第04讲 二次函数的应用（1个知识点+8类题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（华东师大版）

第04讲 二次函数的应用 课程标准 学习目标 ①实践与探索 1. 研究二次函数的应用． 2. 学会注意分析变量之间的对应关系，列出函数表达式，善于运用二次函数的图象与性质来解决实际问题。 知识点01 二次函数的应用 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 题型01 二次函数与喷水问题 【典例1】如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出的最大高度是 ． 【变式3】如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是 米． 【变式4】如图，某跳水运动员进行米跳台跳水，水面边缘点，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处点． (1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； (2)求入水点B的坐标； (3)若运动员在距水面高度米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误．若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点的水平距离为米，该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由． 题型02 二次函数与拱桥问题 【典例1】如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽，顶点离水面．当水面宽时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图1是一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，拱顶O到水面的距离为9米，当水位上升5米时，则水面宽为（   ） A．10米 B．15米 C．18米 D．20米 【变式2】如图所示是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，建立如图所示的平面直角坐标系，若水面下降时，则水面的宽度为 ． 【变式3】如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米． 【变式4】洛阳瀛洲大桥（图1）是一座飞鸟式倒三角形抛物线拱券桥，是一座通行兼景观大桥，主桥拱的创意源于洛阳八大景之一的“天津晓月”，整体景观如水上升明月．如图2，主桥拱可近似地看作抛物线的一部分，桥面的一部分可看作水平线段，桥拱的跨度为，桥拱的最大高度为．以A为原点，线段所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，构建平面直角坐标系． (1)求主桥拱所在抛物线的表达式； (2)如图，若在两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的5根杆状景观灯，且相邻景观灯的间距、端点A，B到相邻景观灯之间的距离均相等，已知杆状景观灯平均的铺设成本为360元，求图中所有景观灯的铺设成本． 题型03 二次函数与图形问题 【典例1】空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（　　） A．若，，则有一种围法 B．若，，则有一种围法 C．若，，则有两种围法 D．若，，则有一种围法 【变式1】如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，的长不能超过，其余的三边用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①的长可以为；②有两个不同的值满足菜园的面积为；③菜园面积的最大值为．正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为米，面积为平方米．写出与的函数关系式 ，自变量的取值范围是 ． 【变式3】如图用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长），则这个围栏的最大面积为 ．    【变式4】如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)如何围成一个面积最大的矩形羊圈，求此时为多少米？ 题型04 二次函数与销售问题 【典例1】某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少10件，则写出利润y与单价x之间的函数关系式（   ） A． B． C． D． 【变式1】喜迎圣诞，某商店销售一种进价为的商品，售价为，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，则与的函数解析式为（  ） A． B． C． D． 【变式2】某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为 元． 【变式3】某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元． 【变式4】某服装店购进一批T恤，每件进价为元，出于营销考虑，每件售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为时，销售量件；当销售单价为元时，销售量为件． (1)求与的函数关系式； (2)当服装店销售这种恤获得元的利润时，每件恤销售单价是多少元？ (3)设该服装店销售这种恤的利润为元，则该恤销售单价定为多少元时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？ 题型05 二次函数与线段周长问题 【典例1】如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，则这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，O是坐标系的原点，P是该二次函数图象对称轴上一动点． （1） ． （2）周长的最小值为 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为 ． 【变式4】已知：二次函数的图象与轴交于A，两点，其中A点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标． 题型06 二次函数与面积问题 【典例1】如图，两条抛物线，与分别经过点且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【变式1】如图1，在中，，点D从点B出发，沿运动，速度为．点P在折线上，且于点D．点D运动时，点P与点A重合．的面积与运动时间的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当取最大值时，的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．若点P在射线上，且，则点P的坐标是 ． 【变式3】如图，已知抛物线和直线相交与点A，B．点P是抛物线上一点，且在直线的下方，连接，，当的面积最大时，则点P的坐标是 ． 