第03讲 二次函数的图象与性质（二）（2个知识点+10类题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（华东师大版）

第03讲 二次函数的图象与性质（二） 课程标准 学习目标 ①y=ax²+bx+c（a≠0，b、c为常数）的图象与性质 ②求二次函数的表达式 1. 研究二次函数一般式的图象与性质． 2. 学会把一般式化为顶点式，学会求二次函数表达式的三种方法。 知识点01 y=ax²+bx+c（a≠0，b、c为常数）的图象与性质 抛物线y=ax²+bx+c中，a、b、c的作用： 　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 　 　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. 　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 知识点02 求二次函数解表达式 用待定系数法求二次函数的解析式： 　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 要点诠释： 求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 题型01 y=ax²+bx+c的顶点坐标 【典例1】二次函数的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的顶点坐标．先把二次函数解析式化为顶点式，进而即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为． 故选：A 【变式1】二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，可以使用配方法将一般式化为顶点式求解，也可以利用顶点坐标公式进行求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：A． 【变式2】若点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中对称点的规律，二次函数的顶点坐标，先根据原点对称的两点横、纵坐标互为相反数得到，，然后对二次函数配方成顶点式，然后得到顶点坐标即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 【变式3】二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数顶点坐标式．把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：把二次函数化为顶点式为：； 顶点坐标为：． 故答案为：． 【变式4】已知二次函数． (1)写出函数的顶点坐标 ； (2)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象． …… 0 1 …… …… 0 5 9 …… (3)根据图象回答下列问题： ①当时，的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)①，②； 【分析】本题考查的是二次函数的性质，画二次函数的图象； （1）先把抛物线化为顶点式，再得出顶点坐标即可； （2）把，分别代入抛物线的解析式，先填表格，再描点画图即可； （3）①直接根据二次函数的图象在轴上方的部分对应的范围可得答案；②直接根据图象在间的部分对应的函数值可得答案． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为：； （2）解：依题意，把，分别代入抛物线的解析式, 分别得，； 补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象． … 0 1 … … 0 5 9 5 0 … 描点并画图： ； （3）解：由图象可得： ①当时，的取值范围是； ②当时，的取值范围是． 题型02 y=ax²+bx+c的对称轴 【典例1】二次函数的对称轴（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数对称轴方程，掌握二次函数对称轴公式是解题的关键．由二次函数的对称轴为直线，代入公式即可得答案． 【详解】解：在中，，， ∴对称轴是， 故选：A． 【变式1】已知抛物线的对称轴为直线，若关于的方程的两根分别为、，则的值为（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的对称轴公式，解一元二次方程，以及代数式求值，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 先根据二次函数的对称轴公式求出b，则得到一元二次方程为，两根即可求解，再代入求值即可，亦可根据根与系数的关系求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 则方程为：， ， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式2】抛物线的对称轴是直线 ，图象不经过第 象限． 【答案】 二 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，当时，开口向上；当时，开口向下，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线：； 由解得， ∴图象与轴的交点坐标为，， ∵， ∴抛物线的开口向下， 故图象不经过第二象限， 故答案为：；二 【变式3】抛物线经过点，对称轴为直线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的函数与图象的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用经过点，得出，再利用对称轴为直线，得出，两式结合即可求解． 【详解】解：根据题意将代入， 得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 代入， 得， 化简得， 故答案为：． 【变式4】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： 0 1 0 0 (1)利用表格中点的坐标，在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)该二次函数图象的对称轴为________； (3)当时，的取值范围为__________． 【答案】(1)图见解析 (2)直线 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的画法，二次函数图象的性质——轴对称等性质，解决此题的关键是画出正确的二次函数图象． （1）二次函数图象的画法步骤是列表、描点、连线，此题是已经给出列表，只需要进行后两步即可． （2）根据二次函数的具有轴对称型，求出对称轴即可． （3）根据图象可知，时，对称轴包含在内，所以可得最小值为，求出答案即可． 【详解】（1）解：如图所示为所画的函数图象； （2）由图象可知，二次函数与x轴交于两点 ∴二次函数图象的对称轴为直线． 故答案为：直线． （3）由图可知，最小值为，当时，， ∴． 题型03 y=ax²+bx+c的增减性 【典例1】已知二次函数，当时，随的增大而增大，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键． 