专题05 反比例函数【六大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，北京版）

专题05 反比例函数【六大题型】 反比例函数的性质 1．（2023•西城区校级期中）已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y的图象上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 2．（2023•门头沟区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，若函数y（x＜0）的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数y（x＜0）的图象所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2023•平谷区校级期中）关于反比例函数y，下列说法正确的是（　　） A．函数图象经过点（2，2） B．函数图象位于第一、三象限 C．当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大 D．当x＞1时，y＜﹣4 4．（2023•西城区校级期中）已知某函数的图象过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，下面有四个推断： ①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线y＝4x平行； ②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限； ③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交； ④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧． 所有合理推断的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（2023•门头沟区校级期中）已知某函数当x＞1时，y随x的增大而增大，则这个函数解析式可以是 　 ． 6．（2023•顺义区校级期中）反比例函数y＝（m+2）的图象分布在第二、四象限内，则m的值为　 　． 7．（2023•朝阳区校级期中）若点A（m，﹣2）在反比例函数的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是 　 　． 8．（2023•房山区校级期中）设函数y1，y2（k＞0），当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a﹣4，则a＝　 　． 9．（2023•西城区校级期中）【问题情境】 已知矩形的面积为一定值1，当该矩形的一组邻边分别为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 【数学模型】 设该矩形的一边长为x，周长为L，则L与x的函数表达式为　 　． 【探索研究】 小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y＝x的图象性质． （1）结合问题情境，函数y＝x的自变量x的取值范围是　 　， 如表是y与x的几组对应值． x … 1 2 3 m … y … 4 3 2 2 2 3 4 … ①直接写出m的值； ②画出该函数图象，结合图象，得出当x＝　 　时，y有最小值，y的最小值为　 　； 【解决问题】 （2）直接写出“问题情境”中问题的结论． 10．（2023•西城区校级期中）有这样一个问题：探究函数yx的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数yx的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数yx的自变量x的取值范围是　 　； （2）下表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 … y … ﹣1 3 m … 求m的值； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：　 　． 反比例函数系数k的几何意义 11．（2023•东城区校级期中）如图，双曲线y（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D．若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（　　） A． B． C． D． 12．（2023•西城区校级期中）如图，若点P在反比例函数的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，若矩形PMON的面积为6，则k的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 13．（2023•海淀区校级期中）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数的图象相交于A、B两点，AC⊥y轴，垂足为C，若△ABC的面积为4，则此反比例函数解析式为（　　） A． B． C． D． 14．（2023•房山区校级期中）如图，点M，N在反比例函数（x＞0）的图象上，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，且四边形OBMA是正方形，四边形ODNC是矩形，CN与MB交于点E，下列说法中不正确的是（　　） A．正方形OBMA的面积等于矩形ODNC的面积 B．点M的坐标为（6，6） C．矩形ODNC的面积为6 D．矩形CEMA的面积等于矩形BDNE的面积 15．（2023•朝阳区校级期中）如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝　 　． 16．（2023•西城区校级期中）如图，正比例函数y＝x与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，则△BOC的面积是　 　． 反比例函数图象上点的坐标特征 17．（2023•房山区校级期中）如图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，若矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是（　　） A．y B．y C．y D．y 18．