【变式4】如图，已知抛物线 经过两点． 与y轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一点，若 求出此时点P的坐标． (3)在对称轴上是否存在点Q，使 周长最小，若存在，求出点Q坐标和 周长，若不存在，请说明理由． 题型07 二次函数与三角形问题 【典例1】已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】已知直线与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线上，能使为等腰三角形的点P的个数有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】将抛物线沿轴向下平移后，所得抛物线与轴交于点，顶点为，如果是等腰直角三角形，那么顶点的坐标是 ． 【变式3】 的三个顶点 均在抛物线 上， 并且斜边 平行于 轴， 若斜边上的高为 ， 则 的值为 ． 【变式4】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 题型08 二次函数与四边形问题 【典例1】将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，抛物线上的两点，且轴，直线与轴交于轴上的有两点，且四边形是平行四边形，则常数的值为（    ）． A．1 B． C．2 D．3 【变式2】如图，点A在y轴正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形是菱形，， 则菱形的面积为 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴的负半轴上，顶点在第四象限，已知点坐标为，以为顶点的抛物线恰好经过点，则的值为 ． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴于点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点P是抛物线在第一象限内图象上的一个动点．连接，求当四边形面积最大时点P的坐标； (3)将抛物线先向右平移5个单位，再向上平移2个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线对称轴上的一点，点H是平面内一点；在（2）条件下所求点P在新抛物线上的对应点是M，点N为x轴上一动点，当最小时，直接写出以点C，N，Q，H为顶点的四边形是矩形时点H的坐标． 1．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（    ） A．1秒 B．2秒 C．2.4秒 D．3秒 2．如图，是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面，水面宽．水位上升1米，则水面宽度变为（   ） A． B． C．2 D．3 3．某工厂七月份生产零件万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 4．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 5．如图，正方形的边长为，动点、同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动，设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：），则与之间函数关系可以用图象表示为（   ） A． B． C． D． 6．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为 ． 7．太原地铁2号线开通两年多以来，极大地便利了人们的生活．小明早晨从小店区西桥站出发，乘坐一段地铁后，换骑共享单车去学校，经过多次乘坐发现，骑共享单车的时间与乘坐地铁路程之间满足二次函数，几个地铁站点与出发站之间的距离如下表： 地铁站点 … … … 8 9 10 13 … 若小明骑共享单车所需的时间最少，则他乘坐地铁应到达的站点为 站点． 8．如图是某座抛物线形的廊桥示意图．抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 9．由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 10．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为 ． 11．已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标． 12．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 13．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ (2)设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）； (3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 14．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线与轴交于、两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)填空：写出下列点的坐标A__________，B__________，C__________； (2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接、，求的面积的最大值； (3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数的应用 课程标准 学习目标 ①实践与探索 1. 研究二次函数的应用． 2. 学会注意分析变量之间的对应关系，列出函数表达式，善于运用二次函数的图象与性质来解决实际问题。 知识点01 二次函数的应用 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 题型01 二次函数与喷水问题 【典例1】如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得，设抛物线的表达式为．将代入，求出a的值，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 设抛物线的表达式为． 将代入，得， 解得． 抛物线的表达式为． 令，则． 解得，（不合题意，舍去）． 的长为． 故选：D． 【变式1】如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据图象得抛物线经过，对称轴为直线，则设抛物线的解析式为：，代入可求得，令，解得，进而可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为， 抛物线经过，对称轴为直线， 则设抛物线的解析式为：， 代入，求得：， 将值代入得到抛物线的解析式为：， 令，则， 则水管长为， 故选C． 【变式2】某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出的最大高度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案． 