根据二次函数的增减性列出不等式求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， 又∵，函数图象开口向上， ∴， 解得． 故选：D． 【变式1】已知二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性与增减性是解题关键．根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上；根据二次函数图象的对称性可判断A点的对称点 也在函数图象上，再利用对称轴右侧y随x的增大而增大，即可判断 ． 【详解】解：∵二次函数图象对称轴为，且， 点A的对称点为也在函数图象上， ∵， 当时，二次函数y随x的增大而增大， ∵， ． 故答案为：A． 【变式2】已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式组等知识点是解题关键．利用作差法建立关于和的不等式组，因为不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】解：由题得，， ， ， ， ①当时，， 或， 解得或， ， 或， 或， ， ； ②当时，， 或， 解得， ， ，解得， 综上，或． 故答案为：或． 【变式3】已知是抛物线上的点，用“”将连接起来： 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，时，函数有最大值， ∵关于对称点为，， ∴． 故答案为：． 【变式4】在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)若，当时，求y的取值范围； (3)已知，，为该抛物线上的点，若，求a的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质并分类讨论是解题的关键． （1）根据对称轴公式即可求解； （2）根据抛物线解析式为，对称轴为直线，开口向上，则时，得到的最小值，当时，直线比距离对称轴远，据此求出最大值即可； （3）根据题意得出为抛物线的顶点，，在对称轴的右侧，分当在对称轴的左侧时，当在对称轴的右侧时，列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； 即该抛物线的对称轴为直线 （2）解：∵， ∴抛物线解析式为，对称轴为直线，开口向上， ∴时，的最小值为， ∵，直线比距离对称轴远， ∴时，的最大值为， ∴当时，求y的取值范围为； （3）解：∵对称轴为直线直线， ∴当时，抛物线开口向上，函数有最小值， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， 当时，，即， ∴， 当时，，即，不合题意，舍去， ∴， ∴当时，抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴ 解得． 综上可知，a的取值范围是或． 题型04 y=ax²+bx+c的最值性 【典例1】函数的最大值和最小值分别为（   ） A．和 B．0和 C．和0 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． 由题意知，，则对称轴为直线，由，可知当时，；当时，；当时，；由，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，； 当时，；当时，； ∵， ∴， ∴函数的最大值和最小值分别为和， 故选：A． 【变式1】二次函数有（　　） A．最大值2 B．最大值1 C．最小值1 D．最小值2 【答案】C 【分析】本题考查利用二次函数顶点式求最值，先确定抛物线的开口方向，把抛物线配方变顶点式，确定顶点的最值位置即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线有最小值1， 故选：C． 【变式2】已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为 ． 【答案】的值为8或 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ①当时，即时， ，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，有最大值为6， ， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最大值为6， ， 解得：， ， （不合题意，舍去）， ③当时，即时， ，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，有最大值为6， ， 解得：， 综上所述，的值为8或． 【变式3】已知二次函数（其中x是自变量且），且时，y的最小值为1，则a的值是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求出二次函数的对称轴，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，然后分，，三种情况利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，在时，y随着x的增大而增大， 当时，y取得最小值，， ∵y的最小值为1， ∴， 解得，不合题意舍去， 当时，在时， 当时，y取得最小值，， ∵y的最小值为1， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， 此时符合题意； 当时，在时，y随着x的增大而减小， 当时，y取得最小值，， ∵y的最小值为1， ∴， 解得， 此时符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或 【变式4】已知二次函数（b、c为常数）． (1)当，时，求函数的最小值； (2)当时，函数的最小值为，求b的值； (3)当且时，函数有最小值，求二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题： （1）根据题意得到解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据题意得到解析式，再把解析式化为顶点式求出最小值，再根据最小值为建立方程求解即可； （3）先求出解析式为，则函数开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此分对称轴在直线左侧，在直线右侧，和在直线和之间三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当，时，二次函数解析式为， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为， ∵当时，函数的最小值为， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大， 当，即时，则当时，函数有最小值， ∴， 解得（舍去）； 当，即时，则当时，函数有最小值， ∴， ∴（舍去）； 当，即时，函数的最小值为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，， ∴函数解析式为． 题型05 y=ax²+bx+c的说法 【典例1】如图，已知顶点为的抛物线经过点则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．