（2023•西城区校级期中）已知点P（x1，﹣2）、Q（x2，2）、R（x3，3）三点都在反比例函数的图象上，则下列关系正确的是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x3＜x1 19．（2023•西城区校级期中）关于反比例函数y的图象，下列说法中，正确的是（　　） A．图象的两个分支分别位于第二、第四象限 B．图象的两个分支关于y轴对称 C．图象经过点（1，1） D．当x＞0时，y随x增大而减小 20．（2023•海淀区校级期中）如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P在x轴的非负半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（　　） A． B．（3，0） C． D．（4，0） 21．（2023•房山区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（2，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，请你写出一个符合要求的k的值 　 　． 22．（2023•海淀区校级期中）在反比例函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜0＜x2而y1＞y2，则k的取值范围是　 　． 23．（2023•朝阳区校级期中）若点A（m﹣2，y1），B（m+2，y2）在反比例函数y的图象上，且y1＜y2，则m的取值范围是 　 　． 24．（2023•通州区校级期中）在同一平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2与反比例函数y（x＞0）的图象如图所示，如果两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令W＝x1+x2+x3，那么W的值为 　 　（用含m的代数式表示）． 25．（2023•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），C（0，1），点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N． （1）求点D的坐标和k的值； （2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标x的取值范围． 26．（2023•门头沟区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（k≠0）的图象过点A（2，3）． （1）求k的值； （2）过点P（m，0）（m≠0）作x轴的垂线，分别交反比例函数y（k≠0），y的图象于点M，N． ①当m＝﹣2时，求MN的长； ②若MN≥5，直接写出m的取值范围． 反比例函数与一次函数的交点问题 27．（2023•西城区校级期中）已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y的图象交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，3），则关于x的方程kx的两个实数根分别为（　　） A．x1＝﹣3，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣2，x2＝2 28．（2023•西城区校级期中）正比例函数y＝x与反比例函数y的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 29．（2023•平谷区校级期中）如图，函数y1＝x+1与函数y2的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1 30．（2023•朝阳区校级期中）如图，在直角坐标系中，直线y＝6﹣x与函数（x＞0）的图象相交于点A、B，设A点的坐标为（x1，y1），那么长为x1，宽为y1的矩形面积和周长分别是（　　） A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6 31．（2023•东城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与正比例函数y＝mx的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，a），则点B的坐标为 　 　． 32．（2023•通州区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x的图象与反比例函数y的图象交于A，B两点，如果点A，B的纵坐标是y1，y2，那么y1+y2的值是　 　． 33．（2023•石景山区校级期中）如图，直线y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A，B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求△AOC的面积． 34．（2023•东城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与函数y（x＞0）的图象交于点A（1，2）． （1）求m的值； （2）过点A作x轴的平行线l，直线y＝2x+b与直线l交于点B，与函数y（x＞0）的图象交于点C，与x轴交于点D． ①当点C是线段BD的中点时，求b的值； ②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围． 反比例函数的应用 35．（2023•房山区期中统考）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R的函数关系为I，当I＝3A时，R＝8Ω，则当I＝6A时，R的值为（　　） A．4Ω B．6Ω C．8Ω D．10Ω 36．（2023•石景山区校级期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：千帕）随气球内气体的体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是（　　） V（单位：立方米） 64 48 38.4 32 24 … P（单位：千帕） 1.5 2 2.5 3 4 … A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 37．