期中押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：二次函数、简单事件的概率、圆的基本性质）-2024-2025学年九年级数学上学期重难点专题提升精讲精练（浙教版）

期中押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：二次函数、简单事件的概率、圆的基本性质】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）下列二次函数图象经过原点的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B．三点确定一个圆 C．相等圆周角所对的弧相等 D．同弧所对的圆周角相等 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度与水平距离之间的关系为；由此可知小明这次的推铅球成绩是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当旋转角为，，，三点在同一直线上时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（22-23九年级下·山东烟台·期中）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分2，0，；转盘B被四等分3，2，，．如果同时转动转盘A，B，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（　　） A．9 B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）有一个开口向下的二次函数，下表是函数中四对与的对应值． … 0 1 2 … … … 若其中有一对对应值有误，当时，的取值范围是（    ） A．的全体实数 B．或 C． D．或 9．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（23-24九年级下·全国·单元测试）从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数是3的倍数的概率是 ． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为 ． 13．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，若，，则的度数为 ． 14．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，为圆的直径，为圆弧上的三等分点，已知，求阴影部分的面积 ． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学拿绳的手的间距为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点水平距离为米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则的取值范围是 ． 16．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，点 在以 为直径的 上，点 在 延长线上，，，  ，点 为圆上动点，当 是以 为底边的等腰三角形时； 则 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象经过， (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数写成的形式，并求出顶点坐标． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．      (1)用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率； (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由． 19．（2024·浙江杭州·一模）如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 20．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)作关于y轴对称的； (2)将绕原点顺时针旋转，得到，作出并求点C旋转到点所经过的路径长． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）根据背景素材，探索解决问题． 测算拉索桥立柱的高 素材1 一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径的水平距离为22米，点和点处于同一水平线． 素材2 （1）桥的两根主立柱和拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的边境点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）； 问题解决 任务1 建立模型 以点为原点，水平线为轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析式． 任务2 利用模型 根据任务1所求的解析式模型，分别求点、的坐标． 22．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的图象如图． (1)若抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，当时，求的取值范围． (2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，，求当时，二次函数的值． (3)若此抛物线图象上有两点，，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 23．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知内接于，于点． (1)如图，求证：； (2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标是，并且． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上之间的动点，过点作垂直于轴于点，交直线于点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：二次函数、简单事件的概率、圆的基本性质】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）下列二次函数图象经过原点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，将分别代入二次函数解析式，然后看所得出的函数值是否为零即可得出正确答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； 、将代入可得，故经过原点，符合题意； 、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； 、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； 故选：． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B．三点确定一个圆 C．相等圆周角所对的弧相等 D．同弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理，弧与圆周角，圆心角的关系，熟知圆的相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原说法错误，不符合题意； B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原说法错误，不符合题意； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误，不符合题意； D、同弧或等弧所对的圆周角相等，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键．用绿灯时间除以红绿灯时间之和，即可得到答案． 【详解】解：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒， 遇到绿灯的概率是， 故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度与水平距离之间的关系为；由此可知小明这次的推铅球成绩是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：令函数解析式中，， 得到， 解得，（舍去）， 即铅球推出的距离是， 故选：C． 5．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当旋转角为，，，三点在同一直线上时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，即可得出答案． 【详解】由旋转可知，， ∴． 故选：C． 6．（22-23九年级下·山东烟台·期中）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分2，0，；转盘B被四等分3，2，，．