若点 在抛物线上，则 D．关于x的一元二次方程 的两根为和 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的对称性、抛物线与x轴的交点问题等知识点，熟练掌握二次函数的各种性质是解题的关键． 根据抛物线与x轴有两个交点判断出A选项结论正确，二次函数的顶点的意义判断出B选项结论正确；根据顶点坐标求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的对称性求解即可判断出C选项结论正确；根据两点与对称轴的距离以及二次函数的增减性判断出D选项结论错误； 【详解】 解：A、抛物线与轴有两个交点，， ，结论正确，故本选项不符合题意； B、∵抛物线顶点坐标为，开口向上， ∴，结论正确，故本选项不符合题意； C、， ∴点到对称轴的距离比点到对称轴的距离大， ∴，本选项结论正确，故本选项不符合题意； D、抛物线经过点， ∴关于的一元二次方程的一个根为， ∵抛物线对称轴为直线， ∴另一个根为，本选项错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①、同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，的值只能取．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用抛物线开口方向得到，抛物线对称轴在轴右侧，得到，则，即可判断①；抛物线与轴的交点为，，得到抛物线的对称轴为直线，则当和时，函数值相等，，即可判断②③；由抛物线对称性可知当时，，即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴右侧， ， ， 、异号，故①错误； 抛物线与轴的交点为，， 抛物线的对称轴为直线， 当和时，函数值相等，，故②正确； ∵， ，故③正确； 抛物线与轴的交点为，对称轴为直线， 当时，，故④错误； 故选B． 【变式2】抛物线的对称轴为，经过点，顶点为，下列四个结论：；；关于的一元二次方程的解是，；设抛物线交轴于点，不论为何值，直线始终过定点．其中一定正确的是 （填写序号）． 【答案】/④③ 【分析】对于结论：由二次函数对称轴的表达式即可推出正确结论；对于结论：由已知条件即可确定该结论是否正确；对于结论：利用轴对称的性质可求得点关于对称轴的对称点，由该两点都在抛物线上即可得出正确结论；对于结论：先求出抛物线与轴的交点及其顶点，再利用待定系数法求得直线的解析式，进而可得出正确结论． 【详解】解：对于结论： 抛物线的对称轴为， ， ， ， 故结论错误； 对于结论： 由已知条件无法推出， 故结论错误； 对于结论： 抛物线的对称轴为，经过点， 由抛物线的对称性可知，点关于对称轴的对称点也在抛物线上， 由轴对称的性质可知，该对称点的横坐标，其纵坐标为， 即：抛物线经过点， 关于的一元二次方程的解是，， 故结论正确； 对于结论： ， ， 抛物线经过点， ， ， ， 令，则， ， 当时，， 顶点， 设直线的解析式为， 将点，的坐标代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 直线始终过定点， 故结论正确； 综上所述，正确的结论有， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，求抛物线与轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，求函数值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质，以及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【变式3】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ． ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③； ④是关于x的方程的一个根； ⑤若，，均在二次函数的图象上，则； ⑥若抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界），则系数a的取值范围是． 【答案】④⑥ 【分析】此题考查掌握二次函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由二次函数的图象可得：抛物线开口向上，即， 抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，即， ∴，故①错误； 由函数图象可得：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，故②错误； ∵对称轴为直线， ∴，即，故③错误； 由图象可得抛物线与x轴的一个交点为，又对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，则是方程的一个根，故④正确； ∵，，， 且 ∴，故⑤错误； 抛物线交轴于，，则， 则 ∵抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界）， ∴，即：， ∴，故⑥正确； 综上，正确的是④⑥， 故答案为：④⑥． 【变式4】实验中学九年级（）班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数 的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数 的自变量的取值范围是 ； (2)①列表：下表是的几组对应值，其中 ， ； ②描点：根据表中的数值描点， 请补充描出点， ； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)下列关于该函数的说法，错误的是（   ） ． 函数图象是轴对称图形 ． 当时，函数值随自变量的增大而增大 ． 函数值都是非负数 ． 若函数图象经过点与， 则． (4)点与在函数图象上， 且， 则与的大小关系是 ． 【答案】(1)全体实数; (2)①，；②画图见解析；③画图见解析； (3)； (4)． 【分析】（）根据函数解析式即可求解； （）①把和代入函数解析式即可求出的值；②根据的值描点即可；③根据表中的对应值及所描点连线即可； （）根据函数图象逐项判断即可； （）根据图象可知，当时，函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大，据此即可求解； 本题考查了画二次函数的图象，二次函数的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：函数 的自变量的取值范围全体实数， 故答案为：全体实数； （2）解：①当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，； ②补充描点如下： ③图象补充完整如下： （3）解：、由函数图象可知，函数图象是轴对称图形，该选项说法正确，不合题意； 、由函数图象可知，当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大，该选项说法错误，符合题意； 、由函数图象可知，取任意实数，函数值，该选项说法正确，不合题意； 、∵函数图象关于轴对称， ∴若函数图象经过点与， 则，该选项说法正确，不合题意； 故选：． （4）解：由函数图象可知，当时，函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大， ∵， ∴， 故答案为：． 