（2023•朝阳区校级期中）某校举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班级竞赛成绩的优秀率（该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值）y与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个班级在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是 　 　 38．（2023•房山区校级期中）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）函数的图象为曲线L． （1）若L过点T1，则k＝　 　； （2）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 　 　个． 39．（2023•西城区校级期中）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 ①请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； ②设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 40．（2023•西城区校级期中）输液时间与输液速率问题 静脉输液是用来给病人注射液体和药品的．在医院里，静脉输液是护士护理中最重要的一项工作，护士需要依据输液速率D，即每分钟输入多少滴液体，来计算输完点滴注射液的时间t（单位：分钟）．他们使用的公式是：，其中，V是点滴注射液的容积，以毫升（ml）为单位，d是点滴系数，即每毫升（ml）液体的滴数． （1）一瓶点滴注射液的容积为360毫升，点滴系数是每毫升25滴，如果护士给病人注射的输液速率为每分钟50滴，那么输完这瓶点滴注射液需要多少分钟？ （2）如果遇到的病人年龄比较大时，护士会把输液速率缩小为原来的，请准确地描述，在V和d保持不变的条件下，输完这瓶点滴注射液的时间将会发生怎样的变化？ 反比例函数综合题 41．（2023•东城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣2的图象与x、y轴分别交于点A、B，与反比例函数（x＜0）的图象交于点． （1）求A、B两点的坐标； （2）设点P是一次函数y＝kx﹣2图象上的一点，且满足△APO的面积是△ABO的面积的2倍，直接写出点P的坐标． 42．（2023•丰台区校级期中）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，A点的坐标是（﹣2，1），B点的坐标是（1，n）． （1）求出两个函数解析式； （2）在x轴正半轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由． （3）直接写出满足的x的取值范围． 43．（2023•海淀区校级期中）已知反比例函数图象过第二象限内的点A（﹣2，m）AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3，若直线y＝ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，）， （1）反比例函数的解析式为　 　，m＝　 　，n＝　 　； （2）求直线y＝ax+b的解析式； （3）在y轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，说明理由． 44．（2023•东城区校级期中）阅读理解：对于任意正实数a，b，（）2≥0，∴a﹣2b≥0，只有当a＝b时，等号成立． 结论：在（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则， 只有当a＝b时，a+b有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： （1）若m＞0，只有当m＝　 　时，有最小值　 　； （2）探索应用：已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），点P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 反比例函数【六大题型】 反比例函数的性质 1．（2023•西城区校级期中）已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y的图象上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 解：∵点A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y的图象上，∴y1；y2＝﹣2；y3， ∵2， ∴y3＞y1＞y2． 答案：D． 2．（2023•门头沟区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，若函数y（x＜0）的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数y（x＜0）的图象所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：∵函数y的函数值y随着自变量x的增大而增大， ∴函数图象在第二、四象限， ∵x＜0， ∴函数y（x＜0）的图象所在的象限在第二象限， 答案：B． 3．（2023•平谷区校级期中）关于反比例函数y，下列说法正确的是（　　） A．函数图象经过点（2，2） B．函数图象位于第一、三象限 C．当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大 D．当x＞1时，y＜﹣4 解：A、关于反比例函数y，函数图象经过点（2，﹣2），故此选项错误； B、关于反比例函数y，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误； C、关于反比例函数y，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确； D、关于反比例函数y，当x＞1时，y＞﹣4，故此选项错误； 答案：C． 4．（2023•西城区校级期中）已知某函数的图象过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，下面有四个推断： ①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线y＝4x平行； ②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限； ③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交； ④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧． 