4.1比例线段（8大题型提分练）数学浙教版九年级上册

（浙教版）九年级数学上册《第4章 相似三角形》 4.1 比例线段 知识点一 比例的基本性质 ★1、比例的相关性质： （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc． ②合比性质．若，则． ③分比性质．若，则． ④合分比性质．若，则． ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则． ★2、比例中项：在 = 中，如果b＝c，即 = 那么b2＝ad，这时我们把b叫作a和d的比例中项. 知识点二 成比例线段 ★1、线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 【注意】 (1)线段的比是线段长度的比，是两条线段长度的比的运算结果，是一个没有单位的正数. (2)线段的比与所选线段的长度单位无关，在求两条线段的比时，要求两条线段的长度单位必须一致. ★2、四条线段成比例：对于四条线段a, b, c , d, 如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等.如 = (即 ad = b c).我们就说这四条线段成比例. ★3、判断四条线段是否成比例的方法: 首先统一单位，并把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值相等，则这四条线段成比例； (2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积相同，则这四条线段成比例. ★4、比例尺：图上距离与实际距离之比称作比例尺。 知识点三 黄金分割 ★1、黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 . 简记为： ★2、黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． ★3、黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 题型一 利用比例的基本性质判断式子变形 解题技巧提炼 本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 1．（2024秋•海港区校级月考）已知a：b＝4：5，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据a：b＝4：5，设a＝4k，b＝5k，计算判断即可． 【解答】解：∵a：b＝4：5， ∴设a＝4k，b＝5k， A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 2．（2024秋•南关区校级月考）已知，下列变形正确的是（　　） A．ab＝10 B．2a＝5b C． D．5a＝2b 【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：∵， ∴2a＝5b，只有B符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键． 3．（2024秋•武侯区校级月考）若，则下列等式错误的是（　　） A．4a＝3b B．a：4＝b：3 C． D． 【分析】根据设a＝3k，b＝4k再逐个判断即可． 【解答】解：∵， ∴设a＝3k，b＝4k，k≠0， ∴4a＝3b＝12k，故A选项结论正确，不符合题意； ，，故a：4≠b：3，故B选项结论正确，符合题意； ，故C选项结论正确，不符合题意； ，故D选项结论正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键． 4．（2023秋•岳阳期末）已知两非零实数x，y，且3x＝2y，则下列结论一定正确的是（　　） A．x＝2，y＝3 B． C． D． 【分析】根据已知条件得出，再根据比例的性质即可得出答案． 【解答】解：∵3x＝2y， ∴， ∴1． 故选：C． 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 5．（2023秋•鄂州月考）已知，下列等式错误的是（　　） A．ad＝bc B． C． D． 【分析】根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【解答】解：∵， ∴ad＝bc，，， ∴不成立， 故选：D． 【点评】本题考查了比例的性质，熟记并熟练应用等式的性质是解题的关键． 6．（2024秋•静安区校级月考）已知线段a、b、c、d、m，如果，m≠0，那么下列各式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例线段的定义以及性质解答即可． 【解答】解：A．∵， ∴b≠0，d≠0， ∵a，b，c，d是线段， ∴a＞0，b＞0，c＞0，d＞0， ∴， ∴，故选项符合题意； B．若a＝2c，b＝2d，满足．此时 ∵m≠0， ∴， ∴，故选项不符合题意； C．已知线段m，且 m≠0，所以 m＞0；当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即 ，故选项不符合题意； D．若a＝2c≠0，b＝2d，满足． 此时，故选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了比例的性质．比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积． 7．（2024春•栖霞市期末）已知两非零实数x，y，且3x＝2y，则下列结论一定正确的是（　　） A．x＝2，y＝3 B． C． D． 【分析】根据已知条件得出，再根据比例的性质即可得出答案． 【解答】解：∵3x＝2y， ∴， ∴1． 故选：C． 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 8．（2024春•烟台期末）已知，那么下列四个选项一定正确的是（　　） A．2a＝3b B．b﹣a＝1 C．2 D． 【分析】利用比例的性质对各选项进行判断． 【解答】解：， ∴3a＝2b，， ∴，， ∴2， 无法得到b﹣a＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了比的性质，熟练掌握比例的性质是解决此题的关键． 题型二 利用比例的基本性质求值 解题技巧提炼 利用比例的性质求代数式的值的方法 (1)代入法，用含有其中一个字母的代数式表示其他字母，然后代入求值； (2)参数法，即先根据比例式设出合适的参数，然后用含此参数的代数式表示出相应的字母，再代入求值. 1．（2024•兴宁市校级二模）如果，则（　　） A． B． C． D． 【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值． 【解答】解：∵， ∴． 故选：C． 【点评】此题考查了比例的基本性质．此题比较简单，注意熟记比例变形． 2．（2024春•招远市期末）已知，则的值为（　　） A． B．﹣19 C． D．19 【分析】先根据得5a＝3b，进而得a＝0.6b，然后将a＝0.6b代入之中进行计算即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴5a＝3b， ∴a＝0.6b， ∴． 故选：A． 【点评】此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决问题的关键． 3．（2023秋•甘州区校级期末）已知，且a+c＝6，则a﹣b的值是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【分析】设（k≠0），表示出a、b、c，根据a+c＝6，可求出k的值，即可求出a﹣b的值． 【解答】解：设（k≠0），则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵a+c＝6， ∴2k+4k＝6，即6k＝6， ∴k＝1， ∴a﹣b＝2k﹣3k＝2﹣3＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了比例的性质，根据题意设未知数，表示出a、b、c是解题的关键． 4．（2023秋•丹东期末）若0，则　 ． 【分析】根据已知比例关系，用未知量k分别表示出a、b和c的值，代入原式中，化简即可得到结果． 【解答】解：设k≠0， 则a＝2k，b＝3k，c＝4k， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 5．（2024秋•龙泉驿区校级月考）若a，b，c满足，且2a+b﹣c＝10，则a+b+c的值为 　 　． 【分析】根据，可设a＝3k，b＝4k，c＝5k，代入2a+b﹣c＝10求出k的值，进而确定出a、b、c的值，再代入代数式计算即可求解． 