题型06 二次函数图象的平移 【典例1】抛物线向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据二次函数的平移规则“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度， 所得新抛物线的函数解析式为， 故选：B． 【变式1】抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的平移，解题关键是明确平移变化规律左加右减自变量，上加下减常数项． 根据抛物线平移变化规律左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 则平移后的解析式为：， 故选：D． 【变式2】将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键．根据“上加下减，左加右减”求出新抛物线解析式，再改为一般式即可． 【详解】解：先将抛物线先向上平移3个单位，得到的新抛物线解析式为， 再向左平移3个单位后，得到的新抛物线解析式为． 故答案为： . 【变式3】已知抛物线解析式为，把此抛物线先向左平移3各单位长度，再向下平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移方法，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据“上加下减，左加右减”的法则，得出将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后的解析式即可． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的解析式为： ． 故答案为：． 【变式4】将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数的图象． (1)________，________，________； (2)写出二次函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (3)写出二次函数随自变量的变化如何变化． 【答案】(1)，2， (2)图象开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标 (3)当时，随的增大而增大；当时，y随的增大而减小 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到， 二次函数与是同一函数， ，，， 解得，； （2）解：二次函数的解析式为， 函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：∵函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，y随的增大而减小． 题型07 二次函数的一般式化为顶点式 【典例1】若二次函数 配方后为 ，则b、k的值分别为（    ） A．， B．，5 C．4， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，把顶点式化为一般式与比较可得答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选A． 【变式1】将二次函数化成的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了把一般式化成顶点式，熟练运用配方法是解题的关键．根据配方法将一般式转化成顶点式，即可解答． 【详解】解：． 故选：A 【变式2】把二次函数化为的形式，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法，将一般式转化为顶点式，是解题的关键．把转化为顶点式，即可得解． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 【变式3】把二次函数由一般式化成顶点式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．把二次函数配方可得，推出，求出，最后根据即可求解． 【详解】解：， 二次函数由一般式化成顶点式为， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式4】已知：某个二次函数的一般式为：． (1)用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求这个二次函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)和 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数的一般式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）令求出，即可得到函数图象与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：令，即， 解得：，， ∴函数图象与轴的交点坐标为和． 题型08 二次函数的交点坐标 【典例1】抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，熟练二次函数与轴和轴的交点的求法以及仔细审题是解决本题的关键．已知二次函数的解析式，分别令，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴令，则，故与轴有一个交点， 令，则， ， ∴与轴有两个交点， 即：图象与坐标轴的交点有3个， 故选：D． 【变式1】抛物线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与坐标轴交点，熟练掌握抛物线与y轴交点的横坐标为0是解题的关键．令，求出y的值，即可得出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 故抛物线与轴的交点坐标为， 故选：B． 【变式2】二次函数与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标．熟练掌握坐标轴上点的坐标特征，是解答本题的关键．x轴上的纵坐标为0，y轴上的横坐标为0 ． 根据，求出y的值，即得函数与y轴交点坐标． 【详解】∵在中，当时，， ∴与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 【变式3】如图是二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，则它与x轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数对称性是解题的关键． 利用二次函数对称性求解即可． 【详解】解：∵二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，， ∴它与x轴的另一个交点的横坐标为：． ∴它与x轴的另一个交点的横坐标为：． 故答案为：． 