所有合理推断的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解：①过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点的直线的关系式为y＝kx+b，则， ， 解得，， 所以直线的关系式为y＝x﹣1， 直线y＝x﹣1与直线y＝4x不平行， 因此①不正确； ②过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点的反比例函数的关系式为y， 则，k＝1×2＝2＞0，因此双曲线的两个分支位于一、三象限， 故②正确； ③若过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点的抛物线的关系式为y＝ax2+bx+c， 则4a+2b+c＝1，a﹣b+c＝﹣2， 所以a+b＝1， 当抛物线开口向下时，有a＜0，则b＞0， 对称轴x0， 由图象可知，当对称轴0＜x2时，抛物线与y轴的交点在正半轴， 当2时，抛物线与y轴的交点在负半轴， 因此③不正确； ④当抛物线开口向上时，有a＞0，而a+b＝1，即b＝﹣a+1， 所以对称轴x， 因此函数图象对称轴在直线左侧，故④正确， 综上所述，正确的有②④， 答案：D． 5．（2023•门头沟区校级期中）已知某函数当x＞1时，y随x的增大而增大，则这个函数解析式可以是 　y（答案不唯一）　． 解：根据某函数当x＞1时，y随x的增大而增大， 这个函数可以是y， 答案：y（答案不唯一）． 6．（2023•顺义区校级期中）反比例函数y＝（m+2）的图象分布在第二、四象限内，则m的值为　﹣3　． 解：根据题意得，m2﹣10＝﹣1且m+2＜0， 解得m1＝3，m2＝﹣3且m＜﹣2， 所以m＝﹣3． 答案：﹣3． 7．（2023•朝阳区校级期中）若点A（m，﹣2）在反比例函数的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是 　x≤﹣2或x＞0　． 解：∵点A（m，﹣2）在反比例函数的图象上， ∴﹣2m＝4，m＝﹣2． ∴A（﹣2，﹣2）． ∴当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是 x≤﹣2或x＞0． 答案：x≤﹣2或x＞0． 8．（2023•房山区校级期中）设函数y1，y2（k＞0），当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a﹣4，则a＝　2　． 解：∵函数y1（k＞0），当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a， ∴x＝1时，y＝k＝a， ∵y2（k＞0），当1≤x≤3时，函数y2的最小值为y＝a﹣4， ∴当x＝1时，y＝﹣k＝a﹣4， ∴k＝4﹣a， 故a＝4﹣a， 解得：a＝2． 答案：2． 9．（2023•西城区校级期中）【问题情境】 已知矩形的面积为一定值1，当该矩形的一组邻边分别为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 【数学模型】 设该矩形的一边长为x，周长为L，则L与x的函数表达式为　L＝2x　． 【探索研究】 小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y＝x的图象性质． （1）结合问题情境，函数y＝x的自变量x的取值范围是　x＞0　， 如表是y与x的几组对应值． x … 1 2 3 m … y … 4 3 2 2 2 3 4 … ①直接写出m的值； ②画出该函数图象，结合图象，得出当x＝　1　时，y有最小值，y的最小值为　2　； 【解决问题】 （2）直接写出“问题情境”中问题的结论． 解：【数学模型】L与x的函数表达式为L＝2（x）＝2x； 答案：L＝2x； 【探索研究】（1）自变量x的取值范围是x＞0； ①当y＝4时，x＝4， ∴m的值为4； ②当0＜x＜1时，y随x增大而减小；当x＞1时，y随x增大而增大；当x＝1时函数y＝x（x＞0）的最小值为2； 答案：L＝2（x）；x＞0；1，2； （2）当邻边分别为1和1时，它的周长最小，最小值是4． 10．（2023•西城区校级期中）有这样一个问题：探究函数yx的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数yx的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数yx的自变量x的取值范围是　x≠1　； （2）下表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 … y … ﹣1 3 m … 求m的值； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：　该函数没有最大值，也没有最小值　． 解：（1）x≠1， 故答案为x≠1； （2）令x＝4， ∴y4； ∴m； （3）如图 （4）该函数的其它性质： 该函数没有最大值，也没有最小值； 答案：该函数没有最大值，也没有最小值． 反比例函数系数k的几何意义 11．（2023•东城区校级期中）如图，双曲线y（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D．若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（　　） A． B． C． D． 解：∵双曲线y（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E， ∴S△OAD＝S△OECS矩形OABCS梯形ODBC＝1， ∴k＝2， 则双曲线的解析式为． 答案：B． 12．（2023•西城区校级期中）如图，若点P在反比例函数的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，若矩形PMON的面积为6，则k的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 解：设PN＝a，PM＝b， 则ab＝6， ∵P点在第二象限， ∴P（﹣a，b），代入y中，得 k＝﹣ab＝﹣6，故选C． 13．（2023•海淀区校级期中）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数的图象相交于A、B两点，AC⊥y轴，垂足为C，若△ABC的面积为4，则此反比例函数解析式为（　　） A． B． C． D． 