【解答】解：∵a，b，c满足， 设k， ∴a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∵2a+b﹣c＝10， ∴6k+4k﹣5k＝10， ∴k＝2， ∴a＝6，b＝8，c＝10， ∴a+b+c＝24， 故答案为：24． 【点评】此题考查了比例的性质，代数式求值，掌握比例假设出未知数是解题的关键． 6．（2023秋•昭平县期末）已知a：b：c＝1：2：3，且3a+2b﹣c＝8，求a，b，c的值． 【分析】设a＝k，b＝2k，c＝3k，代入求出k，即可求出答案． 【解答】解：由a：b：c＝1：2：3，可设a＝k、b＝2k、c＝3k， ∵3a+2b﹣c＝8， ∴3k+2×2k﹣3k＝8， ∴3k+4k﹣3k＝8， ∴4k＝8， ∴k＝6， ∴a＝k＝6，b＝2k＝12，c＝3k＝18． 【点评】本题考查了比例的性质的应用，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来． 7．（2023秋•金凤区校级期中）若x+y+z＝30，且，求x2+y2+z2的值． 【分析】设k，利用比例的性质得到x＝2k，y＝5k，z＝8k，所以2k+5k+8k＝30，则可求出k得到x、y、z的值，然后计算所求的代数式的值． 【解答】解：设，则x＝2k，y＝5k，z＝8k， ∵x+y+z＝30， ∴2k+5k+8k＝30， 解得k＝2， ∴x＝4，y＝10，z＝16， ∴x2+y2+z2＝42+102+162＝372． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键． 8．（2023秋•西湖区校级期中）求值： （1）已知，求的值； （2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值． 【分析】（1）利用设k法进行计算，即可解答； （2）利用设k法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵， ∴设b＝2k，a＝3k， ∴； （2）设k， ∴a＝2k，b＝4k，c＝5k， ∵a+b+c＝22， ∴2k+4k+5k＝22， 解得：k＝2， ∴a＝4，b＝8，c＝10， ∴3a﹣b+2c＝12﹣8+20＝4+20＝24． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 9．（2024春•六盘水期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵， ∴a＝bk，c＝dk，e＝fk（第一步）， ∴第二步）． （1）解题过程中第一步应用了 　 的基本性质；在第二步解题过程中，应用了 　 　的基本性质； （2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则　 　； ②已知，求的值． 【分析】（1）根据题意，利用等比和合比的基本性质解答即可； （2）根据题意可知，，由此得出2a＝10，b＝12，c＝14，所以可得2a+b+c＝10+12+14＝36，进而得出答案； （3）由题意可设，由此得出x＝3k，y＝4k，z＝5k，所以得出x﹣y+z＝3k﹣4y+5k＝4k，x+2y﹣3z＝3k+8k﹣15k＝﹣4k，进而得出答案． 【解答】解：（1）根据题意可知，解题过程在第一步中应用了等比的基本性质，在第二步解题过程中应用了合比的基本性质； 故答案为：等比；合比． （2）∵2， ∴2a＝10，b＝12，c＝14， ∴． 故答案为：2． （3）设， 则x＝3k，y＝4k，z＝5k， ∴． 【点评】本题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握比例的基本性质，等式的基本性质是解题的关键． 题型三 利用比例的基本性质求参 解题技巧提炼 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 1．（2023秋•榆阳区校级月考）已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣2或+1 D．﹣1或+2 【分析】讨论：当a+b+c＝0，即a+b＝﹣c，利用分式的性质和得到k＝﹣1；当a+b+c≠0时，利用等比性质得到k，然后约分得到k的值． 【解答】解：当a+b+c＝0，即a+b＝﹣c， 所以k1； 当a+b+c≠0时， 所以k2， 综上所述，k的值为﹣1或2． 故选：D． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 2．（2023秋•靖西市期中）如果k（b+d+f≠0），且a+c+e＝3（b+d+f）．求k的值． 【分析】根据等比性质，可得答案． 【解答】解：∵a+c+e＝3（b+d+f）， ∴k3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 3．（2023秋•临平区月考）已知，线段a，b，c，且． （1）求的值． （2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值． 【分析】（1）根据比例的性质得出，即可得出的值； （2）根据k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，利用a+b+c＝27求出k的值即可得出答案． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴， （2）设k， 则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵a+b+c＝27， ∴2k+3k+4k＝27， ∴k＝3． 【点评】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝2k，b＝3k，c＝4k进而得出k的值是解题关键． 4．（2023秋•藤县校级月考）如果k（b+d+f≠0），且a+c+e＝5（b+d+f），求k的值． 【分析】根据已知条件得出a＝bk，c＝dk，e＝fk，再根据a+c+e＝5（b+d+f），得出bk+dk+fk＝5（b+d+f），即可得出k的值． 【解答】解：∵k（b+d+f≠0）， ∴a＝bk，c＝dk，e＝fk， ∵a+c+e＝5（b+d+f）， ∴bk+dk+fk＝5（b+d+f）， ∴k＝5． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 5．（2023秋•临湘市期中）若，且3a﹣b+2c＝22．试求a：b：c． 【分析】设k，得出a＝4k﹣2，b＝5k，c＝6k﹣5，根据3a﹣b+2c＝22，求出k的值，从而得出a，b，c，最后进行相比即可得出答案． 【解答】解：设k，则a＝4k﹣2，b＝5k，c＝6k﹣5， ∵3a﹣b+2c＝22， ∴3（4k﹣2）﹣5k+2（6k﹣5）＝22， 解得k＝2， ∴a＝8﹣2＝6，b＝10，c＝7， ∴a：b：c＝6：10：7． 【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出a、b、c可以使计算更加简便． 6．（2023春•文登区期中）已知k，求k2﹣3k﹣4的值． 【分析】根据等比性质得出k，再分两种情况进行讨论，当a+b+c+d≠0时和a+b+c+d＝0时，分别求出k的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【解答】解：∵k， ∴由等比性质可得：k， 当a+b+c+d≠0时，k， 当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a， ∴k2， ∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣34或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6． 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 题型四 成比例线段的概念 解题技巧提炼 首先统一单位，并把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值相等，则这四条线段成比例； (2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积相同，则这四条线段成比例. 1．（2024秋•宛城区月考）下列各组线段中是成比例线段的是（　　） A．3cm，6cm，7cm，9cm B．2cm，5cm，0.6cm，8cm C．3cm，9cm，6cm，18cm D．1cm，2cm，3.5cm，4cm 【分析】根据线段成比例，进行即可比较即可求解． 【解答】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，线段成比例，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了线段成比例的运用，掌握线段成比例的计算方法是解题的关键． 2．