【变式4】已知二次函数； (1)求出该函数图象的顶点坐标； (2)求该函数的图象与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1)顶点 (2)与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的顶点，与坐标轴交点． （1）将该二次函数表达式化为顶点式，即可解答； （2）求出当时的函数值，即可得出与y轴的交点坐标，求出当时，x的值，即可得出与x轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）解：当时，， ∴该函数与y轴相交于， 当时，， 解得：， ∴该函数与x轴的交点坐标为． 题型09 二次函数与不等式 【典例1】如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 【变式1】已知点在抛物线上，点在直线，当时，下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用：根据函数的性质画出函数的大致图象，根据图象数形结合，逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为， 抛物线与直线经过点， ， ∴抛物线开口向上，直线经过一、二、四象限， 当时，或， 当时，或，故A、B错误，不符合题意； 当时，图象位于轴的左侧，可知；故C正确，符合题意； 当时，图象位于轴的左侧，可知或；故D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】如图为和的图象，交点和，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式组，正确利用数形结合是解题的关键，结合图象得出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象得出：当时，， 故答案为：． 【变式3】若函数与x轴相交于、，且，则a的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图形的性质及二次函数与不等式，根据与x轴交点的分布，利用数形结合的思想建立不等式组求解即可． 【详解】解：， 函数与x轴相交于、，即有两个根，且， ， 解得：或， 故答案为：或． 【变式4】如图，二次函数的图象的顶点 C 的坐标为，与 x 轴交于、，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有实数根，写出实数 k 的取值范围． (4)当 时，求 y 的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查二次函数的性质和对应的方程，以及不等式的求解， （1）根据二次函数与x的交点即可求得方程的解： （2）结合二次函数的开口和x轴的交点即可求得不等式的解集； （3）结合二次函数的顶点和开口方向即可判定方程有实数根对应的取值范围； （4）结合二次函数的图象和与x轴的交点即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴的根为，； （2）解：∵，且二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵，且二次函数的图象的顶点 C 的坐标为， ∴方程有实数根， 则； （4）解：∵，且二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴当 时，则 题型10 二次函数的解析式 【典例1】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线形状、开口方向，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 根据抛物线形状、开口方向得到，根据顶点为即可得出解析式． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴， ∵抛物线顶点为， ∴抛物线解析式为，． 故选：B． 【变式1】一条抛物线的开口方向与抛物线相同，顶点为，则其解析式可能为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，根据抛物线的顶点坐标为，则抛物线的关系式为，再根据抛物线的开口方向与抛物线相同，可知即可． 【详解】∵抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的关系式为． ∵抛物线的开口方向与抛物线相同， ∴， 观察A，B，C，D四个选项，只有符合题意． 故选：A． 【变式2】已知一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可，且经过和，则这条抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，利用两点式设出函数解析式，根据两条抛物线的形状、开口方向相同，得到，即可． 【详解】解：∵抛物线经过和， ∴设抛物线的解析式为：， ∵一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可， ∴， ∴． 故答案为： 【变式3】已知抛物线与的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是的抛物线解析式是 ． 【答案】 【分析】由抛物线的顶点坐标为，可设抛物线解析式为，再根据题意确定出a的值即可. 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据所给条件灵活选用恰当的方法设出解析式是解题的关键. 【详解】解：由抛物线的顶点坐标为，可设抛物线解析式为， ∵抛物线与的图象形状相同，但开口方向不同， ∴， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：． 【变式4】根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． (1)已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； (2)已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用顶点式代入顶点坐标，进而得出答案； （2）利用一般式代入，进而计算得出答案． 【详解】（1）解：∵图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）， ∴设二次函数的解析式为：， 把（0,﹣6）代入得： ， 解得：a＝2， 故二次函数的解析式为：； （2）解：设二次函数的解析式为，把A（﹣1,0）、B（0,3），对称轴为直线x＝1代入得： ， 解得：， 故二次函数解析式为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法并根据条件设出合适的二次函数表达式是解本题的关键． 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标．根据二次函数的顶点坐标为，即它的顶点坐标在y轴上，即可解答． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∴它的顶点坐标在y轴上， ∴只有C选项中的图象符合题意． 故选：C． 2．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移规律：左加右减，上加下减．