，所以中有2个元素， 则. 故答案为： 考点四 集合中元素的特性 16．（23-24高三上·山东潍坊·期中）英语单词“banana”所含的字母组成的集合中含有 个元素. 【答案】3 【分析】根据集合的互异性即可求解. 【详解】英语单词“banana”所含的字母组成的集合为，共3个元素. 故答案为：3. 17．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，若，则实数 . 【答案】 【分析】利用元素和集合的关系、集合的性质分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，∵集合， ∴由集合中元素的互异性可知：，可得：且. 又∵， ∴或，解得：或（舍去）. 综上知，实数. 故答案为：. 18．（23-24高一上·浙江·期中）设集合，，且，则值是 ． 【答案】 【分析】根据，建立元素关系即可得到结论，注意验证集合中元素的互异性是否成立． 【详解】∵， ∴或， 即或， 即或， 当时，，与元素互异性矛盾，故舍去， 当时，，，且，满足条件． 故， 故答案为：． 19．【多选】（22-23高一上·河北衡水·阶段练习）若全集，集合满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D．0 【答案】AB 【分析】根据集合中元素的性质以及补集概念求解即可. 【详解】因为，所以根据元素互异性可知，所以， 显然， 则或. 故选：AB 考点五 列举法，描述法 20．（23-24高一上·云南昆明·期中）方程组的解组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义分析求解. 【详解】由方程组解得， 所以方程组的解组成的集合为. 故选：C. 21．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 22．（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 . 【答案】 【分析】根据题意可知为的约数，求得的取值，用列举法表示集合即可. 【详解】由可知为的约数，所以， 因为，所以，此时， 集合为. 故答案为：. 23．（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式性质进行计算的结果 【详解】由得，则 ． 故选：C 24．（22-23高三上·湖南株洲·阶段练习）已知，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合所满足的条件即可直接得出答案。 【详解】因为，且，所以. 故选：C 考点六 子集（真子集）个数 25．（23-24高一上·西藏林芝·期中）已知集合，则的子集的个数为 . 【答案】 【分析】先求得，进而求得子集的个数. 【详解】， 所以，有个元素， 子集个数为个. 故答案为： 26．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知集合，则集合A的真子集个数为（    ）． A．4 B．3 C．16 D．15 【答案】D 【分析】解出集合，根据集合中的元素个数即可求解. 【详解】因为， 有4个元素， 则集合A的真子集个数为， 故选：D. 27．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据子集概念得，根据真子集概念得不全部是的元素，所以集合个数等于集合的真子集个数. 【详解】由得且不全部是的元素， 令，则，所以集合个数等于集合的个数， 即的真子集个数，为个， 故选：B. 28．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据集合的定义求得，再根据集合的包含关系，即可求得. 【详解】，又，， 故集合为包含元素和，且为的子集， 故集合可以为：，则集合的个数是个. 故选：B. 29．（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合有7个真子集，由集合中包含3个元素求解. 【详解】解：因为集合有7个真子集， 所以集合中包含3个元素， 所以， 解得. 故选：A 考点七 判断两个集合的包含关系 30．（23-24高一上·江苏南通·期中）若非空且互不相等的集合M，N，P满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，得到集合的包含关系，根据集合之间的包含关系进行判断即可； 【详解】由题意可知，是的子集，是的子集，所以是的子集， 所以. 故选：C. 31．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】表示所有的偶数倍的数构成的集合，而表示所有的整数倍的数构成的集合，故， 故选：D 32．（23-24高一上·云南昆明·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析集合的元素特性，求出集合的关系，再结合交集、并集的定义判断即得. 【详解】集合中元素，是奇数， 集合中元素，是整数，因此，ACD错误； ，B正确. 故选：B 33．（23-24高三上·四川成都·期中）设集合，则集合、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两个集合分别化简，从而可判断集合间的关系. 【详解】集合， 集合， 因为，表示被除余的数，，表示被除余的数， 所以. 故选：B. 考点八 根据集合的包含关系求参数 34．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由集合且，得，所以. 故选：D 35．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的集合. 【详解】因为，且， 当时，符合题意； 当时，又，所以或，解得或， 综上可得实数的取值集合为. 故选：D 36．（23-24高一下·浙江·期中）设集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系利用数轴即可得解. 【详解】如图，若，则. 故选：C. 37．（23-24高一上·北京·期中）集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解出集合，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，则. 故选：D. 38．（2021·陕西西安·模拟预测）集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑，，，确定集合，再根据集合的包含关系计算得到答案. 【详解】①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：. 故选：A 考点九 集合相等及其应用 39．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样. 【详解】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 故选：A 40．（21-22高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由两集合相等，元素完全一样，则可列出等式，结合集合中元素满足互异性即可解出答案. 【详解】因为，所以或，解得或或， 又集合中的元素需满足互异性，所以， 则． 故选：C. 41．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据集合相等的概念列式求解即可. 【详解】∵集合， 当且时，结合，解得， 经检验，不符合元素的互异性，舍去； 当且时，结合，解得，经检验，符合题意， 故. 故选：C. 42．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解. 【详解】因为，且集合中， 所以集合中的元素，解得， 又因为，所以，所以或， 若，解得或， 经检验，时，与集合中元素的互异性矛盾，时，满足题意， 若，由上述过程可知，不满足题意； 综上，所以， 故选：A. 考点十 集合的交并补及其综合运算 43．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求集合，再根据交集运算求解即可. 【详解】由题意，因为集合 所以. 故选：B. 44．（23-24高一上·四川达州·期中）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得集合或，，结合交集与补集的运算，即可求解. 【详解】由集合或， 所以，可得. 故选：. 45．（22-23高一下·浙江杭州·期中）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集概念及其运算可得，再由交集运算可得答案. 【详解】由，可得， 又，可得. 故选：A 46．（23-24高二下·北京·期中）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得集合，再根据补集及并集的定义即可求解. 【详解】由题意，解得集合， 又因为集合， 所以， 所以. 故选：D. 47．