【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线， ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标， ∴， ∴顶点坐标为：， ∴喷水的最大高度为4米， 故答案为：4． 【变式3】如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是 米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把解析式化为顶点式，顶点的纵坐标的值即为水柱的最大高度． 【详解】解：， ∴水柱的最大高度是5米， 故答案为：5． 【变式4】如图，某跳水运动员进行米跳台跳水，水面边缘点，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处点． (1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； (2)求入水点B的坐标； (3)若运动员在距水面高度米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误．若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点的水平距离为米，该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)运动员此次跳水失误 【分析】本题主要考查二次函数应用，读懂题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）令，解方程求出x值，即可得到点B的坐标； （3）依据题意，当距点水平距离为时，对应的横坐标为，将代入解析式求出后即可判断得解． 【详解】（1）由题意, ∵抛物线的顶点, ∴可设抛物线的解析式为, 把代入解析式得, , ∴抛物线的解析式为； （2）令，则， 解得：，（舍）， ∴入水点B的坐标； （3）解：由题意，当距点水平距离为时，对应的横坐标为， 将代入解析式， ， ， ∴该运动员此次跳水失误了． 题型02 二次函数与拱桥问题 【典例1】如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽，顶点离水面．当水面宽时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降， 故选：C． 【变式1】如图1是一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，拱顶O到水面的距离为9米，当水位上升5米时，则水面宽为（   ） A．10米 B．15米 C．18米 D．20米 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，根据图形找出相关数据求值是解题的关键． 根据正常水位时水面宽米，找出点A的坐标为，再根据水位上升米时，代入解析式求值即可． 【详解】解：由题可知点A的坐标为， 设抛物线解析式为，则， 解得， ∴抛物线解析式为， 当水位上升5米时，， 即，解得， ∴水面宽为米， 故选：D． 【变式2】如图所示是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，建立如图所示的平面直角坐标系，若水面下降时，则水面的宽度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意确定抛物线的解析式成为解题的关键． 先求出函数的表达式为，设水面下降1米到D的位置，则D坐标为，然后代入函数解析式求得x，最后根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：从图象看，函数定点坐标C为，点B的坐标为， 则函数的表达式为：， 把点B坐标代入上式得：，解得：， ∴则函数的表达式为：， 设水面下降1米到D的位置，则D坐标为， 把D点坐标代入函数表达式得：，解得：， ∴； ∴由二次函数的对称性可得：水面的宽度为． 故答案为：． 【变式3】如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，数形结合．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出的值，即可得到的值． 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入， 得：， 解得： ， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， （米）， 故答案为：． 【变式4】洛阳瀛洲大桥（图1）是一座飞鸟式倒三角形抛物线拱券桥，是一座通行兼景观大桥，主桥拱的创意源于洛阳八大景之一的“天津晓月”，整体景观如水上升明月．如图2，主桥拱可近似地看作抛物线的一部分，桥面的一部分可看作水平线段，桥拱的跨度为，桥拱的最大高度为．以A为原点，线段所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，构建平面直角坐标系． (1)求主桥拱所在抛物线的表达式； (2)如图，若在两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的5根杆状景观灯，且相邻景观灯的间距、端点A，B到相邻景观灯之间的距离均相等，已知杆状景观灯平均的铺设成本为360元，求图中所有景观灯的铺设成本． 【答案】(1) (2)35000元 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据题意设出二次函数顶点式，利用待定系数法求解； （2）先求出相邻景观灯之间的距离，再利用（1）中结论及二次函数图象的对称性求出5根杆状景观灯的长度，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，顶点，， 设主桥拱ACB所在抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴主桥拱所在抛物线的表达式为． （2）解：． 当时，； 当时，； 当时，； 由对称性得，当时，；当时，． ∴5根杆状景观灯的总长度为． （元）． 答：图中所有景观灯的铺设成本为35000元． 题型03 二次函数与图形问题 【典例1】空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（　　） A．若，，则有一种围法 B．若，，则有一种围法 C．若，，则有两种围法 D．若，，则有一种围法 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，设矩形的宽为米，则长为米，，，得到，再逐项计算分析即可得解． 【详解】解：如图，设矩形的宽为米，则长为米， 根据题意得，， ∴， A、当，时，，，即， 解得：，，均不符合题意，故A选项错误； B、当，时，，，即， 解得：（不符合题意，舍去），，故有一种围法，故B选项正确； C、当，时，，，即， 解得：，，均符合题意，故C选项正确； D、当，时，，，即， 解得：，则有一种围法，故D选项正确； 故选：A． 【变式1】如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，的长不能超过，其余的三边用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①的长可以为；②有两个不同的值满足菜园的面积为；③菜园面积的最大值为．