第02讲 二次函数的图象与性质（一）（4个知识点+7类题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（华东师大版）

第02讲 二次函数的图象与性质（一） 课程标准 学习目标 ①y=ax²（a≠0）的图象与性质 ②y=ax²+k（a≠0）的图象与性质 ③y=a（x-h）²（a≠0）的图象与性质 ④y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象与性质 1. 研究二次函数的图象与性质． 2. 发现从具体到抽象、从简单到复杂、从特殊到一般的过程，抓住其他图象与y=ax²（a≠0）的图象之间的联系。 知识点01 二次函数的形式 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：　　 ①；②；③；④，　其中 知识点02 二次函数的图象与性质 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) (1) 的符号决定抛物线的开口方向： 当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同 (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 题型01 四种图象的顶点坐标 【典例1】抛物线的顶点坐标（   ） A． B． C． D． 【变式1】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】抛物线的顶点坐标是 ． 【变式3】抛物线的顶点坐标是 ． 【变式4】已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 题型02 四种图象的对称轴 【典例1】抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【变式1】抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【变式2】已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【变式3】已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【变式4】已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线． (1)求、的值； (2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标． 题型03 四种图象的增减性 【典例1】若点，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线（h为常数），当自变量x满足时，与其对应的函数值y的最小值是3，则h的值是 ． 【变式3】抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是 ． 【变式4】已知抛物线． (1)若点，都在该抛物线上，试比较与的大小 (2)当时，求y的取值范围． 题型04 四种图象的最值性 【典例1】若二次函数有最小值，则a的值可以是（　　） A．9 B．6 C．0 D． 【变式1】二次函数的最小值是（ ） A． B． C． D．2 【变式2】抛物线的对称轴是 ． 【变式3】抛物线的对称轴是 ． 【变式4】在初中阶段，一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图象，并结合图象研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 m 0 3 8 … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (2)根据函数图象，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴； ②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； ④当时，x的值为1． (3)在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，并直接写出不等式的解集． 题型05 四种图象的说法 【典例1】关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的开口向上，且关于轴对称 B．它与的图象关于x轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与轴只有一个交点 【变式1】下列关于二次函数的图象说法中，错误的是（   ） A．它的对称轴是直线 B．它的图象有最低点 C．它的顶点坐标是 D．在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大 【变式2】二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法： ①它们的图象开口方向、大小相同； ②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）； ③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大； ④它们与坐标轴都有一个交点； 其中正确的说法有 ． 【变式3】已知二次函数．下列说法：①其图象的对称轴为直线；②其图象顶点坐标为③当时，随的增大而减小；④该函数与轴交点为则其中说法正确的有 （填序号）。 【变式4】初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)①列表：下表是x，y的几组对应值，其中______，______； x … 0 1 2 … y … 3 0 m 1 n 0 3 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (3)下列关于该函数的说法，错误的是（    ） A．函数图象是轴对称图形； B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大； C． 函数值y都是非负数； D．若函数图象经过点与，则 (4)点与在函数图象上，且，则a与b的大小关系是______． 题型06 四种图象的表达式 【典例1】若点，，在同一个函数的图象上，当时，，则该函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】将抛物线沿轴翻折后对应的函数解析式为 ． 【变式3】已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 【变式4】（已知对称轴和最值）已知二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为4．求二次函数的解析式． 题型07 四种图象的几何综合 【典例1】如图1，点E，F同时从矩形的顶点A出发，点E沿运动，到达点B 时暂停后继续运动，点F沿运动，E，F两点到达点C后均停止运动．已知，点E，F在矩形长边上运动时速度均为，在矩形短边上运动时速度均为，设运动时间为，的面积为，y与x 的函数关系如图2所示，则下列说法中错误的是（　　） A．n的值为16 B．当时，x的值为3或 C．段的函数解析式为 D．段的函数解析式为 【变式1】如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 【变式2】如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ． 【变式3】如图1，在中，，，点为边的中点，作，射线交边于点，设，，若与的函数图象如图2所示，且其顶点坐标为，则的值为 ． 【变式4】如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． (1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 1．图象的对称轴是y轴的二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③点，，在抛物线上，则；④若，是该抛物线上两点，则．其中正确的说法有 (     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线，交于点E，则（   ） 如图， A． B． C． D．3 6．抛物线的顶点坐标是 ． 7．对于二次函数的图象，对称轴是直线 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为 ． 9．若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是 （用“”表示）． 10．如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为 ．    