期中押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：三角形的初步认识、特殊三角形、一元一次不等式）-2024-2025学年八年级数学上学期重难点专题提升精讲精练（浙教版）

期中押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：三角形的初步认识、特殊三角形、一元一次不等式】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆或三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，4 D．1，2，4 3．（22-23八年级上·浙江·期中）已知，若c是任意有理数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D．， 5．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）学校矩形环保知识竞赛，共20道题，规定每答对一题记10分，答错或放弃一题记分，九年级代表队的得分目标为不低于88分．则这个队至少要答对（    ）道题才能达到目标要求． A．10 B．11 C．12 D．13 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图所示框架，其中足够长，于点，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为（  ） A．或 B． C．或14 D． 9．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（22-23七年级下·福建福州·期末）已知关于，的方程组，其中，下列说法正确的是（    ） ①当时，与相等；    ②是原方程组的解； ③无论为何值时，；    ④若，，则的最大值为11； A．①③ B．②③ C．②③④ D．③④ 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知的三个内角度数比为，则这个三角形是 三角形． 12．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为 ． 13．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，于点，与相交于点．若，，则 ． 15．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）若关于x的不等式组的解集有且仅有三个整数解，则a的取值范围是 ． 16．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 三、解答题（8小题，共66分） 17．（23-24七年级下·全国·期末）（1）解关于x的不等式，并求出其最大整数解； （2）解关于x的不等式组 18．（21-22九年级·山东枣庄·自主招生）已知关于x，y的二元一次方程组满足，求a的取值范围，并在数轴上表示出来． 19．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，． 画出下列图形： ①边上的高； ②的角平分线．（此小题要求尺规作图） 20．（22-23八年级上·浙江舟山·期末）在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点． (1)若米，米．竹竿的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动多少米？ (2)若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小． 22．（2024八年级上·浙江·专题练习）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 24．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：三角形的初步认识、特殊三角形、一元一次不等式】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，正确记忆相关知识点是解题关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆或三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，4 D．1，2，4 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理判断即可，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：A、，不能摆成三角形，故本选项不符合题意； B、，能摆成三角形，故本选项符合题意； C、，不能摆成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能摆成三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（22-23八年级上·浙江·期中）已知，若c是任意有理数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确； B．∵，∴，故不正确； C．∵，∴当时，，故不正确； D．∵，∴，正确； 故选D． 4．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了举反例；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断． 【详解】解：A、，能说明它是假命题，故本选项符合题意； B、若，，则，不能说明它是假命题，故本选项不符合题意； C、若，，此时，不能说明它是假命题，故本选项不符合题意； D、若，，此时，不能说明它是假命题，故本选项不符合题意； 故选：A 5．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）学校矩形环保知识竞赛，共20道题，规定每答对一题记10分，答错或放弃一题记分，九年级代表队的得分目标为不低于88分．则这个队至少要答对（    ）道题才能达到目标要求． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等式关系式即可求解，正确用代数式表示出九年级代表队的得分是解题关键．本题的不等式关系是：答对的题所得的分数+答错或放弃所得的分数分，以此来列出不等式，得出所求的结果． 【详解】解：设这个队要答对x道题，根据题意得： ， ， ， 解得：， 答：这个队至少要答对12道题才能达到目标要求， 故选：C． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可．明确少走的路长为是解题的关键． 【详解】解：如图，点为长方形的顶点，点和点都在长方形的边上且，， ∴， ∴， ∴他们少走的路长为：． 故选：D． 7．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，，再求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，， ∵，与地面垂直，处距地面高， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是， 故选：B． 8．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图所示框架，其中足够长，于点，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为（  ） A．或 B． C．或14 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是分情况讨论． 设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当时，列方程解得，可得；情况二：当时，列方程解得，可得． 【详解】解：∵点运动的速度之比为， ∴设，则， ∵与全等， 可分两种情况： 情况一：当时， ∵， ∴， ∴， 解得：， ； 情况二：当时， ∵， ， 解得：， ； 综上所述，或， 故选：C． 9．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路线问题,垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理的应用．延长至，使，延长至，使，则垂直平分，垂直平分，所以，，的周长为，要使其周长最小，即使最小，设，则，设，则，在中，利用三角形内角和定理，可以求出，进一步可以求出的值． 【详解】解：如图，延长至，使，    延长至，使， 则垂直平分，垂直平分， ，， 根据两点之间，线段最短， 当，，，四点在一条直线时，最小， 则的值最小， 即的周长最小， ，， 可设，， 在中，， ，， ， 故选：A． 10．（22-23七年级下·福建福州·期末）已知关于，的方程组，其中，下列说法正确的是（    ） ①当时，与相等；    ②是原方程组的解； ③无论为何值时，；    ④若，，则的最大值为11； A．①③ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】D 【分析】①当时，则有即可求解；②当，取不同值时解不同，即可求解；③解此方程组得，即可求解；④可求，由，可求，进而可求解． 【详解】解：①当时，则有 ， 解得：， 故①错误； ②当，取不同值时解不同； 故②错误； ③解此方程组得， 所以， 故③正确； ④ ， 因为， 所以， 解得：， 因为， 所以， 所以， 所以的最大值为， 故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组，一元一次不等式组等，掌握方程组及不等式组的解法是解题的关键． 