正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，设边长为，则边长为，根据列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积，解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③. 【详解】解：设边长为，则边长为， 当时，， 解得 ∵的长不能超过， ∴， 故①不正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得： 解得或 ∵， ∴， ∴的长只有一个值满足菜园面积为，故②错误； 设矩形菜园的面积为，　　 根据题意得：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为200. 故③正确； ∴正确的有１个， 故选：B． 【变式2】如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为米，面积为平方米．写出与的函数关系式 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用、矩形的周长和面积公式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先用x表示出矩形的长，再利用矩形的面积公式得出y与x的函数关系式，再结合矩形的性质与墙的长度列不等式组解题即可； 【详解】解：由题意，设矩形垂直于的一边为米，则矩形的长为米， 则矩形的面积， 即y与x的函数关系式为； ∴， 解得：； 故答案为：， 【变式3】如图用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长），则这个围栏的最大面积为 ．    【答案】 【分析】设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，围成的矩形面积为，则与墙平行的一边长为， ∴矩形围栏的面积为， ∵， ∴当时，矩形有最大面积为， 故答案为：． 【变式4】如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)如何围成一个面积最大的矩形羊圈，求此时为多少米？ 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； (2)当矩形的边时，羊圈能达到的最大面积是． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到周长等量关系和求出羊圈的面积与矩形的边的二次函数关系是解决本题的关键． （1）根据栅栏总长，再利用矩形面积公式即可求出； （2）根据题意求出羊圈的面积与矩形的边的二次函数关系，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得， 化简，得， 解得，， 当时，， 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2）解：设羊圈的面积为，则矩形的边， 根据题意，得， ∵ ∴当时，y有最大值，最大值为648． ∴当矩形的边时，羊圈能达到的最大面积是． 题型04 二次函数与销售问题 【典例1】某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少10件，则写出利润y与单价x之间的函数关系式（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．单价为x元，单价提高了元．原来每月能售出400件，每涨价1元，月销售量就减少10件．涨元，那么月销售量就减少件，再根据利润每件利润数量即可求得解析式． 【详解】解：根据题意得： 利润y与单价x之间的函数关系式为：． 故选：B． 【变式1】喜迎圣诞，某商店销售一种进价为的商品，售价为，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，则与的函数解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意，得：； 故选A． 【变式2】某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为 元． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．设每月所获利润为元，按照利润销售量售价成本列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可． 【详解】解：设每月所获利润为元， 则， ∵， ∴开口向下，在时，有最大值，且为元 ∴当商品销售单价定为元时，每月所获利润最大， 故答案为：． 【变式3】某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元． 【答案】205 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．由可获得利润，即可知当时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值． 【详解】解： ∴当时，取最大值41， （万元）， 年所获利润的最大值205万元， 故答案为：205． 【变式4】某服装店购进一批T恤，每件进价为元，出于营销考虑，每件售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为时，销售量件；当销售单价为元时，销售量为件． (1)求与的函数关系式； (2)当服装店销售这种恤获得元的利润时，每件恤销售单价是多少元？ (3)设该服装店销售这种恤的利润为元，则该恤销售单价定为多少元时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)单价是元 (3)销售单价定为元，最大利润是元 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）根据题意列出方程求出即可； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设， 把与代入 得：， 解得：， 则； （2）解：设当服装店销售这种恤获得元的利润时，每件恤的销售单价是元， 根据题意得：， 则， 整理得：， 解得：，， 因为每件售价不低于元且不高于元， 所以， 答：每件恤销售单价是元； （3）解：由题意可得： ， 当时，最大， 因为每件售价不低于元且不高于元， 则当时，（元， 答：该恤销售单价定为元时，才能使所获利润最大，最大利润是元． 题型05 二次函数与线段周长问题 【典例1】如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．过点作于点，过点作，交延长线于点，连接，设，则，，设，则，，在中，利用勾股定理可得，再分别利用含的式子将的面积和周长表示出来，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，连接， ∵四边形为菱形，，， ， ∴在中，， 设，则， ， ∵的垂直平分线交于点， ， ， ， 设，则， ， 在中，，即， 解得， ，， 则的面积为， 由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为， 的周长为， 由二次函数的性质可知，当时，的周长最小，最小值为， 故选：A． 