（2024秋•未央区校级月考）下列四组线段是成比例线段的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，6cm C．5cm，6cm，7cm，8cm D．7cm，8cm，9cm，10cm 【分析】根据最大线段×最小线段＝其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，据此进行逐项分析，即可作答． 【解答】解：A、1×4≠2×3，可知这些线段不是成比例线段，故该选项不符合题意； B、2×6＝3×4，可知这些线段是成比例线段，故该选项符合题意； C、5×8≠6×7，可知这些线段不是成比例线段，故该选项不符合题意； D、7×10≠8×9，可知这些线段不是成比例线段，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了比例线段，理解定义是解题的关键． 3．（2024秋•武侯区校级月考）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（　　） A．1cm B．4cm C．2cm D．9cm 【分析】利用比例线段的定理得到3：2＝6：d，然后利用比例的性质求d即可． 【解答】解：根据题意得a：b＝c：d，即3：2＝6：d， 所以d4（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 4．（2024秋•光明区校级月考）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝6cm，c＝4cm，则线段d的长可能为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm 【分析】根据成比例线段的定义得到ad＝bc，据此代值计算判断即可． 【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，a＝3cm，b＝6cm，c＝4cm， ∴ad＝bc， ∴． 故选：D． 【点评】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到ad＝bc是解题的关键． 5．（2024秋•虹口区校级月考）下列各组线段中，能够组成比例的是（　　） A．a＝2，，c＝3，d＝6 B．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8 C．a＝1，，c＝2， D．a＝100，b＝20，c＝4，d＝1 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解答】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； B、2×8≠6×4，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； C、，故此选项中四条线段成比例，符合题意； D、100×1≠4×20，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 6．（2023秋•银海区期中）下列四条线段中，不能成比例的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6 B．a＝1，，， C．a＝4，b＝5，c＝6，d＝10 D．a＝1，b＝2，， 【分析】由a＝2，b＝3，c＝4，d＝6，可求得，则四条线段a、b、c、d是成比例线段，可判断A不符合题意；由a＝1，b，c，d，可求得，则四条线段a、b、c、d是成比例线段，可判断B不符合题意；由a＝4，b＝5，c＝6，d＝10，可求得，，则四条线段a、b、c、d不是成比例线段，可判断C符合题意；由a＝1，b＝2，c，d＝2，可求得，则四条线段a、b、c、d是成比例线段，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵，， ∴， ∴四条线段a、b、c、d是成比例线段， 故A不符合题意； ∵，， ∴， ∴四条线段a、b、c、d是成比例线段， 故B不符合题意； ∵，， ∴， ∴四条线段a、b、c、d不是成比例线段， 故C符合题意； ∵，， ∴， ∴四条线段a、b、c、d是成比例线段， 故D不符合题意， 故选：C． 【点评】此题重点考查两条线段的比、成比例线段等知识，将四条线段从小到大排列，再求出前面两条线段的比及后面两条线段的比，看这两个比是否相等，即可判断这四条线段是否成比例． 7．（2023秋•射洪市期末）已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，c＝6cm，d＝9cm，则线段a的长度为（　　） A．8cm B．2cm C．4cm D．1cm 【分析】根据成比例线段的定义得到a：3＝6：9，然后利用比例的性质求a的值． 【解答】解：∵四条线段a、b、c、d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， 即a：3＝6：9， ∴a＝2（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查线段成比例的问题，根据线段成比例的性质，列方程求解即可． 8．（2023秋•鼓楼区校级月考）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说两条线段的比AB：CD＝m：n，如果把表示成比值k，那么k或AB＝k•CD．请完成以下问题： （1）四条线段a，b，c，d中，如果 　 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段． （2）已知，那么成立吗？请说明理由． （3）如果m，求m的值． 【分析】（1）根据成比例线段的定义作答； （2）利用等式的性质两边减去1即可证明； （3）可分x+y+z＝0和x+y+z≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解． 【解答】解：（1）四条线段a，b，c，d中，如果a：b＝c：d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段． 故答案为：a：b＝c：d； （2）如果，那么成立． 理由：∵， ∴11，即， ∴； （3）①当x+y+z＝0时， y+z＝﹣x，z+x＝y，x+y＝﹣z， ∴m为其中任何一个比值，即m1； ②x+y+z≠0时， m2． 所以m＝2或﹣1． 【点评】本题考查比例线段，解题的关键是掌握比例线段的性质，灵活运用所学知识解决问题． 题型五 比例中项的应用 解题技巧提炼 比例中项：在 = 中，如果b＝c，即 = 那么b2＝ad，这时我们把b叫作a和d的比例中项. 1．（2023秋•槐荫区期末）已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，c＝6cm，d＝9cm，则线段a的长度为（　　） A．8cm B．2cm C．4cm D．1cm 【分析】根据成比例线段的定义得到a：3＝6：9，然后利用比例的性质求a的值． 【解答】解：∵四条线段a、b、c、d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， 即a：3＝6：9， ∴a＝2（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查线段成比例的问题，根据线段成比例的性质，列方程求解即可． 2．（2023秋•杭州期中）已知线段a＝4，b＝6，则线段a，b的比例中项为（　　） A． B． C．或 D． 【分析】满足的x即为a、b的比例中项，根据定义有x2＝a•b，即可解答． 【解答】解：设线段a，b的比例中项为x， ∵a＝4，b＝6， ∴x2＝4×6＝24， ∴． ∵a、b为线段， ∴线段a，b的比例中项为正值， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了比例线段的概念，掌握比例中项的概念，并注意线段的比例中项仍是线段是解题的关键． 3．（2024秋•虹口区校级月考）已知三条线段a、b、c，线段a＝2cm，线段c＝3cm，且线段b是线段a、c的比例中项，则线段b＝　 　cm． 【分析】由线段b是线段a、c的比例中项得b2＝ac，将a，c的值代入即可求解． 【解答】解：∵线段b是线段a、c的比例中项， ∴， ∴b2＝ac＝2×3＝6， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例中项的概念，掌握基本概念，列出等量关系是解题的关键． 4．（2024秋•静安区校级月考）线段AB是线段MN、CD的比例中项，且AB＝3cm，MN＝4cm，则CD长为　 ． 【分析】根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积解答即可． 【解答】解：∵线段AB是线段MN、CD的比例中项， ∴AB2＝MN•CD， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键． 