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知的三个内角度数比为，则这个三角形是 三角形． 【答案】锐角 【分析】本题考查三角形归类．利用内角度数比分别求出三个内角度数，继而得到本题答案． 【详解】解：∵的三个内角度数比为， ∴三个内角分别为：， ， ， ∵三个内角均小于， ∴这个三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角． 12．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为 ． 【答案】7或4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用是解题的关键． 分腰长为，底边长为两种情况，计算求解，然后根据三角形三边关系判断作答即可． 【详解】解：当腰长为时，底边长为， 4、4、7满足三角形三边关系； 当底边长为时，腰长为， 、、满足三角形三边关系； 综上所述，它的底边长为7或4， 故答案为：7或4． 13．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 【答案】0， 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，于点，与相交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键，先由勾股定理得，再证明（）得，从而即可得解。 【详解】解：∵，，， ∴，， 在和中， ∴（） ∴， ∴， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）若关于x的不等式组的解集有且仅有三个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键． 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的不等式组有且仅有3个整数解， ∴3个整数解是3，4，5， ， ， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 【答案】 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论．本题考查了角平分线的性质，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线 在与中， ， ， ， 又 ， 为的平分线， 过点作于点， 在与中， ， ， ， ． 在与中， ， 为的平分线 ， 在中， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（23-24七年级下·全国·期末）（1）解关于x的不等式，并求出其最大整数解； （2）解关于x的不等式组 【答案】（1），最大整数解为；（2） 【分析】本题考查了不等式及不等式组的求解： （1）先求出不等式的解集，再求出不等式的最大整数解即可； （2）先求出不等式的解集，再求出不等式组解集即可． 【详解】（1）解： 所以最大整数解为： （2） 解： 所以不等式组的解集为： 18．（21-22九年级·山东枣庄·自主招生）已知关于x，y的二元一次方程组满足，求a的取值范围，并在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式，并在数轴上表示不等式的解集，先利用加减消元法解出用a表示的x，y 的值，然后利用代入得出关于a的一元一次不等式，解不等式以及在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 由①②得：， ∴， 把代入②式得： ∴， ∴原方程组的解为： ∵， ∴， 解得：， 将解集表示在数轴上如下： 19．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，． 画出下列图形： ①边上的高； ②的角平分线．（此小题要求尺规作图） 【答案】①作图见详解；②作图见详解 【分析】本题主要考查画三角形的高，尺规作角平分线， （1）根据题意，可得是钝角三角形，过点作延长线于点，即可求解； （2）根据尺规作角平分线的方法“以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则即为所求交的角平分线”，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴是钝角三角形， ①过点作延长线于点，则即为边上的高，如图所示， ②根据尺规作角平分线的方法作图如下， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 20．（22-23八年级上·浙江舟山·期末）在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线 （1）连接，根据垂直定义可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 是的中线， ， ， ， 点是的中点， ； （2）解：，， ， ， ， ， ，点是的中点， ， 的度数为． 21．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点． (1)若米，米．竹竿的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动多少米？ (2)若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小． 【答案】(1)2米 (2)不相等，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出米，再由勾股定理求出米，即可解决问题； （2）设米，顶端下滑的距离为米，底端外移的距离为米，利用勾股定理可得，再由偶次方的非负性可得，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可知，， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：点将向外移动米； （2）解：不相等．理由如下： 设米，顶端下滑的距离为米，底端外移的距离为米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴顶端下滑的距离大于底端外移的距离． 22．（2024八年级上·浙江·专题练习）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 (2)超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元 (3)有两种：当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【分析】对于（1），设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； 对于（2），设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多余7500元，列不等式求解； 对于（3），根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． （2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴a最大是37， 答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． （3）解：根据题意得：， 解得：， ∵，且a应为整数， ∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，方案设计，根据题意弄清等量（不等）关系是解题的关键． 23．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键． （1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案； （2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据 “相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：方程①， 解得：， 方程②：， 解得：， 不等式组， 解得：， 在范围内， 方程②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：②； （2）方程， 解得：， 不等式组， 解得：， 由题意可得：， 解得：； （3）方程， 解得：， 方程， 解得：， ， 解得：， 和都在范围内， ， 解得：． 24．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 【答案】(1)10； (2)t的值为、16、5； (3)当t的值为5或11时，平分． 【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解； （3）分两种情况：①点P在线段上时，过点D作于E，先证，得出，，再由勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，同①得，得出，，再由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， 在中，， 由勾股定理，得； （2）解：在中，， 由勾股定理，得． 若，则，解得； 若，则，，解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为、16、5； （3）解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示： 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，平分． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$