根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的函数解析式是， 故选：B． 3．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数值大小判断，根据轴对称将点转换到对称轴同一侧，结合二次函数的性质判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 抛物线的对称轴为， ∴关于的对称点为：， ∵，， ∴在对称轴右侧y随x增大而减小， ∴， 故选：C． 4．二次函数（、、为常数，）的与的部分对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 2 2 5 10 … 有如下结论： ①这个函数的图象开口向下； ②； ③这个函数的最大值为10； ④图象的对称轴为直线； 其中结论不正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 首先利用待定系数法求出函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：将，，代入 得， 解得 ∴，故②错误； ∵ ∴这个函数的图象开口向上，故①错误； ∴没有最大值，故③错误； ∵ ∴对称轴为，故④正确； 综上所述，其中结论不正确的个数是3个． 故选：C． 5．如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①，②；③：④若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的的性质及图象与系数的关系根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定④． 【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，即②错误； ∴，即①正确， 二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，即，故③正确； ∵ ∴点，关于直线对称 ∵点，均在该二次函数图象上， ∴，即④正确； 综上，正确的为①③④，共3个 故选：B． 6．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为．根据二次函数顶点式进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 7．已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由抛物线与x轴只有一个交点得到的方程的根的判别式为0，解方程即可． 【详解】解：当时，， 由题意得，， 解得：， 故答案为：1． 8．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴另一个交点坐标为，再根据二次函数与x轴交点的横坐标是与其对应的一元二次方程的解进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为， ∴关于x的一元二次方程的两根为， 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴A点坐标为． 当时，， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， ∴． 故答案为：10． 10．新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，根据新定义得出二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得出，计算即可得解． 【详解】解：由题意得：二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 11．已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标． 【答案】点的横坐标为，点的横坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图象的交点，根据题意，联立方程组求解即可． 【详解】解：根据题意，联立方程组得， ，整理，得， 解得，或， ∴交点坐标为， ∵点在点 的左侧， ∴点的横坐标为，点的横坐标为． 12．已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ (3)把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 【答案】(1)开口向上，顶点坐标 (2) (3)抛物线不过点，理由见详解 【分析】（1）二次函数中，，，，根据的判断抛物线的开口，将一般式化成顶点式即可求出顶点； （2）由（1）可知，对称轴左边是随的增大而减小，对称轴右边是随的增大而增大，由此即可求解； （3）抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位得到新的函数解析式，把代入计算，若，则点在函数上，否则不在． 【详解】（1）解：二次函数中，，，， ∵， ∴抛物线开口向上， 将一般式化成顶点式得：， ∴顶点坐标为． （2）解：∵抛物线的开口向上，对称轴直线， ∴当时，函数值随着自变量的增大而减小． （3）解：抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位得，，化简得， ∴当时，， ∴抛物线不过点． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质，平移是解题的关键． 13．如图，抛物线的顶点为，此抛物线交轴于、两点．    (1)求此抛物线的解析式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求抛物线的解析式，三角形的面积公式，熟练掌握二次函数的图象和性质推得点B的坐标是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标求得抛物线与x轴的交点坐标，根据待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）根根据点A和点B的坐标，结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， 即抛物线的对称轴为， 故点， 设抛物线的解析式为：， 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵，， ∴． 14．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，抛物线过格点A，B，C，D，其中，． (1)建立平面直角坐标系，直接写出的解析式_______； (2)用无刻度的直尺在上画一点E，使；（保留作图的痕迹，不要求说明理由） (3)将抛物线平移至，使A与B对应，直接写出的解析式______． 