【变式1】两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，则这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据正方形的面积公式即可求解． 【详解】∵两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为， ∴另一个正方形的边长为， ∴这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的难点是求得另一正方形的边长，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 【变式2】如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，O是坐标系的原点，P是该二次函数图象对称轴上一动点． （1） ． （2）周长的最小值为 ． 【答案】 8 【分析】（1）将代入得，计算即可得解； （2）由二次函数解析式可得二次函数的对称轴为直线，求出，得到，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，连接，则，由轴对称的性质可得：，的周长，由两点之间线段最短可得此时的周长最小，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：（1）将代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）可得，二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， 当时，， ∴， ∴， 如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，连接， ， 则， 由轴对称的性质可得：， ∴的周长，由两点之间线段最短可得此时的周长最小， ∵， ∴的周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接、、，过点作于点，过点作于点，先利用抛物线解析式求出、，得到为等边三角形，，再利用角所对的直角边等于斜边一半求出，，根据垂直平分线的性质得到，推出当、、共线时，的值最小，最小值为的长，通过勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】如图，连接、、，过点作于点，过点作于点， 当时，， 解得：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ，， 垂直平分， ， ， 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， 又， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，学会转换线段解决问题是解题关键． 【变式4】已知：二次函数的图象与轴交于A，两点，其中A点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为：； (3)，； 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数对称性最短距离和问题及三角形面积问题，解题的关键是先求出解析式，熟练掌握轴对称最短距离和问题． （1）将点，点代入求解即可得到答案； （2）根据对称性得到点A关于对称轴的对称点B的坐标，连接交对称轴即为点，此时距离和最小，根据两点间距离公式求解即可得到答案； （3）设点，根据面积列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：将点，点代入得， ，解得：， ∴； （2）解：当时，， 解得：，， ∴， 由抛物线的对称性得，连接交对称轴即为点，此时距离和最小， ∵A，B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：； （3）解：设点， ∵三角形的面积为， ∴， 解得：，， ∴，； 题型06 二次函数与面积问题 【典例1】如图，两条抛物线，与分别经过点且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，二次函数图象的平移问题，先求出，再由抛物线是抛物线向上平移2个单位长度得到的，且点A和点B的纵坐标的差值为2，可知阴影部分的面积即为图中长方形的面积，据此求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∵抛物线是抛物线向上平移2个单位长度得到的，且点A和点B的纵坐标的差值为2， ∴阴影部分的面积即为图中长方形的面积， ∴， 故选：D． 【变式1】如图1，在中，，点D从点B出发，沿运动，速度为．点P在折线上，且于点D．点D运动时，点P与点A重合．的面积与运动时间的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当取最大值时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目． 先根据点D运动时，点P与点A重合．从而求得，再由函数图象求得，从而求得，得出，然后根据由题图2点E的位置可知，点P在上时，有最大值．所以当时，点P在边上，此时，，根据三角形面积公式求得，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意知，点D运动时，点P，D的位置如图1所示． 此时，在中，，，， ∴， ∴． 由函数图象得， ∴， ∴． 由题图2点E的位置可知，点P在上时，有最大值． 当时，点P在边上，如图2， 此时，， ∴． ∵， 又∵， ∴当时，的值最大， 此时． 故选：B． 【变式2】如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．若点P在射线上，且，则点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，当P在C的左边时，则有，根据中点坐标公式求出点P的坐标即可；当P在C的右边时，如图，过作轴于H，则，证明，得到，根据，得到，则，，据此可得答案. 【详解】解： 如图，当P在C的左边时， ∵， ∴，    设， ∴，解得， ∴； 当P在C的右边时，如图，过作轴于H，则 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 此时的横坐标为1，则纵坐标， ∴， 综上：P的坐标为：或． 故答案为：或． 【变式3】如图，已知抛物线和直线相交与点A，B．点P是抛物线上一点，且在直线的下方，连接，，当的面积最大时，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的综合应用，先求解交点的横坐标为，，如图，过作轴交于，设，则，再建立面积函数关系式，进一步利用二次函数的性质作答即可． 【详解】解：联立解析式：， ∴，即， 解得：，， ∴的横坐标为，， 如图，过作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 故答案为： 【变式4】如图，已知抛物线 经过两点． 