5．（2023秋•亭湖区校级期中）已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝28． （1）求a、b的值． （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【分析】（1）利用a：b＝3：2，可设a＝3k，b＝2k，则3k+4k＝28，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到x2＝ab，即x2＝96，然后根据算术平方根的定义求解． 【解答】解：（1）∵a：b＝3：2 ∴设a＝3k，b＝2k， ∵a+2b＝28， ∴3k+4k＝28， ∴k＝4， ∴a＝12，b＝8； （2）∵x是a：b的比例中项， ∴x2＝ab＝96， ∵x是线段，x＞0， ∴x＝4． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． 6．（2024秋•诸暨市校级月考）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． （1）若a＝4cm，b＝9cm，c是a，b的比例中项线段，求c的长； （2）若，a+b+c＝48，求a，b，c的长． 【分析】（1）根据比例中项的定义列式得到c2＝ab，即c2＝36，即可得出答案； （2）设k，然后用k表示出a、b、c，再代入a+b+c＝48，求解得到k，即可得到a、b、c的值． 【解答】解：（1）∵c是a，b的比例中项线段， ∴c2＝ab＝4×9＝36， ∴c＝±6， ∵c＞0， ∴c的长是6cm； （2）设k， ∴a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∴a+b+c＝3k+4k+5k＝48， 解得k＝4， ∴a＝12，b＝16，c＝20． 【点评】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 7．已知线段a，b满足，且a+b＝14． （1）求a，b，c的值． （2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x． 【分析】（1）首先设k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，利用a+b＝14求出k的值即可得出答案； （2）根据比例中项的定义得到x2＝bc，即x2＝80，然后根据算术平方根的定义求解． 【解答】解：（1）设k， 则a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∵a+b＝14， ∴3k+4k＝14， ∴k＝2， ∴a＝6，b＝8，c＝10． （2）∵线段x是线段b，c的比例中项， ∴x2＝bc， ∴x2＝8×10＝80， ∴x＝4或x＝﹣4（舍去）， 即x的值为4． 【点评】此题主要考查了比例线段，根据已知得出a＝3k，b＝4k，c＝5k进而得出k的值是解题关键． 8．（2023秋•宁海县校级月考）已知三条线段a，b，c满足，且a+b+c＝18． （1）求a，b，c的值； （2）若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 【分析】（1）设k，然后用k表示出a、b、c，再代入a+b+c＝18，求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到d2＝ab，即d2＝4×6，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段d的长． 【解答】解：（1）设k， 则a＝3k，b＝2k，c＝4k， ∵a+b+c＝18， ∴3k+2k+4k＝18， 解得k＝2， ∴a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝4×2＝8； （2）∵线段d是线段a和b的比例中项， ∴d2＝ab＝6×4＝24， ∴d＝2或d＝﹣2（舍去）， ∴d的值为2． 【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． 题型六 运用比例尺解题 解题技巧提炼 比例尺：图上距离与实际距离之比称作比例尺. 1．（2023秋•东台市期末）甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是（　　） A．1：200 B．1：20000 C．20000：1 D．1：4000 【分析】先把1600米化成160000厘米，再根据比例尺的定义求出答案即可． 【解答】解：∵1600米＝160000厘米， ∴这幅地图的比例尺是8：160000＝1：20000， 故选：B． 【点评】本题考查比例尺的定义，正确理解比例定义是解题关键． 2．（2024•冠县校级开学）在比例尺是1：500的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是（　　）平方米． A．20平方米 B．500平方米 C．5000平方米 D．500000平方米 【分析】根据比例尺分别求得实际的长和宽，然后利用长方形的面积公式求解即可． 【解答】解：∵比例尺是1：500，长方形的土地长5厘米，宽4厘米， ∴实际长为52500厘米＝25米， 宽为42000厘米＝20米， ∴实际面积为25×20＝500平方米， 故选：B． 【点评】此题考查了比例线段的知识，解题的关键是能够求得实际距离，难度不大． 3．（2023秋•邱县期末）某两地的实际距离为6千米，画在地图上的距离是20厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（　　） A．1：300 B．1：3000 C．1：30000 D．1：300000 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，直接求出即可． 【解答】解：6千米＝600000厘米， ∴比例尺＝20：600000＝1：30000． 故选：C． 【点评】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一． 4．（2023秋•唐山月考）在一幅地图上，用20厘米的线段表示30千米的实际距离，那么这幅地图的比例尺是（　　） A．1：1500 B．1：15000 C．1：150000 D．1：1500000 【分析】根据比例尺的意义求解即可． 【解答】解：30千米＝3000000厘米， 20：3000000＝1：150000． 所以这幅地图的比例尺是1：150000． 故选：C． 【点评】本题考查了比例线段，掌握比例尺＝图上距离：实际距离是解题的关键．注意单位要统一． 5．（2023秋•桥西区月考）在比例尺是1：1000的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，则这块土地的实际面积是（　　） A．200平方米 B．500平方米 C．2000平方米 D．20000平方米 【分析】根据比例尺分别求得实际的长和宽，然后利用长方形的面积公式求解即可． 【解答】解：∵比例尺是1：1000，长方形的土地长5厘米，宽4厘米， ∴实际长为55000（厘米）＝50（米）， 宽为44000（厘米）＝40（米）， ∴实际面积为50×40＝2000（平方米）， 故选：C． 【点评】此题考查了比例线段的知识，解题的关键是能够求得实际距离，难度不大． 6．（2023秋•双流区校级月考）在比例尺是1：4000的成都市城区地图上，位于锦江区的九眼桥的长度约为3cm，它的实际长度用科学记数法表示为（　　） A．12×103cm B．1.2×102m C．1.2×104m D．0.12×105cm 【分析】先根据比例尺的定义表示出实际的长度是：3×4000cm，再统一单位，然后用科学记数法表示即可． 【解答】解：3×4000＝12000（cm） 12000cm＝1.2×104cm 12000cm＝120m＝1.2×102m． 故选：B． 【点评】此题考查了比例线段的定义及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．此题难度不大，解题的关键是根据比例尺的定义表示出实际的长度，注意统一单位． 7．（2023秋•宝山区期末）在一张比例尺1：800000的地图上，量得上海浦东磁悬浮的线路长度为4厘米，那么它的实际长度是 　 千米． 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离列出算式，再进行计算即可得出答案． 【解答】解：它的实际长度是：43200000（厘米）＝32（千米）． 故答案为：32． 【点评】此题考查了比例线段，熟练掌握图上距离、比例尺和实际距离三者之间的关系是解题的关键． 8．（2023秋•双流区期末）在比例尺为1：1000000的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是　 　千米． 