【答案】(1)图见详解， (2)作图见详解 (3) 【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，平移规律，数形结合是解题关键． (1)根据，写出A、B的坐标，设的解析式为：，将点A，B，D的坐标代入，解方程组即可得解； (2)作点A关于直线的对称点，连接，交直线于点E ，即可得解； (3)将 化成顶点式，根据A与B对应可得平移方式为向右平移2个单位，根据“左加右减”这一规律即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示， ，， ， 设的解析式为：， 抛物线经过点A，B，D， ， 解得， 的解析式为：， 故答案为：； （2）解：作点A关于直线的对称点，连接，交直线于点E ， 如图所示，， ， 点E即为所求； （3）解：, 将抛物线平移至，A与B对应，是将向右平移2个单位， 的解析式为， 故答案为：． 15．综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在的上方，作轴，交于点M．    (1)求抛物线的解析式； (2)当 时，求点E的坐标； (3)在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点 E的坐标为 ； (3)存在，点N的坐标为或或． 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为：，设点，则点，由，求得，即可求解； （3）先求得抛物线的对称轴为直线：，再求得，分两种情况根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得：， 解得：， ∴ 抛物线的解析式为：； （2）解： ， 设直线的解析式为：， 将点，代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则点， ， 解得：， 此时，， ∴点 E的坐标为 ； （3）解：存在， 由题意，可知抛物线的对称轴为直线： ， ∵轴，点， ∴， ∴， ∵点，， ， 由平行四边形的对边平行且相等的性质，可通过平移已知顶点来找到点N，如图：   当为边时，点由点向右平移4个单位长度， ∴点向右平移4个单位长度得到， ∴四边形是平行四边形， ∴， 点由点向左平移4个单位长度， ∴点向左平移4个单位长度得到， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当为对角线时，点由点向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度， ∴点向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到， 则四边形是平行四边形， ∴， 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定，平移的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数的图象与性质（二） 课程标准 学习目标 ①y=ax²+bx+c（a≠0，b、c为常数）的图象与性质 ②求二次函数的表达式 1. 研究二次函数一般式的图象与性质． 2. 学会把一般式化为顶点式，学会求二次函数表达式的三种方法。 知识点01 y=ax²+bx+c（a≠0，b、c为常数）的图象与性质 抛物线y=ax²+bx+c中，a、b、c的作用： 　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 　 　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. 　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 知识点02 求二次函数解表达式 用待定系数法求二次函数的解析式： 　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 要点诠释： 求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 题型01 y=ax²+bx+c的顶点坐标 【典例1】二次函数的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标为 ． 【变式3】二次函数的顶点坐标是 ． 【变式4】已知二次函数． (1)写出函数的顶点坐标 ； (2)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象． …… 0 1 …… …… 0 5 9 …… (3)根据图象回答下列问题： ①当时，的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ． 题型02 y=ax²+bx+c的对称轴 【典例1】二次函数的对称轴（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知抛物线的对称轴为直线，若关于的方程的两根分别为、，则的值为（    ） A． B．1 C．4 D．7 【变式2】抛物线的对称轴是直线 ，图象不经过第 象限． 【变式3】抛物线经过点，对称轴为直线，则 ． 【变式4】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： 0 1 0 0 (1)利用表格中点的坐标，在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)该二次函数图象的对称轴为________； (3)当时，的取值范围为__________． 题型03 y=ax²+bx+c的增减性 【典例1】已知二次函数，当时，随的增大而增大，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，则的取值范围为 ． 【变式3】已知是抛物线上的点，用“”将连接起来： 【变式4】在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)若，当时，求y的取值范围； (3)已知，，为该抛物线上的点，若，求a的取值范围． 题型04 y=ax²+bx+c的最值性 【典例1】函数的最大值和最小值分别为（   ） A．和 B．0和 C．和0 D．和 【变式1】二次函数有（　　） A．最大值2 B．最大值1 C．最小值1 D．最小值2 【变式2】已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为 ． 【变式3】已知二次函数（其中x是自变量且），且时，y的最小值为1，则a的值是 ． 【变式4】已知二次函数（b、c为常数）． (1)当，时，求函数的最小值； (2)当时，函数的最小值为，求b的值； (3)当且时，函数有最小值，求二次函数的解析式． 题型05 y=ax²+bx+c的说法 【典例1】如图，已知顶点为的抛物线经过点则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．若点 在抛物线上，则 D．关于x的一元二次方程 的两根为和 【变式1】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①、同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，的值只能取．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】抛物线的对称轴为，经过点，顶点为，下列四个结论：；；关于的一元二次方程的解是，；设抛物线交轴于点，不论为何值，直线始终过定点．其中一定正确的是 （填写序号）． 【变式3】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ． ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③； ④是关于x的方程的一个根； ⑤若，，均在二次函数的图象上，则； ⑥若抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界），则系数a的取值范围是． 【变式4】实验中学九年级（）班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数 的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数 的自变量的取值范围是 ； (2)①列表：下表是的几组对应值，其中 ， ； ②描点：根据表中的数值描点， 请补充描出点， ； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)下列关于该函数的说法，错误的是（   ） ． 函数图象是轴对称图形 ． 当时，函数值随自变量的增大而增大 ． 函数值都是非负数 ． 若函数图象经过点与， 则． (4)点与在函数图象上， 且， 则与的大小关系是 ． 题型06 二次函数图象的平移 【典例1】抛物线向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线解析式为 ． 【变式3】已知抛物线解析式为，把此抛物线先向左平移3各单位长度，再向下平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为 【变式4】将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数的图象． (1)________，________，________； (2)写出二次函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (3)写出二次函数随自变量的变化如何变化． 题型07 二次函数的一般式化为顶点式 【典例1】若二次函数 配方后为 ，则b、k的值分别为（    ） A．， B．，5 C．4， D．， 【变式1】将二次函数化成的形式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】把二次函数化为的形式，则 ． 【变式3】把二次函数由一般式化成顶点式为，则的值为 ． 【变式4】已知：某个二次函数的一般式为：． (1)用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求这个二次函数图象与轴的交点坐标． 题型08 二次函数的交点坐标 【典例1】抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】抛物线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C．和 D．和 【变式2】二次函数与y轴的交点坐标为 ． 【变式3】如图是二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，则它与x轴的另一个交点坐标为 ． 【变式4】已知二次函数； (1)求出该函数图象的顶点坐标； (2)求该函数的图象与坐标轴的交点坐标． 题型09 二次函数与不等式 【典例1】如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【变式1】已知点在抛物线上，点在直线，当时，下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式2】如图为和的图象，交点和，当时，x的取值范围是 ． 【变式3】若函数与x轴相交于、，且，则a的取值范围是 【变式4】如图，二次函数的图象的顶点 C 的坐标为，与 x 轴交于、，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有实数根，写出实数 k 的取值范围． (4)当 时，求 y 的取值范围． 题型10 二次函数的解析式 【典例1】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】一条抛物线的开口方向与抛物线相同，顶点为，则其解析式可能为（　　） A． B． C． D．或 【变式2】已知一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可，且经过和，则这条抛物线的解析式为 ． 【变式3】已知抛物线与的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是的抛物线解析式是 ． 【变式4】根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． (1)已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； (2)已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1． 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．二次函数（、、为常数，）的与的部分对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 2 2 5 10 … 有如下结论： ①这个函数的图象开口向下； ②； ③这个函数的最大值为10； ④图象的对称轴为直线； 其中结论不正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①，②；③：④若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．抛物线的顶点坐标是 ． 7．已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 8．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为 ． 10．新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ． 11．已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标． 12．已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ (3)把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 13．如图，抛物线的顶点为，此抛物线交轴于、两点．    (1)求此抛物线的解析式． (2)求的面积． 14．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，抛物线过格点A，B，C，D，其中，． (1)建立平面直角坐标系，直接写出的解析式_______； (2)用无刻度的直尺在上画一点E，使；（保留作图的痕迹，不要求说明理由） (3)将抛物线平移至，使A与B对应，直接写出的解析式______． 15．综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在的上方，作轴，交于点M．    (1)求抛物线的解析式； (2)当 时，求点E的坐标； (3)在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$