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集、并集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，全集，则，， 得，所以. 故选：B 48．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集与补集的定义求解即可. 【详解】由题意，. 故选：C 49．（23-24高一上·安徽·期中）已知全集为R，集合，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】解不等式确定集合，然后由集合的运算法则计算． 【详解】因为， 所以， 或. 故选：B. 考点十一 根据集合的运算结果求参数 50．（23-24高一下·云南昆明·期中）设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若，则，结合数轴分析即可. 【详解】若，则，画出数轴可得，. 故选：B 51．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）设集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义结合已知条件求解即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：C 52．（21-22高一上·陕西渭南·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系，结合区间端点满足的关系求解即可. 【详解】因为，故，故. 故选：D 53．（2024·广西·一模）已知集合，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，结合得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以， 又，，且， 所以，解得. 故选：D 54．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于的不等式组，解之即得. 【详解】或，或， 又，解得. 故选:D. 55．（2021高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合U、A，利用，借助于不等式的解集是用不等式对应的方程的解表示求出a. 【详解】∵，又， ∴， 又， ∴､是方程的两个根，∴. 故选：A. 【点睛】（1）集合的交并运算：①离散型的数集用韦恩图；② 连续型的数集用数轴； （2）不等式的解集是用不等式对应的方程的解表示的. 56．（23-24高三上·安徽·期中）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可， 【详解】由题意得，， 则，则，故A错误； ，或，则，故B正确； 又，，故C错误； ，故D错误. 故选：B. 考点十二 韦恩图的应用 57．（23-24高一下·湖北·期中）已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的交集与补集运算求解即可. 【详解】因为，所以， 图中阴影部分表示的集合中除去， 故阴影部分表示的集合为. 故选：C. 58．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦恩图即可求解. 【详解】因为，，所以． 故选：A． 59．（2024·山东烟台·一模）已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图，利用交集的定义求解即得. 【详解】解不等式，得，即， 由，得， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A 60．（20-21高一上·浙江·课后作业）设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由并集的概念以及韦恩图的辨析即可得解. 【详解】由题意，那么图中的白色部分所表示的集合是. 故选：C. 61．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远两项比赛．已知参加100米短跑比赛的有15人，参加立定跳远比赛的有21人，则同时参加这两项比赛的有（    ） A．3人 B．2人 C．6人 D．4人 【答案】C 【分析】设同时参加这两项比赛的人数为，作出venn图，列出关系式，求解即可得出答案. 【详解】设同时参加这两项比赛的人数为， 由题意可作出venn图，    根据venn图可知，，解得. 故选：C. 62．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加游泳、田径、球类三项比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳一项比赛的有（    ） A．3人 B．6人 C．9人 D．10人 【答案】C 【分析】运用韦恩图分析问题. 【详解】由题意只参加游泳比赛的人数； 故选：C. 63．（23-24高一上·河北沧州·期中）某校为了丰富校园文化，培养学生能力，增强学生自我认知，组建了形式多样的学生社团．已知该校某班共有29名学生参加书法、篮球两个社团，这29名学生每人至少参加这两个社团中的一个社团，其中有22名学生参加书法社团，16名学生参加篮球社团，则两个社团都参加的学生人数为（    ） A．9 B．7 C．13 D．6 【答案】A 【分析】利用集合交集的性质进行运算. 【详解】设两个社团都参加的学生人数为，则，解得． 故选：A. 64．（23-24高一上·北京·期中）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（    ） A．80 B．70 C．60 D．50 【答案】B 【分析】利用韦恩图分析出只阅读过西游记的人数为10，从而求出答案. 【详解】如图所示， 因为阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60， 所以只阅读过红楼梦的人数为20， 又其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90， 故只阅读过西游记的人数为10， 所以这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为. 故选：B 65．（23-24高一上·吉林·期中）高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（    ） A．3人 B．2人 C．1人 D．4人 【答案】C 【分析】作出图形即可得到方程，解出即可. 【详解】设这三项比赛都参加的有人，则，解得． 故选：C.    考点十三 集合的新定义问题 66．（22-23高一下·江西赣州·期中）定义运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用集合的新定义和交集运算即可. 【详解】由题意得， 所以. 故选：C. 67．（22-23高一上·安徽芜湖·阶段练习）集合是的子集，当时，若有且，则称为的一个“孤立元素”，那么的子集中无“孤立元素”且包含有四个元素的集合个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】用列举法列出符合题意的集合，即可判断； 【详解】解：， 其中不含“孤立元素”且包含有四个元素的集合有： ，，，，，共个， 那么中无“孤立元素”的4个元素的子集的个数是个． 故选：B． 68．（2022·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可. 【详解】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． 69．（23-24高一上·天津南开·期中）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据所给定义求出，，即可求出，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 则. 故选：A 70．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断. 【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合， 在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错. 故选：A. 71．（23-24高一上·四川·期中）给定集合，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，以下结论正确的是（    ） A．集合不为闭集合； B．集合为闭集合； C．集合为闭集合； D．若集合为闭集合，则为闭集合． 【答案】C 【分析】由闭集合的定义判断AC；举例判断BD. 【详解】对于A，，有，且，则集合为闭集合，故A错误； 对于B，因为，但，故B错误； 对于C，设，，则， ，则集合为闭集合，故C正确； 对于D，设， 则，但，故D错误. 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$