【分析】根据比例尺的定义可知，实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算即可． 【解答】解：∵在比例尺为1：1000000的地图上甲地到乙地的距离是5厘米， ∴甲乙两地的实际距离是：55000000厘米＝50千米． 故答案为50． 【点评】本题考查了比例线段，掌握比例尺是图上距离与实际距离的比值是解题的关键，注意单位之间的换算． 题型七 黄金分割点的定义 解题技巧提炼 黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 . 简记为： 1．（2023秋•肥东县期末）如图，C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，则下列结论中正确的 是（　　） A．AC2+BC2＝AB2 B．BC≈0.618AB C． D．BC：AC＝AC：AB 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC， ∴0.618， ∴AC2＝AB•BC，BC≈0.618AC，ACAB， 故选：D． 【点评】本题考查了黄金分割，勾股定理，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 2．（2023秋•长宁区期末）已知点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，那么下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB， ∴点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 3．（2023秋•青羊区期末）如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝6，则AD的长是（　　） A．3 B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【解答】解：∵点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝6， ∴ADAB6＝33， 故选：D． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 4．（2024秋•浦东新区校级月考）已知AP＝2，点P是线段AB的黄金分割点且（AP＜BP），则AB长为 　 　 ． 【分析】根据黄金分割的定义得出，则，即可解决问题． 【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP， ∴， ∴， ∵AP＝2， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 5．（2023秋•船山区期末）已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＜PB），则PB：AB的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据黄金比是求出AP的长，即可得出答案． 【解答】解：∵点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＜PB）， ∴PBAB， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的比值是解题的关键，其中PBAB． 6．（2023秋•莲池区期末）已知线段AB的长度为2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（　　） A． B． C．1或3 D．或2 【分析】分两种情况讨论：当AC＞BC和AC＜BC两种情况． 【解答】解：∵线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点， ∴当AC＞BC时，ACAB1， 当AC＜BC时，BCAB1， ∴AC＝AB﹣BC＝2﹣（1）＝3． 故答案为：1或3． 故选：C． 【点评】本题考查了黄金分割点的定义，熟记黄金分割的定义是解题关键． 7．（2024•凉州区二模）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）． （1）求线段AP的长； （2）以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的长． 【分析】（1）依据题意，根据黄金比值计算即可得解； （2）依据题意，由若QP平分∠AQB，可得P到AQ、BQ的距离相等，从而，又由（1）AP＝BQ＝3，再结合AB＝2，即可得解． 【解答】解：（1）∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP， ∴APAB2． （2）∵QP平分∠AQB， ∴P到AQ、BQ的距离相等． ∴． 又由（1）AP＝BQ1， ∵AB＝2， ∴PB＝AB﹣AP＝2﹣（1）＝3． ∴AQ2． 【点评】本题主要考查了黄金分割的意义，解题时要熟练掌握并灵活运用． 8．（2023秋•金安区校级期中）已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底边与腰的比值为黄金分割比）．如图，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，已知AB＝1，求DE的长度． 【分析】由黄金三角形的定义得出AD＝BD＝BC，DE＝CD，BCAC，CDBC，即可求解． 【解答】解：∵△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形， ∴AC＝AB＝1，AD＝BD＝BC，DE＝CD，BCAC，CD， ∴CDBC＝（）2， ∴DE． 【点评】本题考查了黄金三角形，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 题型八 黄金分割点的应用 解题技巧提炼 黄金分割点的应用主要是利用黄金分割的定义以及相似三角形的的性质和其它图形的性质来解决问题. 1．（2023秋•湘潭期末）大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，AB＝10cm，则AP的长约为（　　）cm． A．0.618 B．6.18 C．3.82 D．0.382 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm， ∴APAB≈0.618AB＝0.618×10＝6.18cm， 故选：B． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 2．（2023•临安区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，点P在BC边上，若AP是∠BAC的三等分线，则BP的长度为（　　） A．或5 B． C．1或2 D．或2 【分析】根据已知条件得出∠B＝∠C＝36°，再根据AP是∠BAC的三等分线，求出∠BAP的度数与AC＝PC＝2，再根据AA证出△BAP∽△BCA，，从而得出，最后代值计算即可得出答案． 【解答】解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝108°， ∴∠B＝∠C＝36°， ∵AP是∠BAC的三等分线， ∴∠BAP＝36°，∠CAP＝72°， ∴∠CPA＝72°， ∴AC＝PC＝2， 在△BAP与△BCA中， ， ∴△BAP∽△BCA， ∴， ∴， ∴BP2+2BP﹣4＝0， ∴BP1或2（舍去）． 当∠BAP＝72°，∠CAP＝36°时， AB＝PB＝2， 故选C． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及黄金分割，掌握相似三角形的判断以及等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2024•山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2cm，则BC的长为 　 　cm（结果保留根号）． 【分析】根据题意可得出四边形ANPB是矩形，进而得出AB的长，再根据BC与AB的比值即可解决问题． 【解答】解：∵四边形MNPQ是正方形， ∴∠N＝∠P＝90°， 又∵AB∥NP， ∴∠BAN+∠N＝180°， ∴∠BAN＝90°， ∴四边形ABPN是矩形， ∴AB＝NP＝2cm． 又∵， ∴BC＝（）cm． 故答案为：（）． 【点评】本题主要考查了黄金分割及平行线的性质，熟知黄金分割的定义及平行线的性质是解题的关键． 4．（2024•宝鸡二模）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 　 　． 【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解． 