解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点， ∴A、B两点关于原点对称， ∴OA＝OB， ∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝4÷2＝2， 又∵A是反比例函数y图象上的点，且AC⊥y轴于点C， ∴△AOC的面积|m|， ∴|m|＝2， ∵m＞0， ∴m＝4． 故这个反比例函数的解析式为 ． 答案：A． 14．（2023•房山区校级期中）如图，点M，N在反比例函数（x＞0）的图象上，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，且四边形OBMA是正方形，四边形ODNC是矩形，CN与MB交于点E，下列说法中不正确的是（　　） A．正方形OBMA的面积等于矩形ODNC的面积 B．点M的坐标为（6，6） C．矩形ODNC的面积为6 D．矩形CEMA的面积等于矩形BDNE的面积 解：由点M，N在反比例函数（x＞0）的图象上， 四边形OBMA是正方形，四边形ODNC是矩形， A、∵过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|， ∴正方形OBMA的面积等于矩形ODNC的面积等于6，故此选项正确； B、∵四边形OBMA是正方形，AM＝BM，AM×BM＝6， ∴AM＝BM， ∴点M的坐标为（，），故此选项错误； C、由以上可知，矩形ODNC的面积为6，故此选项正确； D、∵正方形OBMA的面积等于矩形ODNC的面积等于6，都减去四边形COBE仍然相等，故此选项正确． 答案：B． 15．（2023•朝阳区校级期中）如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝　2　． 解：设F（x，y），那么B（x，2y），xy＝k， ∵点E在反比例函数解析式上， ∴S△COEk， ∵点F在反比例函数解析式上， ∴S△AOFxyk， ∵S四边形OEBF＝S矩形ABCO﹣S△COE﹣S△AOF，且S四边形OEBF＝2， ∴2xykk＝2， ∴2kkk＝2， ∴k＝2． 答案：2． 16．（2023•西城区校级期中）如图，正比例函数y＝x与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，则△BOC的面积是　2　． 解：设A的坐标是（m，n），mn＝4，则B的坐标是（﹣m，﹣n）． 故AC＝n，AC边上的高是2m， 则三角形的面积是：•n•2mmn＝2． 答案：2． 反比例函数图象上点的坐标特征 17．（2023•房山区校级期中）如图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，若矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是（　　） A．y B．y C．y D．y 解：由图象上的点所构成的矩形PEOF的面积为3可知， S＝|k|＝3，k＝±3． 又由于反比例函数的图象在第二、四象限，k＜0， 则k＝﹣3，所以反比例函数的解析式为y， 答案：B． 18．（2023•西城区校级期中）已知点P（x1，﹣2）、Q（x2，2）、R（x3，3）三点都在反比例函数的图象上，则下列关系正确的是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x3＜x1 解：∵点P（x1，﹣2）、Q（x2，2）、R（x3，3）三点都在反比例函数的图象上， ∵a2+1＞0， ∴在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一、三象限， ∵2＜3， ∴x2＞x3＞0， ∵P（x1，﹣2）在第三象限， ∴x1＜0， ∴x2＞x3＞x1， 答案：B． 19．（2023•西城区校级期中）关于反比例函数y的图象，下列说法中，正确的是（　　） A．图象的两个分支分别位于第二、第四象限 B．图象的两个分支关于y轴对称 C．图象经过点（1，1） D．当x＞0时，y随x增大而减小 解：∵k＝2＞0，∴图象位于一三象限，故A不正确， 反比例函数的图象关于直线y＝x或y＝﹣x成轴对称，不关于y轴对称，因此B是不正确的， ∵1×1≠2，∴图象不过（1，1）点，因此C是不正确的， ∵k＝2＞0，∴图象位于一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小因此D是正确的， 答案：D． 20．（2023•海淀区校级期中）如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P在x轴的非负半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（　　） A． B．（3，0） C． D．（4，0） 解：∵把A（ ，y1），B（2，y2）代入反比例函数y得：y1＝2，y2， ∴A（，2），B（2，）． 在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB， ∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB， 即此时线段AP与线段BP之差达到最大， 设直线AB的解析式是y＝ax+b（a≠0） 把A、B的坐标代入得：， 解得：， ∴直线AB的解析式是y＝﹣x， 当y＝0时，x，即P（，0）； 答案：A． 21．（2023•房山区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（2，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，请你写出一个符合要求的k的值 　﹣1（答案不唯一）　． 解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2， ∴点A（﹣1，y1）在第二象限，点B（2，y2）在第四象限， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∴k＜0， ∴k的值可以为﹣1． 答案：﹣1（答案不唯一）． 22．（2023•海淀区校级期中）在反比例函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜0＜x2而y1＞y2，则k的取值范围是　k＜﹣3　． 解：∵反比例函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜0＜x2而y1＞y2， ∴该反比例函数的图象是y随x的增大而减小， ∴该反比例函数经过第二、四象限， ∴k+3＜0，即k＜﹣3． 答案：k＜﹣3． 23．（2023•朝阳区校级期中）若点A（m﹣2，y1），B（m+2，y2）在反比例函数y的图象上，且y1＜y2，则m的取值范围是 　﹣2＜m＜2　． 