与y轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一点，若 求出此时点P的坐标． (3)在对称轴上是否存在点Q，使 周长最小，若存在，求出点Q坐标和 周长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)的周长最小为，点的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、轴对称的性质等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）将两点代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，设点P的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可； （3）先确定抛物线的对称轴为，如图：作点C关于对称轴为的对称点，则，连接，易得，则此时的周长最小；然后再运用两点间距离公式求得进而求得最小周长；再运用待定系数法求得直线的解析式为，然后令令，可得，即可确定点Q的坐标． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线 经过两点， ∴， 设点P的纵坐标为m， ∵， ∴，即，解得：； 当，有，解得：或4， ∴点P的坐标为或； 当，有，即， ∵， ∴方程无解． 综上，点P的坐标为或． （3）解：∵抛物线 ， ∴对称轴为， 如图：作点C关于对称轴为的对称点，则，连接 ∴， ∴， ∴周长为，此时的周长最小， ∵，，， ∴ ∴的周长最小为； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，可得，即点； 综上，的周长最小为，点的坐标为． 题型07 二次函数与三角形问题 【典例1】已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由抛物线与轴交于点、，可以知道，设点A坐标为 (-1,0),点B坐标为(,0)，当x=0时，y=-3，所以C点坐标为(0,-3),然后分类讨论，当时，可以知道，就可以求出k，当时，知道AC=，也可以求出k，当，利用勾股定理即可求解出k． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点、 设点A(-1,0),点B(,0)，当x=0时，y=-3，故C(0,-3)， 当时，可知只有点B在点A的右侧才成立，如图①所示 所以存在∠AOC=∠BOC=90°，AC=BC，OC=OC, 由直角三角形HL定理可知， △AOC≌△BOC， 故有AO=BO， 所以=1， 所以k=3； 当时，因为A(-1,0), C(0,-3) 可知AC=，当点B在点A左边时，如图④所示 点B为，则，所以k= ； 当点B在点A右边时，如图②所示 点B为，则，所以k=； 当时，如图③所示 由AC的中垂线与x的交点就是B，所以只有一个B满足，CB²=+9，BA²=， 由， 即+9， 解得k= 所以满足要求的k有四个，k=3，，，， 故选C. 【变式1】已知直线与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线上，能使为等腰三角形的点P的个数有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定等，熟知相关性质是正确解决本题的关键． 以点B为圆心线段长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接、，分三种情况求解． 【详解】解：以点B为圆心线段长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接、，如图所示． 令一次函数 中，则， ∴点A的坐标为； 令一次函数中，则， 解得：， ∴点B的坐标为． ． ∵抛物线的对称轴为， ∴点C的坐标为， ， 为等边三角形． 令中，则， 解得：，或． ∴点E的坐标为，点F的坐标为． 为等腰三角形分三种情况： ①当时，以B点为圆心，长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点； ②当时，以A点为圆心，长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，； ③当时，作线段的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点； ∴能使为等腰三角形的点P的个数有3个． 故答案选A． 【变式2】将抛物线沿轴向下平移后，所得抛物线与轴交于点，顶点为，如果是等腰直角三角形，那么顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与坐标轴的交点问题，根据题意二次函数的图象与几何变换的关键．设抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线为，设对称轴与轴交于点，可得，，然后根据题意得到，即，进而求解即可． 【详解】解：∵， 设抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线为， 则，，， 设对称轴与轴交于点，则，可得，， ∵抛物线顶点为，由抛物线对称性可知， ∴， ∴，即， 解得，(舍)， ∴顶点的坐标为． 【变式3】 的三个顶点 均在抛物线 上， 并且斜边 平行于 轴， 若斜边上的高为 ， 则 的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查二次函数的性质，直角三角形的特征，勾股定理，观察图形的能力，要找到各点坐标之间的关系，巧妙地代换未知量． 由抛物线表达式和三角形性质求出A、B、C各点坐标，就可以求出h． 【详解】解：由题，，均在抛物线上，并且斜边平行于轴， 知、两点关于轴对称，记斜边交轴于点， 可设，，，，，，斜边上的高为， 故， 是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半， ， ， 方程两边平方得，即， 因为， 所以． 故答案为：1． 【变式4】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等； （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 题型08 二次函数与四边形问题 【典例1】将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线的直线运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数经过点，此时取最小值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， ∴的最小值是； 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴的最小值是； 综上，， 故选：． 【变式1】如图，抛物线上的两点，且轴，直线与轴交于轴上的有两点，且四边形是平行四边形，则常数的值为（    ）． A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数图象的性质、二次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，求得点A、B的坐标成为解题的关键． 先求得抛物线的对称轴为，再根据坐标与图形以及平行四边形的性质可得，根据二次函数图象的对称性可得点的横坐标分别为：2，6；然后确定点的纵坐标，最后将点A的坐标代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∵x轴上的有两点， ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴, 由二次函数的对称性可得：点的横坐标分别为：2，6， ∵直线与轴交于，轴， ∴点的纵坐标8， ∴点的坐标分别为、， 将点代入可得：，解得：． 