【解答】解：弦AB＝80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC＝x，则AC＝80﹣x， ∴，解方程得，， 点D是靠近点A的黄金分割点，设AD＝y，则BD＝80﹣y， ∴，解方程得，， ∴C，D之间的距离为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键． 5．（2024秋•虹口区校级月考）如图，点E是正方形ABCD边AD上的一点（E与A不重合），将线段BE绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在DA的延长线上的F处，并作正方形AFGH，若H是线段AB的一个黄金分割点，且AH＞BH，则AE：AB的值是 　 　． 【分析】根据旋转的性质得到BF＝BE，再得到AF＝AE，从而得到AE＝AH，即可得到答案． 【解答】解：如图所示， 根据旋转的性质得BF＝BE， ∵AB⊥EF， ∴AF＝AE， ∵H是线段AB的一个黄金分割点，且AH＞BH， ∴， ∵正方形AFGH， ∴AE＝AH， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查旋转的性质、正方形的性质和黄金分割点的相关知识，掌握旋转的性质是关键． 6．（2024春•长沙期中）黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． （1）求该矩形画框的宽； （2）生产画框所用的材料单价为0.02元/cm2，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 【分析】（1）根据宽与长的比值等于黄金分割比即可解决问题． （2）求出矩形画框的面积即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 因为矩形画框的宽与长的比值等于黄金分割比，且长为（）厘米， 所以矩形画框的宽为：20（厘米）． （2）矩形画框的面积为：20×（）（平方厘米）， 所以矩形画框的材料成本为：0.02×（）（元）． 【点评】本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 7．（2023秋•上城区校级期中）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，使PF＝PD，在AB的延长线上取点F，使PF以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上． （1）AM，DM的长分别为 　 　，　 　． （2）M是AD的黄金分割点吗？请说明理由． 【分析】（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又AF＝PF﹣AP，PF＝PD，则AM＝AF1，DM＝AD﹣AM＝3； （2）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点． 【解答】解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD， ∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP1， DM＝AD﹣AM＝3． 故AM的长为1，DM的长为3； 故答案为：1，3； （2）结论：点M是AD的黄金分割点． 由于， ∴点M是AD的黄金分割点． 【点评】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断． 8．（2023秋•汉川市期中）古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一短线段（比如AC）与另一长线段（比如BC）之比，如果正好等于另一长线段（比如BC）同整个线段（AB）的比（即BC2＝AC•AB），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”． 在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长为20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取1.4，1.7，2.2） 【分析】首先设主持人从A点到B点走x米的C点时最为得体，则AC＝x米，BC＝AB﹣AC＝（20﹣x）米，依题意得点C为线段AB的黄金分割点，此时有以下两种情况：①当BC2＝AC•AB时，则（20﹣x）2＝20x，由此解出x即可；②当AC2＝BC•AB时，则x2＝20（20﹣x），由此解出x即可．综上所述即可得出答案． 【解答】解：设主持人从A点到B点走x米的C点时，最为得体． 则AC＝x米，BC＝AB﹣AC＝（20﹣x）米， 依题意得：点C为线段AB的黄金分割点， ∴有以下两种情况： ①当BC2＝AC•AB时， ∴（20﹣x）2＝20x， 整理得：x2﹣60x+400＝0， 解得x1＝30﹣10，x2＝30+10（不合题意，舍去）， 当2.2时，x＝30﹣1030﹣10×2.2＝8， ∴此时主持人从A点到B点走8米，最为得体． ②当AC2＝BC•AB时， ∴x2＝20（20﹣x）， 整理得：x2+20x﹣400＝0， 解得x1＝1010，x2＝10+10（不合题意，舍去）， 当2.2时，x＝10+1010×2.2﹣10＝12， ∴此时主持人从A点到B点走12米，最为得体． 综上所述，主持人从A点到B点走8m或12m时他的站台最得体， 答：主持人从A点到B点走8米或12米时他的站台最得体． 【点评】此题主要考查了黄金分割的实际应用，理解题意，熟练掌握黄金分割的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 9．（2023秋•海淀区校级期中）如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”． （1）填空：等边三角形 　 　（填“存在”或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角 形 　 　（填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”． （2）在△ABC中，∠A＝30°，∠B为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出∠B的所有可能 　 　． 【分析】（2）根据“分割线”和“黄金分割线”判断即可得出结论； （3）分三种情况分别画图可得∠B的度数． 【解答】解：（1）等边三角形不存在“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”，如图所示， 故答案为：不存在，存在； （2）如图，AD＝AB，DB＝DC， 则∠ADB＝∠ABD＝75°， ∴∠C＝37.5°， ∴∠ABC＝180°﹣30°﹣37.5°＝112.5°； 如图，AB＝BD，BD＝CD， ∴∠A＝∠ADB＝30°，∠C＝∠CBD＝15°， ∴∠ABD＝120°， ∴∠ABC＝120°+15°＝135°； 如图，AB＝BD，AD＝CD， ∴∠BAD＝∠ADB，∠C＝∠DAC， ∵∠DAC+∠BAD＝30°， ∴∠BAD＝20°， ∴∠B＝180°﹣20°﹣20°＝140°； 综上，写出∠ABC的所有可能的角是：112.5°或135°或140°． 故答案为：112.5°或135°或140°． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的“分割线”，三角形的“黄金分割线”的定义等知识，理解新定义，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）九年级数学上册《第4章 相似三角形》 4.1 比例线段 知识点一 比例的基本性质 ★1、比例的相关性质： （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc． ②合比性质．若，则． ③分比性质．若，则． ④合分比性质．若，则． ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则． ★2、比例中项：在 = 中，如果b＝c，即 = 那么b2＝ad，这时我们把b叫作a和d的比例中项. 知识点二 成比例线段 ★1、线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 【注意】 (1)线段的比是线段长度的比，是两条线段长度的比的运算结果，是一个没有单位的正数. (2)线段的比与所选线段的长度单位无关，在求两条线段的比时，要求两条线段的长度单位必须一致. ★2、四条线段成比例：对于四条线段a, b, c , d, 如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等.如 = (即 ad = b c).