11．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1) (2) 12．探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 13．已知函数是关于x的二次函数． (1)当m为何值时，该函数图象的开口向下？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当m为何值时，该函数有最小值？这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 14．已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 15．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的图象与性质（一） 课程标准 学习目标 ①y=ax²（a≠0）的图象与性质 ②y=ax²+k（a≠0）的图象与性质 ③y=a（x-h）²（a≠0）的图象与性质 ④y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象与性质 1. 研究二次函数的图象与性质． 2. 发现从具体到抽象、从简单到复杂、从特殊到一般的过程，抓住其他图象与y=ax²（a≠0）的图象之间的联系。 知识点01 二次函数的形式 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：　　 ①；②；③；④，　其中 知识点02 二次函数的图象与性质 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) (1) 的符号决定抛物线的开口方向： 当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同 (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 题型01 四种图象的顶点坐标 【典例1】抛物线的顶点坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数的顶点坐标为是解题关键．根据解析式即可确定顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴该抛物线的顶点坐标为． 故选：A． 【变式1】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为． 故选：D． 【变式2】抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据的顶点坐标为，进行判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故答案为：． 【变式3】抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为．根据二次函数顶点式进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【变式4】已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据的对称轴为直线，顶点坐标为即可得； （2）列表、描点、连线即可画图； （3）根据增减性解答即可． 【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：列表： 描点画图，得： （3）解：由抛物线开口向上，对称轴为直线， 则当随的增大而减小时，的取值范围为． 题型02 四种图象的对称轴 【典例1】抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式，可直接求出对称轴． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是记住二次函数的对称轴是直线． 【变式1】抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，涉及二次函数的对称轴是等内容，据此即可作答． 【详解】解：抛物线的对称轴是， ∴抛物线的对称轴是y轴， 故选：A． 【变式2】已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题中条件可得出抛物线的对称轴相对于直线的位置，进而可解决问题． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴不能在直线的右侧， ∴． 故答案为：． 【变式3】已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于m的不等式是解题的关键． 可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为 【变式4】已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线． (1)求、的值； (2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查函数图象的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键． （1）根据函数图象平移的性质，得到，即可得到答案； （2）根据顶点式解析式直接回答即可． 【详解】（1）解：抛物线向右平移个单位长度， 得到的抛物线解析式， 即， 又， 解得， ，． （2）解：抛物线的对称轴是，顶点坐标是． 题型03 四种图象的增减性 【典例1】若点，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求出对称轴并利用函数的增减性解答是解题的关键． 根据二次函数的对称轴为轴，二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：， 函数图象开口向上， 二次函数的对称轴为轴， 当时，随的增大而增大， ， ， 故选：． 【变式1】点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的性质．根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为y轴，开口向上 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 点关于抛物线的对称轴的对称点为 ∵ ∴． 故选：C． 【变式2】已知抛物线（h为常数），当自变量x满足时，与其对应的函数值y的最小值是3，则h的值是 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题时注意抛物线的增减性和分类讨论数学思想的运用． 由解析式可知函数在时取得最小值，时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；根据时，函数的最小值为3可分如下两种情况：①当时，时，y取得最小值3，②当时，当时，y取得最小值3，分别列出关于h的方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，根据二次函数的图象与性质，h的值不可能在1到3之间， ①当时， ∴当时，取得最小值， ∴， ∴或（舍去）， ②当时， ∴当时，取得最小值， ∴， ∴或（舍去）， 综上可得，或5． 故答案为：或5． 【变式3】抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据解析式得到抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下，则y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线，再根据自变量的取值范围推出当时，函数有最小值，据此求出最小值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线， ∵， ∴当时，当时，函数有最小值，最小值为， ∴y的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 【变式4】已知抛物线． (1)若点，都在该抛物线上，试比较与的大小 (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）根据二次函数解析式得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，从而得出当时，随的增大而增大，再结合题意即可得解； （2）由二次函数解析式得出当时，有最大值，为，再分别求出当，时的的值，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵点，都在该抛物线上，且， ∴； （2）解：∵抛物线， ∴当时，有最大值，为， 当时，， 当时，， ∴当时，． 