故选：C． 【变式2】如图，点A在y轴正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形是菱形，， 则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，菱形面积，二次函数图象上点的坐标特征．连接交于D，如图，根据菱形的性质得，，利用含30度的直角三角形三边的关系，设，则，，利用二次函数图象上点的坐标特征得，解得（舍去），，则，，然后根据菱形性质得，，再利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：连接交于D，如图， ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 把代入得， 解得（舍去）， ∴，， ∴，， ∴菱形的面积． 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴的负半轴上，顶点在第四象限，已知点坐标为，以为顶点的抛物线恰好经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质即可得到全等三角形，进而得到线段的长度，最后利用二次函数的待定系数法即可求得结果． 【详解】解：过作轴，交轴于；过点做于，；过点作于， ∵ ∴ ∵正方形 ∴且 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴在和中 ∴ ∴≌ ∴且 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵且 ∴四边形为正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∴设函数解析式为 ∴将代入解析式得到 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数与正方形性质的综合应用，掌握二次函数的顶点式与正方形性质的综合应用是解题的关键． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴于点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点P是抛物线在第一象限内图象上的一个动点．连接，求当四边形面积最大时点P的坐标； (3)将抛物线先向右平移5个单位，再向上平移2个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线对称轴上的一点，点H是平面内一点；在（2）条件下所求点P在新抛物线上的对应点是M，点N为x轴上一动点，当最小时，直接写出以点C，N，Q，H为顶点的四边形是矩形时点H的坐标． 【答案】(1) (2)点 (3)或 【分析】（1）由题意得设，将点代入可求出抛物线的解析式，据此即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； （3）由题意得新抛物线的解析式为：，；作出二、四象限的角平分线，作交轴于点，可求出直线的解析式，进而求出；分类讨论时，时，时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：由题意得设， 将点代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：作轴，如图所示： ∵，为定值， ∴当最大时，四边形面积最大， 设直线的解析式为：， 将代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴当，即点时，最大，此时四边形面积最大， （3）解：由题意得：新抛物线的解析式为：，， 作出二、四象限的角平分线，作交轴于点， 则的解析式为：，， ∴， ∵， ∴， ∴ 此时，设直线的解析式为：， 将代入可得：，得， ∴直线的解析式为：， 由得：， ∴； 设点，， 时， ， 此方程无解； 时， ， 解得：； ∴； 时， ， 解得：； ∴； 综上所述：点H的坐标的坐标为或 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，综合性较强，需要学生具备扎实的函数基础以及较强的计算能力． 1．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（    ） A．1秒 B．2秒 C．2.4秒 D．3秒 【答案】D 【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了已知函数值求自变量的值，根据题意可知当时符合题意，进而求出答案即可． 【详解】当时，， 解得或， 所以球弹起后又回到地面所经过的时间是3秒． 故选：D． 2．如图，是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面，水面宽．水位上升1米，则水面宽度变为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 根据题意构建平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，进而求解即可． 【详解】解：由题意可得如图所示平面直角坐标系： 该拱形的顶点为，与x轴的交点坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，则有：，解得：， ∴此时水面宽为：， 故选：B． 3．某工厂七月份生产零件万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个， 依题意得：． 故选：B． 4．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，不等式组的应用，设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积S关于x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，然后分别令和，解方程求出x，取在x取值范围内的值即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为， ∴， 根据题意，得不等式组， 解得：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 故小明错误，小亮说法正确． 故选：B． 5．如图，正方形的边长为，动点、同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动，设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：），则与之间函数关系可以用图象表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点的函数图象问题，分和两种情况，分别求出函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：当时，， ， 当时，， ， 故函数图象是两段开口向下的抛物线， 6．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．