我们就说这四条线段成比例. ★3、判断四条线段是否成比例的方法: 首先统一单位，并把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值相等，则这四条线段成比例； (2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积相同，则这四条线段成比例. ★4、比例尺：图上距离与实际距离之比称作比例尺。 知识点三 黄金分割 ★1、黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 . 简记为： ★2、黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． ★3、黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 题型一 利用比例的基本性质判断式子变形 解题技巧提炼 本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 1．（2024秋•海港区校级月考）已知a：b＝4：5，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•南关区校级月考）已知，下列变形正确的是（　　） A．ab＝10 B．2a＝5b C． D．5a＝2b 3．（2024秋•武侯区校级月考）若，则下列等式错误的是（　　） A．4a＝3b B．a：4＝b：3 C． D． 4．（2023秋•岳阳期末）已知两非零实数x，y，且3x＝2y，则下列结论一定正确的是（　　） A．x＝2，y＝3 B． C． D． 5．（2023秋•鄂州月考）已知，下列等式错误的是（　　） A．ad＝bc B． C． D． 6．（2024秋•静安区校级月考）已知线段a、b、c、d、m，如果，m≠0，那么下列各式中成立的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024春•栖霞市期末）已知两非零实数x，y，且3x＝2y，则下列结论一定正确的是（　　） A．x＝2，y＝3 B． C． D． 8．（2024春•烟台期末）已知，那么下列四个选项一定正确的是（　　） A．2a＝3b B．b﹣a＝1 C．2 D． 题型二 利用比例的基本性质求值 解题技巧提炼 利用比例的性质求代数式的值的方法 (1)代入法，用含有其中一个字母的代数式表示其他字母，然后代入求值； (2)参数法，即先根据比例式设出合适的参数，然后用含此参数的代数式表示出相应的字母，再代入求值. 1．（2024•兴宁市校级二模）如果，则（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•招远市期末）已知，则的值为（　　） A． B．﹣19 C． D．19 3．（2023秋•甘州区校级期末）已知，且a+c＝6，则a﹣b的值是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 4．（2023秋•丹东期末）若0，则　 ． 5．（2024秋•龙泉驿区校级月考）若a，b，c满足，且2a+b﹣c＝10，则a+b+c的值为 　 　． 6．（2023秋•昭平县期末）已知a：b：c＝1：2：3，且3a+2b﹣c＝8，求a，b，c的值． 7．（2023秋•金凤区校级期中）若x+y+z＝30，且，求x2+y2+z2的值． 8．（2023秋•西湖区校级期中）求值： （1）已知，求的值； （2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值． 9．（2024春•六盘水期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵， ∴a＝bk，c＝dk，e＝fk（第一步）， ∴第二步）． （1）解题过程中第一步应用了 　 的基本性质；在第二步解题过程中，应用了 　 　的基本性质； （2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则　 　； ②已知，求的值． 题型三 利用比例的基本性质求参 解题技巧提炼 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 1．（2023秋•榆阳区校级月考）已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣2或+1 D．﹣1或+2 2．（2023秋•靖西市期中）如果k（b+d+f≠0），且a+c+e＝3（b+d+f）．求k的值． 3．（2023秋•临平区月考）已知，线段a，b，c，且． （1）求的值． （2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值． 4．（2023秋•藤县校级月考）如果k（b+d+f≠0），且a+c+e＝5（b+d+f），求k的值． 5．（2023秋•临湘市期中）若，且3a﹣b+2c＝22．试求a：b：c． 6．（2023春•文登区期中）已知k，求k2﹣3k﹣4的值． 题型四 成比例线段的概念 解题技巧提炼 首先统一单位，并把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值相等，则这四条线段成比例； (2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积相同，则这四条线段成比例. 1．（2024秋•宛城区月考）下列各组线段中是成比例线段的是（　　） A．3cm，6cm，7cm，9cm B．2cm，5cm，0.6cm，8cm C．3cm，9cm，6cm，18cm D．1cm，2cm，3.5cm，4cm 2．（2024秋•未央区校级月考）下列四组线段是成比例线段的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，6cm C．5cm，6cm，7cm，8cm D．7cm，8cm，9cm，10cm 3．（2024秋•武侯区校级月考）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（　　） A．1cm B．4cm C．2cm D．9cm 4．（2024秋•光明区校级月考）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝6cm，c＝4cm，则线段d的长可能为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm 5．（2024秋•虹口区校级月考）下列各组线段中，能够组成比例的是（　　） A．a＝2，，c＝3，d＝6 B．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8 C．a＝1，，c＝2， D．a＝100，b＝20，c＝4，d＝1 6．（2023秋•银海区期中）下列四条线段中，不能成比例的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6 B．a＝1，，， C．a＝4，b＝5，c＝6，d＝10 D．a＝1，b＝2，， 7．（2023秋•射洪市期末）已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，c＝6cm，d＝9cm，则线段a的长度为（　　） A．8cm B．2cm C．4cm D．1cm 8．（2023秋•鼓楼区校级月考）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说两条线段的比AB：CD＝m：n，如果把表示成比值k，那么k或AB＝k•CD．请完成以下问题： （1）四条线段a，b，c，d中，如果 　 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段． （2）已知，那么成立吗？请说明理由． （3）如果m，求m的值． 题型五 比例中项的应用 解题技巧提炼 比例中项：在 = 中，如果b＝c，即 = 那么b2＝ad，这时我们把b叫作a和d的比例中项. 1．（2023秋•槐荫区期末）已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，c＝6cm，d＝9cm，则线段a的长度为（　　） A．8cm B．2cm C．4cm D．1cm 2．（2023秋•杭州期中）已知线段a＝4，b＝6，则线段a，b的比例中项为（　　） A． B． C．或 D． 3．（2024秋•虹口区校级月考）已知三条线段a、b、c，线段a＝2cm，线段c＝3cm，且线段b是线段a、c的比例中项，则线段b＝　 　cm． 4．（2024秋•静安区校级月考）线段AB是线段MN、CD的比例中项，且AB＝3cm，MN＝4cm，则CD长为　 ． 5．（2023秋•亭湖区校级期中）已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝28． （1）求a、b的值． （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 6．