如果同时转动转盘A，B，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 0 3 （2，3） （0，3） （，3） 2 （2，2） （0，2） （，2） （2，） （0，） （，） （2，） （0，） （，） 由表可知，共有12种等可能结果，落在直角坐标系y轴正半轴上的情况有2种， 所以点落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（　　） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点到圆上的最值问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及垂径定理，设量角器刻度处为点G，为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，证明为等腰直角三角形，由当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：设量角器刻度处为点G，如图， 则为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接， ∵点E为中点， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点F为弧上一动点， ∴当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值． ∴的最小值为． 故选：C． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）有一个开口向下的二次函数，下表是函数中四对与的对应值． … 0 1 2 … … … 若其中有一对对应值有误，当时，的取值范围是（    ） A．的全体实数 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据函数的增减性判断出时y的值错误数据，是解答本题的关键．解答时，注意数形结合的思想．由表可知：时y的值小于0，当、1、2时y的值大于0，结合抛物线开口向下，可知函数值随x的增大先增大再减小，即可判断出时y的值错误数据；进而由表中数据得出抛物线的对称轴，即可得出时，自变量的值，数形结合即可作答． 【详解】解：由表可知：时y的值小于0，当、1、2时y的值都为， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线必为先递增再递减，即函数值随x的增大先增大再减小， ∴时y的值错误数据； 又∵和2时y的值相等， ∴抛物线对称轴为， ∴根据对称性可知：和3时，函数值相等，为， ∴当时，或， 故选：B． 9．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形中，求出，得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，求出和的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明是定值，从而得到点的轨迹． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在凹四边形中，，，， 始终为， 得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，， ， 由解图可得，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 在中，， ， ， ， 故选：D． 10．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键在于数形结合的思想的运用． 当直线与抛物线相切时符合题意，则有，根据，求出m的值；当抛物线过，且对称轴在y轴右侧时符合题意，代入，求出此时的m的值，以及抛物线继续向左平移，仍符合题意． 【详解】解：由题意，当直线与抛物线相切时符合题意，如图： ∴，即． ∴． ∴． 令，则， ∴， 记直线与y轴交于点， 又当抛物线过，且对称轴在y轴右侧， ∴． ∴，此时刚好在对称轴左侧有一个交点，如图： 又继续向左平移符合题意，符合题意，如图： ∴． 综上，或． 故选：D． 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（23-24九年级下·全国·单元测试）从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数是3的倍数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求概率的方法：列表法和树状图法，解题关键是能够通过画表格（图）或者树状图列出所有可能情况． 根据所抽取的数据拼成两位数画出表格，得出总数及能被3整除的数，再求概率即可． 【详解】解：如图，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，共6种情况，其中是3的倍数的有24，42两种， 2 3 4 2 23 24 3 32 34 4 42 43 ∴组成两位数是3的倍数的概率为． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数的顶点坐标为，可得可设这个二次函数的解析式为，再根据图象的形状和与抛物线相同，可得，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴可设这个二次函数的解析式为， ∵二次函数图象的形状与抛物线相同， ∴， ∴， ∴这个二次函数的解析式为或． 故答案为：或． 13．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，外角性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键，由圆内接四边形的性质得，利用三角形的外角性质得，进而利用三角形的内角和定理即可得解。 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，为圆的直径，为圆弧上的三等分点，已知，求阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及等边三角形的判定与性质、平行线的判定、同底等高三角形面积及扇形面积公式等知识，连接，如图所示，由等边三角形的判定与性质及平行线的判定得到，进而确定阴影部分的面积，利用扇形面积公式代值求解即可得到答案，根据题意，准确作出辅助线，数形结合将不规则图形面积转化为规则图形面积是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 为圆弧上的三等分点， ， ， 是等边三角形，则， ， ， ， 线段与构成的弓形面积始终不变， 阴影部分的面积， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学拿绳的手的间距为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点水平距离为米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，二次函数与不等式，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．以所在直线为轴，以地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出解析式，再利用求解即可． 【详解】解：如图建立直角坐标系： 由题意可知，，，最高点的纵坐标为， 点的横坐标为， ， 设抛物线的解析式为， 把代入， 解得：， 抛物线的解析式是， 当时，， 解得：，， 的取值范围是． 故答案为：． 16．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，点 在以 为直径的 上，点 在 延长线上，，，  ，点 为圆上动点，当 是以 为底边的等腰三角形时； 则 【答案】 或 /或 【分析】作的垂直平分线，交于M点，交于点和点．此时和即为以 为底边的等腰三角形．延长交于F点，作于H点，于G点．构造矩形和．连接、、、、、，根据勾股定理和矩形的小册子即可求出、的长． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，交于M点，交于点和点．延长交于F点，作于H点，于G点．连接、、、、、． ∵垂直平分， ∴，，， ∴和均是以为底边的等腰三角形． ∵，，， ∴四边形是矩形， 同理可证四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴． 同理，中，， ∴， ∴， ∴， ∴．综上，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查圆的基本性质、垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等，有一定难度，解题的关键是通过作辅助线找出符合条件的． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象经过， (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数写成的形式，并求出顶点坐标． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，正确求出函数解析式是解题关键． （1）将点，代入函数解析式，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式． （2）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴顶点坐标为． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．      (1)用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率； (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到转出的两个数字之积为奇数的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出王老师获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中转出的两个数字之积为奇数的结果数有4种， ∴余老师获胜的概率为； （2）解：这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平，理由如下： 由（1）可知，转出的两个数字之积为偶数的结果数有8种， ∴王老师获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平． 19．（2024·浙江杭州·一模）如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1)四边形为正方形，理由见解析 (2)平方厘米 【分析】本题考查与圆有关的计算，正方形的判定和性质，掌握正方形的性质，圆面积、正方形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆周角定理以及正方形的判定方法进行解答即可； （2）根据圆面积，正方形的面积与阴影部分面积之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，理由如下： 如图，连接，，，，则， 由题意可知，， ，， ， ， 四边形是正方形； （2）解：在中，，， ， 平方厘米． 答：阴影部分面积为平方厘米． 20．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)作关于y轴对称的； (2)将绕原点顺时针旋转，得到，作出并求点C旋转到点所经过的路径长． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析； 【分析】本题考查作图-轴对称变换，旋转变换，以及求弧长，熟练掌握相关作图方法是解题关键； （1）根据点关于轴对称的性质分别找到对应的点，，，然后进一步连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可，利用弧长公式求得点经过的路径长． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求， 由题意可知，， ∴点C旋转到点所经过的路径长． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）根据背景素材，探索解决问题． 测算拉索桥立柱的高 素材1 一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径的水平距离为22米，点和点处于同一水平线． 素材2 （1）桥的两根主立柱和拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的边境点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）； 问题解决 任务1 建立模型 以点为原点，水平线为轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析式． 任务2 利用模型 根据任务1所求的解析式模型，分别求点、的坐标． 【答案】任务1：平面直角坐标系见解析，抛物线的解析式为；任务2：， 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键． 任务1：由题意得出抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； 任务2：由题意可得：线段被均分成条相等的线段，每段长为（米），则点的横坐标为，点的横坐标为，分别代入和计算即可得解． 【详解】解：任务1：如图所示： ∵抛物线经过，， ∴抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 任务2：由题意可得：线段被均分成条相等的线段，每段长为（米）， 则点的横坐标为，点的横坐标为， 当时，，即， 当时，，即． 22．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的图象如图． (1)若抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，当时，求的取值范围． (2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，，求当时，二次函数的值． (3)若此抛物线图象上有两点，，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 【答案】(1)或； (2)； (3)函数值与解析式中的系数有关，理由见解析． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，得到点关于直线的对称点为，于是得到当时，的取值范围为或； （2）根据已知条件得到点与点关于直线对称，求得，当时，函数的值； （3）由点，，得到两点，关于对称轴直线对称，从而得，当时，，即函数值与解析式中的系数有关． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为， ∴点关于直线的对称点为． ∴当时，的取值范围为或； （2）解：∵，，抛物线的对称轴为直线， ∴点与点关于直线对称， ∴， ， ∴， ∵点关于直线的对称点为 当时，函数的值，即当时，二次函数的值为； （3）解：函数值与解析式中的系数有关，理由如下： ∵两点，纵坐标相等，且在抛物线上， ∴，关于对称轴直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，即函数值与解析式中的系数有关． 23．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知内接于，于点． (1)如图，求证：； (2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆的综合题，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识，添加辅助线，借助特殊四边形解决问题； （1）如图1中，延长交 于，连接．首先证明，由即可证明． （2）由（1）可知，，由，推出，推出，推出； （3）如图中，连接、，首先证明四边形是平行四边形，得出四边形是菱形，则，由勾股定理求出半径，进而求解； 【详解】（1）证明：如图中，延长交于，连接． 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：由可知，， ， ， ， ， ． （3）解：如图中，连接、、． 由可知， ， ，，， ，， 在和中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标是，并且． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上之间的动点，过点作垂直于轴于点，交直线于点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或； 【分析】（1）先求出、两点坐标，再设交点式，将点坐标代入求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，进而得出，根据得到关于的二次函数，再配方求最值即可； （3）分两种情况讨论：①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点；②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的判定和性质，找出相等线段，再设点坐标，进而得到一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标是， ， ， ，， ，， 抛物线与轴交于、两点， 设抛物线的解析式为， 与轴交于点， ， 解得：， ， 即抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 点是抛物线上之间的动点， 设， 轴，交直线于点， ， ， ， ， 当时，有最大值为8， ， 即当的面积最大时，求出点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ，， ， ， 解得：，（舍）， 当时，， ； ②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， 是等腰直角三角形， ， 设， ，， ， ， 解得：，（舍）， 当时，， ， 综上可知，抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或； 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$