解：由y可知图象位于一、三象限，y随x的增大而减小． ∵点A（m+2，y1），B（m﹣2，y2）在反比例函数y的图象上，且y2＞y1． ∴点A（m﹣2，y1）、B（m+2，y2）不在同一象限，则点A（m﹣2，y1）在第三象限，点B（m+2，y2）在第一象限． ∴，解得﹣2＜m＜2． 答案：﹣2＜m＜2． 24．（2023•通州区校级期中）在同一平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2与反比例函数y（x＞0）的图象如图所示，如果两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令W＝x1+x2+x3，那么W的值为 　　（用含m的代数式表示）． 解：∵两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数， ∴其中有两个点一定在二次函数图象上，且这两个点的横坐标互为相反数，第三个点一定在反比例函数图象上， 假设点A和点B在二次函数图象上，则点C一定在反比例函数图象上， ∴m，得x3， ∴W＝x1+x2+x3＝0+x3， 答案：． 25．（2023•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），C（0，1），点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N． （1）求点D的坐标和k的值； （2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标x的取值范围． 解：（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点， ∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点， 又∵A（2，0），C（0，1）， ∴点D的坐标为（1，）． ∵反比例函数y（k≠0）的图象经过点D， ∴， 解得：k． （2）由题意可得：点M的纵坐标为1，点N的横坐标为2． ∵点M在反比例函数y的图象上， ∴点M的坐标为（，1）， ∴x≤2． 26．（2023•门头沟区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（k≠0）的图象过点A（2，3）． （1）求k的值； （2）过点P（m，0）（m≠0）作x轴的垂线，分别交反比例函数y（k≠0），y的图象于点M，N． ①当m＝﹣2时，求MN的长； ②若MN≥5，直接写出m的取值范围． 解：（1）∵反比例函数y（k≠0）的图象过点A（2，3）， ∴k＝2×3＝6； （2）①当m＝﹣2时，则P（﹣2，0）， 把x＝﹣2代入y得，y＝﹣3， ∴M（﹣2，﹣3）， 把x＝﹣2代入y得，y＝2， ∴N（﹣2，2）， ∴MN＝2﹣（﹣3）＝5； ②若MN≥5，m的取值范围是﹣2≤m＜0或0＜m≤2． 反比例函数与一次函数的交点问题 27．（2023•西城区校级期中）已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y的图象交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，3），则关于x的方程kx的两个实数根分别为（　　） A．x1＝﹣3，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣2，x2＝2 解：∵正比例函数图象关于原点对称，反比例函数图象关于原点对称， ∴两函数的交点A、B关于原点对称， ∵点A的坐标为（﹣2，3）， ∴点B的坐标为（2，﹣3）． ∴关于x的方程kx的两个实数根为x1＝﹣2，x2＝2． 答案：D． 28．（2023•西城区校级期中）正比例函数y＝x与反比例函数y的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 解：解方程组 得， 即：正比例函数y＝x与反比例函数y的图象相交于两点的坐标分别为A（1，1）B（﹣1，﹣1） 所以D点的坐标为（﹣1，0），B点的坐标为（1，0） 因为，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D 所以，△ABD与△BCD均是直角三角形 则：S四边形ABCDBD•ADBD•CD2×12×1＝2， 即：四边形ABCD的面积是2． 答案：B． 29．（2023•平谷区校级期中）如图，函数y1＝x+1与函数y2的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1 解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1， 答案：D． 30．（2023•朝阳区校级期中）如图，在直角坐标系中，直线y＝6﹣x与函数（x＞0）的图象相交于点A、B，设A点的坐标为（x1，y1），那么长为x1，宽为y1的矩形面积和周长分别是（　　） A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6 解：∵两函数图象的交点在第一象限， ∴x＞0，y＞0， ∴， ∴6﹣x， ∴x2﹣6x+4＝0， 解得x＝3±， ∵A在B的左边， ∴x＝3，y＝3，即A（3，3）， ∴矩形的面积＝（3）（3）＝4； 矩形的周长＝2（3）+2（3）＝12． 答案：A． 31．（2023•东城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与正比例函数y＝mx的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，a），则点B的坐标为 　（﹣1，﹣2）　． 解：把A（1，a）代，可得a＝2， ∴A（1，2）， ∵点B与点A关于原点对称， ∴B（﹣1，﹣2）， 答案：（﹣1，﹣2）． 32．（2023•通州区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x的图象与反比例函数y的图象交于A，B两点，如果点A，B的纵坐标是y1，y2，那么y1+y2的值是　0　． 解：∵一次函数y＝x的图象与反比例函数y的图象交于A，B两点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴点A，B的纵坐标是互为相反数， ∴y1+y2＝0， 答案：0． 33．（2023•石景山区校级期中）如图，直线y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A，B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求△AOC的面积． 