（2024秋•诸暨市校级月考）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． （1）若a＝4cm，b＝9cm，c是a，b的比例中项线段，求c的长； （2）若，a+b+c＝48，求a，b，c的长． 7．已知线段a，b满足，且a+b＝14． （1）求a，b，c的值． （2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x． 8．（2023秋•宁海县校级月考）已知三条线段a，b，c满足，且a+b+c＝18． （1）求a，b，c的值； （2）若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 题型六 运用比例尺解题 解题技巧提炼 比例尺：图上距离与实际距离之比称作比例尺. 1．（2023秋•东台市期末）甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是（　　） A．1：200 B．1：20000 C．20000：1 D．1：4000 2．（2024•冠县校级开学）在比例尺是1：500的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是（　　）平方米． A．20平方米 B．500平方米 C．5000平方米 D．500000平方米 3．（2023秋•邱县期末）某两地的实际距离为6千米，画在地图上的距离是20厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（　　） A．1：300 B．1：3000 C．1：30000 D．1：300000 4．（2023秋•唐山月考）在一幅地图上，用20厘米的线段表示30千米的实际距离，那么这幅地图的比例尺是（　　） A．1：1500 B．1：15000 C．1：150000 D．1：1500000 5．（2023秋•桥西区月考）在比例尺是1：1000的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，则这块土地的实际面积是（　　） A．200平方米 B．500平方米 C．2000平方米 D．20000平方米 6．（2023秋•双流区校级月考）在比例尺是1：4000的成都市城区地图上，位于锦江区的九眼桥的长度约为3cm，它的实际长度用科学记数法表示为（　　） A．12×103cm B．1.2×102m C．1.2×104m D．0.12×105cm 7．（2023秋•宝山区期末）在一张比例尺1：800000的地图上，量得上海浦东磁悬浮的线路长度为4厘米，那么它的实际长度是 　 千米． 8．（2023秋•双流区期末）在比例尺为1：1000000的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是　 　千米． 题型七 黄金分割点的定义 解题技巧提炼 黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 . 简记为： 1．（2023秋•肥东县期末）如图，C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，则下列结论中正确的 是（　　） A．AC2+BC2＝AB2 B．BC≈0.618AB C． D．BC：AC＝AC：AB 2．（2023秋•长宁区期末）已知点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，那么下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•青羊区期末）如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝6，则AD的长是（　　） A．3 B． C． D． 4．（2024秋•浦东新区校级月考）已知AP＝2，点P是线段AB的黄金分割点且（AP＜BP），则AB长为 　 　 ． 5．（2023秋•船山区期末）已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＜PB），则PB：AB的值为（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•莲池区期末）已知线段AB的长度为2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（　　） A． B． C．1或3 D．或2 7．（2024•凉州区二模）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）． （1）求线段AP的长； （2）以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的长． 8．（2023秋•金安区校级期中）已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底边与腰的比值为黄金分割比）．如图，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，已知AB＝1，求DE的长度． 题型八 黄金分割点的应用 解题技巧提炼 黄金分割点的应用主要是利用黄金分割的定义以及相似三角形的的性质和其它图形的性质来解决问题. 1．（2023秋•湘潭期末）大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，AB＝10cm，则AP的长约为（　　）cm． A．0.618 B．6.18 C．3.82 D．0.382 2．（2023•临安区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，点P在BC边上，若AP是∠BAC的三等分线，则BP的长度为（　　） A．或5 B． C．1或2 D．或2 3．（2024•山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2cm，则BC的长为 　 　cm（结果保留根号）． 4．（2024•宝鸡二模）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 　 　． 5．（2024秋•虹口区校级月考）如图，点E是正方形ABCD边AD上的一点（E与A不重合），将线段BE绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在DA的延长线上的F处，并作正方形AFGH，若H是线段AB的一个黄金分割点，且AH＞BH，则AE：AB的值是 　 　． 6．（2024春•长沙期中）黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． （1）求该矩形画框的宽； （2）生产画框所用的材料单价为0.02元/cm2，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 7．（2023秋•上城区校级期中）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，使PF＝PD，在AB的延长线上取点F，使PF以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上． （1）AM，DM的长分别为 　 　，　 　． （2）M是AD的黄金分割点吗？请说明理由． 8．（2023秋•汉川市期中）古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一短线段（比如AC）与另一长线段（比如BC）之比，如果正好等于另一长线段（比如BC）同整个线段（AB）的比（即BC2＝AC•AB），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”． 在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长为20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取1.4，1.7，2.2） 9．（2023秋•海淀区校级期中）如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”． （1）填空：等边三角形 　 　（填“存在”或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角 形 　 　（填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”． （2）在△ABC中，∠A＝30°，∠B为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出∠B的所有可能 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$