题型04 四种图象的最值性 【典例1】若二次函数有最小值，则a的值可以是（　　） A．9 B．6 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数有最小值，可知二次项系数大于0，然后即可求得的取值范围，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：∵二次函数有最小值， ∴， 解得， 故选：A． 【变式1】二次函数的最小值是（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上， ∴顶点为 ∴当，有最小值为， 故选：A． 【变式2】抛物线的对称轴是 ． 【答案】 【分析】利用顶点式的对称轴为：，进行作答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握顶点式的对称轴为：，是解题的关键． 【变式3】抛物线的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】本题考查二次函数的性质．根据抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的对称轴． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线． 【变式4】在初中阶段，一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图象，并结合图象研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 m 0 3 8 … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (2)根据函数图象，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴； ②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； ④当时，x的值为1． (3)在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，并直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，见解析 (2)①② (3)见解析，或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把代入即可求得m的值，然后根据列表，描点，连线画出函数的图象即可； （2）观察图象即可判断； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 画出函数的图象如图： 故答案为：； （2）解：观察图象， ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴．正确； ②该函数有最小值，没有最大值．正确； ③当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．原说法错误； ④当时，x的值为1或．错误； 故答案为：①②； （3）解：由图象可知，不等式的解集为或． 题型05 四种图象的说法 【典例1】关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的开口向上，且关于轴对称 B．它与的图象关于x轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与轴只有一个交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：、由，，则它的开口向上，且关于轴对称，原选项说法正确，不符合题意； 、它与的图象关于x轴对称，原选项说法正确，不符合题意； 、由，，则它的开口向上，它的顶点是抛物线的最低点，原选项说法错误，符合题意； 、它与轴只有一个交点，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 【变式1】下列关于二次函数的图象说法中，错误的是（   ） A．它的对称轴是直线 B．它的图象有最低点 C．它的顶点坐标是 D．在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可知，函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，则函数有最小值，在对称轴左侧y随着x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：A、它的对称轴是直线，原说法正确，不符合题意； B、由二次项系数大于0可知，函数开口向上，则它的图象有最低点，原说法正确，不符合题意； C、它的顶点坐标是，原说法正确，不符合题意； D、函数开口向上，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法： ①它们的图象开口方向、大小相同； ②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）； ③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大； ④它们与坐标轴都有一个交点； 其中正确的说法有 ． 【答案】① 【分析】根据二次函数图象的特点得出答案 【详解】①因为y=3（x﹣1）2的二次项系数为3与y=3x2+1的二次项系数相同，所以开口向上且大小相同①正确.②y=3（x﹣1）2的对称轴是x=1所以错误.③y=3（x﹣1）2的开口向上且对称轴是x=1，所以当0＜x＜1时函数值y随x的增大而减小，所以错误.④y=3（x﹣1）2与坐标轴有两个交点，所以错误. 【点睛】熟练掌握二次函数图象的特点是解该题的关键. 【变式3】已知二次函数．下列说法：①其图象的对称轴为直线；②其图象顶点坐标为③当时，随的增大而减小；④该函数与轴交点为则其中说法正确的有 （填序号）。 【答案】①③④； 【分析】根据二次函数的性质直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴是抛物线的对称轴，顶点坐标为，时随的增大而增大，时随的增大而减小，与轴交点为， 故答案为：①③④； 【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质，解题的关键是熟练掌握顶点式的性质． 【变式4】初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)①列表：下表是x，y的几组对应值，其中______，______； x … 0 1 2 … y … 3 0 m 1 n 0 3 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (3)下列关于该函数的说法，错误的是（    ） A．函数图象是轴对称图形； B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大； C． 函数值y都是非负数； D．若函数图象经过点与，则 (4)点与在函数图象上，且，则a与b的大小关系是______． 【答案】(1)取任意实数 (2)；；图象见解析 (3)B (4) 【分析】（1）根据解析式直接可得答案； （2）①把代入解析式可得m的值，同理可得n的值； ②根据m、n的值描点即可； ③用平滑的曲线顺次连接各点即得图象； （3）观察函数图象，逐项判断即可得答案； （4）由可得，即知． 【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是x取任意实数； 故答案为：x取任意实数； （2）当时，， 当时，， 故答案为：，； ②补充点如图： ③用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整如上图； （3）根据函数图象可知：函数图象是轴对称图形，故A正确，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故B不正确，符合题意， 函数值y都是非负数；故C正确，不符合题意； 若函数图象经过点与，则；故D正确，不符合题意， 故答案为：B； （4）∵， ∴， ∴， ∴， 而，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象；掌握描点法画函数图象的方法，数形结合解题是关键． 题型06 四种图象的表达式 【典例1】若点，，在同一个函数的图象上，当时，，则该函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，当时，随的增大而减小，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵当时，， ∴当时，随的增大而减小， A中，当时，随的增大而增大，故不符合要求； B中，当时，随的增大而增大，故不符合要求； C中，当时，随的增大而减小，故符合要求； D中，当时，随的增大而增大，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的增减性．