根据平均每月增长率为x，可求二月、三月的营业额，再根据一月、二月、三月的营业额共y万元列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意，二月的营业额为，三月的营业额为， ∵一月、二月、三月的营业额共y万元， ∴． 故答案为：． 7．太原地铁2号线开通两年多以来，极大地便利了人们的生活．小明早晨从小店区西桥站出发，乘坐一段地铁后，换骑共享单车去学校，经过多次乘坐发现，骑共享单车的时间与乘坐地铁路程之间满足二次函数，几个地铁站点与出发站之间的距离如下表： 地铁站点 … … … 8 9 10 13 … 若小明骑共享单车所需的时间最少，则他乘坐地铁应到达的站点为 站点． 【答案】D 【分析】利用配方求得顶点坐标，求得当时，y取得最小值，找到接近的站点即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，y取得最小值， ∵C站点，而D站点， ∴D站点更接近最小值点， 故他乘坐地铁应到达的站点为D站点． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到更接近的站点． 8．如图是某座抛物线形的廊桥示意图．抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，仔细观察图形并理解题意，准确建立并求解方程是解题关键．根据题意可知、两点是关于轴对称的，且纵坐标都为，则代入解析式可分别求解出两点的横坐标，从而计算出的长度． 【详解】解：由题意得，、两点是关于轴对称，纵坐标都为，代入解析式，得 ，解得：，， ∴米， 故答案为：． 9．由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为462元，第一次降价后的价格是元，第二次降价后的价格为元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得： y与x之间的函数关系为：． 故答案为． 10．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】先用的代数式表示出，，的坐标，再作的平分线交于点，过点作于点，根据全等和角平分线性质得到用的代数式表示的和的长，根据和的关系即可求出的值． 【详解】解：在中，当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 在中，当时，， ， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 作的平分线交于点，过点作于点，则，如图，   ，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ∴是等腰直角三角形， ， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 11．已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，设点到轴的距离为．则，解得．当时，，从而即可得解． 【详解】解：点的坐标为， ． 设点到轴的距离为． ， ． 当时，， 点的坐标为． 12．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 【答案】(1)4s； (2)小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值． （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． （2）解：， 当时，取得最大值m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ (2)设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）； (3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】(1)当天可获利1692元 (2) (3)每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元 【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可知每天的销售量为36件，利润为47元，然后问题可求解； （2）由题意易得商场每天销售的件数为件，然后根据利润=单个利润×销售量可进行求解； （3）根据（2）及题意可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（元）； 答：当天可获利1692元． （2）解：由题意得： ， ∴盈利与的函数关系式； （3）解：由（2）即题意得： ， 解得：， ∵为了尽快减少库存， ∴， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 14．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点时，的面积取得最大值，最大值为4； (3)或或． 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，设，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； 综上所述：或或． 15．如图，抛物线与轴交于、两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)填空：写出下列点的坐标A__________，B__________，C__________； (2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接、，求的面积的最大值； (3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)，，． (2)． (3)或． 【分析】（1）当时，解出的值，即可知道、点坐标；当时，解出的值，即可知道点坐标； （2）过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点，设，求出长度，再转化的面积，得到，进而可求出面积最大值； （3）通过计算可得，进而可知只可能存在和两种情况，利用相似三角形性质进行分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，且与轴交于点， ∴当时，，解得，， 当时，， ∴，，， 故答案为：，，． （2）如图，过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点， 由题意得， 解得， ∴， 设，则， ∵在直线上， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴当时，的面积的达到最大值，最大值为． （3）如图，过点作轴，垂足为点， ∵，，，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，，， 设，则， ∵， ∴只可能存在和两种情况， 当时，有，即，解得， 当时，有，即，解得， 综上点坐标可以为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题、面积最值问题以及相似三角形性质，能够正确做出辅助线是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！58 学科网（北京）股份有限公司 $$