解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得， k＝﹣2×4＝﹣8， 所以反比例函数的解析式为． 将x＝﹣4代入反比例函数解析式得， y， 所以点B的坐标为（﹣4，2）． 将A，B两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为y＝x+6． （2）将y＝0代入y＝x+6， x+6＝0， 解得x＝﹣6， 所以点C的坐标为（﹣6，0）． 所以． 34．（2023•东城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与函数y（x＞0）的图象交于点A（1，2）． （1）求m的值； （2）过点A作x轴的平行线l，直线y＝2x+b与直线l交于点B，与函数y（x＞0）的图象交于点C，与x轴交于点D． ①当点C是线段BD的中点时，求b的值； ②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围． 解：（1）把A（1，2）代入函数y（x＞0）中， ∴2． ∴m＝2； （2）①过点C作x轴的垂线，交直线l于点E，交x轴于点F． 当点C是线段BD的中点时， ∴CE＝CF＝1． ∴点C的纵坐标为1， 把y＝1代入函数y中， 得x＝2． ∴点C的坐标为（2，1）， 把C（2，1）代入函数y＝2x+b中得：1＝4+b， 解得b＝﹣3， ②当C在AB的上方时，C（，4），把C（，4）代入函数y＝2x+b中得：4＝1+b， 得b＝3，则BC＞BD时，则b＞3， 故b的取值范围为b＞3． 反比例函数的应用 35．（2023•房山区期中统考）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R的函数关系为I，当I＝3A时，R＝8Ω，则当I＝6A时，R的值为（　　） A．4Ω B．6Ω C．8Ω D．10Ω 解：∵电流I与R的函数关系为I，当I＝3A时，R＝8Ω， ∴3， 解得U＝24， ∴电流I与R的函数关系为I， 当I＝6A时，即6， 解得R＝4． 答案：A． 36．（2023•石景山区校级期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：千帕）随气球内气体的体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是（　　） V（单位：立方米） 64 48 38.4 32 24 … P（单位：千帕） 1.5 2 2.5 3 4 … A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 解：由题意可知，64×1.5＝96；48×2＝96；38.4×2.5＝96；32×3＝96；24×4＝96，… 由此可得出P和V的函数关系是为：P． 答案：D． 37．（2023•朝阳区校级期中）某校举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班级竞赛成绩的优秀率（该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值）y与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个班级在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是 　丙　 解：描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，则令甲（x1，y1）、乙（x2，y2）、丙（x3，y3）、丁（x4，y4）， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于（x1，y'1），过丙点作y轴平行线交反比例函数于（x3，y'3），如图所示： 由图可知y'1＞y1，y'3＜y3， ∴（x1，y'1）、乙（x2，y2）、（x3，y'3）、丁（x4，y4）在反比例函数图象上， 根据题意可知xy＝优秀人数，则： ①x2y2＝k＝x4y4，即乙、丁两个班级优秀人数相同； ②x1y1＜x1y'1＝k，即甲班级优秀人数比乙、丁两个班级优秀人数少； ③x3y3＞x3y'3＝k，即丙班级优秀人数比乙、丁两个班级优秀人数多； 综上所述：甲班级优秀人数＜乙班级优秀人数＝丁班级优秀人数＜丙班级优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙， 答案：丙． 38．（2023•房山区校级期中）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）函数的图象为曲线L． （1）若L过点T1，则k＝　﹣16　； （2）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 　7　个． 解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8）， ∵L过点T1， ∴k＝﹣16×1＝﹣16， 答案：﹣16； （2）若曲线L过点T1（﹣16，1），T8（﹣2，8）时，k＝﹣16， 若曲线L过点T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28， 若曲线L过点T3（﹣12，3），T6（﹣6，6）时，k＝﹣12×3＝﹣36， 若曲线L过点T4（﹣10，4），T5（﹣8，5）时，k＝﹣40， ∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ∴﹣36＜k＜﹣28， ∴整数k＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7个， 答案：7． 39．（2023•西城区校级期中）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 ①请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； ②设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 解：①反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为y； （2）∵W＝（x﹣2）y＝60， 又∵x≤10， ∴当x＝10，W最大， 故当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润． 40．（2023•西城区校级期中）输液时间与输液速率问题 静脉输液是用来给病人注射液体和药品的．在医院里，静脉输液是护士护理中最重要的一项工作，护士需要依据输液速率D，即每分钟输入多少滴液体，来计算输完点滴注射液的时间t（单位：分钟）．他们使用的公式是：，其中，V是点滴注射液的容积，以毫升（ml）为单位，d是点滴系数，即每毫升（ml）液体的滴数． （1）一瓶点滴注射液的容积为360毫升，点滴系数是每毫升25滴，如果护士给病人注射的输液速率为每分钟50滴，那么输完这瓶点滴注射液需要多少分钟？ （2）如果遇到的病人年龄比较大时，护士会把输液速率缩小为原来的，请准确地描述，在V和d保持不变的条件下，输完这瓶点滴注射液的时间将会发生怎样的变化？ 解：（1）根据题意得到：d＝25，V＝360，D＝50， 将以上各数代入已知公式t， 得到：t180（分钟）， 答：输完这瓶点滴注射液需要180分钟； （2）当输液速率缩小为原来的时， t′2t， 答：在V和d保持不变的条件下，D将缩小到原来的时，输完这瓶液所用的时间将会是原来时间的2倍． 反比例函数综合题 41．（2023•东城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣2的图象与x、y轴分别交于点A、B，与反比例函数（x＜0）的图象交于点． （1）求A、B两点的坐标； （2）设点P是一次函数y＝kx﹣2图象上的一点，且满足△APO的面积是△ABO的面积的2倍，直接写出点P的坐标． 解：（1）∵点在反比例函数（x＜0）的图象上， ∴n＝1， ∴． ∵一次函数y＝kx﹣2的图象经过点， ∴． ∴k＝﹣2， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣2， ∴A（﹣1，0），B（0，﹣2）． （2）S△AOBOA×OB＝1， 设点P的坐标为（a，﹣2a﹣2）， 由题意得，1×|﹣2a﹣2|＝2， 解得：a1＝1，a2＝﹣3， 故P1（﹣3，4），P2（1，﹣4）． 42．（2023•丰台区校级期中）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，A点的坐标是（﹣2，1），B点的坐标是（1，n）． （1）求出两个函数解析式； （2）在x轴正半轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由． （3）直接写出满足的x的取值范围． 解：（1）∵反比例函数y的图象过点A（﹣2，1）， ∴m＝﹣2×1＝﹣2， ∴反比例函数的解析式为y， ∵反比例函数y的图象过点B（1，n）， ∴﹣2＝1×n， ∴n＝﹣2， ∴B（1，﹣2）， ∵一次函数y＝kx+b的图象过A，B两点， ∴， 解得k＝﹣1，b＝﹣1， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1； （2）设点P（m，0）（m＞0）， ∵A（﹣2，1），B（1，﹣2）， ∴AB2＝（﹣2﹣1）2+[1﹣（﹣2）]2＝18，AP2＝（m+2）2+1＝m2+4m+5，BP2＝（m﹣1）2+4＝m2﹣2m+5， ∵△ABP为等腰三角形， ∴①当AP＝AB时，AP2＝AB2， ∴m2+4m+5＝18， ∴m＝﹣2（舍）或m＝﹣2， ∴P（﹣2，0）， ②当AP＝BP时，AP2＝BP2， ∴m2+4m+5＝m2﹣2m+5， ∴m＝0（舍）， ③当AB＝BP时，AB2＝BP2， ∴m2﹣2m+5＝18， ∴m＝1（舍）或m＝1， ∴P（1，0）， 即满足条件的点P的坐标为（﹣2，0）或（1，0）． （3）∵一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1，其图象与x轴交于点C， ∴点C的坐标为（﹣1，0）， ∵CA（﹣2，1）， ∴0＜kx+b的x的取值范围是﹣2＜x＜﹣1． 43．（2023•海淀区校级期中）已知反比例函数图象过第二象限内的点A（﹣2，m）AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3，若直线y＝ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，）， （1）反比例函数的解析式为　y　，m＝　3　，n＝　4　； （2）求直线y＝ax+b的解析式； （3）在y轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，说明理由． 解： （1）在Rt△OAB中，OB＝2，S△OAB＝3， ∴AB＝3， 即A（﹣2，3）， ∴反比例函数的解析式为y， ∴C（4，）， （2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有： ， 解得：， ∴yx； （3）∵A（﹣2，3）， ∴OA， 当OP＝0A时，可得P1（0，）；P2（0，）； 当OA＝AP时，P3（0，6）； 当OP＝AP时，可得P4（0，）； 答：存在点P使△PAO为等腰三角形；点P坐标分别为： P1（0，）；P2（0，）；P3（0，6）；P4（0，）． 44．（2023•东城区校级期中）阅读理解：对于任意正实数a，b，（）2≥0，∴a﹣2b≥0，只有当a＝b时，等号成立． 结论：在（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则， 只有当a＝b时，a+b有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： （1）若m＞0，只有当m＝　1　时，有最小值　2　； （2）探索应用：已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），点P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状． 解：（1）∵22，当且仅当m时，取等号， 又∵m＞0， ∴只有当m＝1时，有最小值为2； 答案：1，2； （2）设点P的坐标为（x，）， ∴OD，OC＝x， ∵A（﹣3，0），B（0，﹣4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴S四边形ABCD＝S△OAD+S△OAB+S△OBC+S△OCDOA•ODOA•OBOB•OCOD•OC33×44×xx2x+12≥212＝24， 当且仅当2x时，取等号， ∵x＞0， ∴当x＝3时，四边形ABCD面积的最小值为24； ∴OD＝4，OC＝3， ∴OD＝OB＝4，OA＝OC＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． ∴当x＝3时，四边形ABCD面积的最小值为24，且此时四边形ABCD是菱形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$