解题的关键在于熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 【变式1】二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，即可得到答案． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数的顶点坐标为， 二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反， 得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，得出二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反是解此题的关键． 【变式2】将抛物线沿轴翻折后对应的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征．由抛物线的顶点坐标是，可得沿轴翻折后的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，则沿轴翻折后顶点坐标是，开口向下， 新抛物线解析式是：， 故答案是：． 【变式3】已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【详解】解：抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线，抛物线关于原点中心对称， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 【变式4】（已知对称轴和最值）已知二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为4．求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】由二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为4可以得到，，从而得出答案． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为4， ，， 二次函数的解析式为：． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 题型07 四种图象的几何综合 【典例1】如图1，点E，F同时从矩形的顶点A出发，点E沿运动，到达点B 时暂停后继续运动，点F沿运动，E，F两点到达点C后均停止运动．已知，点E，F在矩形长边上运动时速度均为，在矩形短边上运动时速度均为，设运动时间为，的面积为，y与x 的函数关系如图2所示，则下列说法中错误的是（　　） A．n的值为16 B．当时，x的值为3或 C．段的函数解析式为 D．段的函数解析式为 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、矩形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，根据E、F的运动路径及对应的函数图象逐个进行判断可以得解． 【详解】解：由题意，当点B将暂停时，的面积不变，， ， 故A正确； 由题意，当时，． ∴令，则或（舍去）． 由题意，当时，， ． 当时，F在的中点，又过2秒，F到C点，此时E在的中点， ， ∴当时， ∴此时令 或（舍去） 当继续运动时变小， ∴当时，或，故B正确； 又段的函数解析式为， ∴C说法错误． 由题意，当时，E继续运动2秒即停止， ，故D正确． 故选：C． 【变式1】如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．根据点在抛物线上求出m的值，求出的长，再根据正方形的性质求出正方形的面积． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴正方形面积为∶ ． 故选C． 【变式2】如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的表达式为：，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为：，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第个正方形的边长是． 【详解】正方形的对角线在轴上 ，和关于轴对称，和关于轴对称，和关于轴对称 到轴和轴的距离相等 直线的表达式为 列方程组： 解得或 根据两点间距离公式： 设的表达式为： 在函数上 解得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 按此规律类推，第个正方形的边长为，第个正方形的边长是 故答案为：． 【变式3】如图1，在中，，，点为边的中点，作，射线交边于点，设，，若与的函数图象如图2所示，且其顶点坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质等知识．熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质是解题的关键． 设，则，由勾股定理得，，，证明，则，即，可得，将代入，可求，则，可求顶点坐标为，然后计算求解即可． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得，， 将代入得，， 解得，， ∴， ∴顶点坐标为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． (1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）画出函数的图象，求出点D的坐标，即可求解； （2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解； （3）同（2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：函数的图象如下： 抛物线是美丽抛物线时，则AC=2， ∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1）， 将点D的坐标代入得：， 解得； 故答案为：； （2）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得； 故答案为：4； （3）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了正方形的性质、二次函数的性质、新定义等，正确理解新定义、利用二次函数的性质解答，是解题的关键． 1．图象的对称轴是y轴的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．由已知可知对称轴为直线，从而确定函数解析式，再确定答案即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为y轴， 则函数对称轴为直线， 此时函数解析式为， ∴C符合题意； 故选：C． 2．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，根据顶点式的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：B． 3．关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③点，，在抛物线上，则；④若，是该抛物线上两点，则．其中正确的说法有 (     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：∵中二次项的系数为 ∴抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点为原点，故①正确； ∵抛物线开口向下，顶点为原点， ∴当时，在抛物线的左边，y随x的增大而增大； 当时，在抛物线的右边，y随x的增大而减小； ∴当时，在抛物线的右边，y随x的增大而减小，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当点离对称轴越远，其函数值越小； ∵，，， ∴， ∴点离对称轴最远，其次为点，点离对称轴最近， ∴，故③错误； ∵，是该抛物线上两点， ∴两点关于轴对称， ∴即，故④正确， 综上，正确的说法有①②④．共有3个． 故选：C． 4．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握当抛物线开口向下时，离对称轴越远的点的纵坐标越小是解题的关键． 由题意可知，二次函数的图象的对称轴为直线，开口方向向下，再根据离对称轴越远的点的纵坐标越小即可得出答案． 【详解】解∶由题意可知， 二次函数的图象的对称轴为直线，开口方向向下，则离对称轴越远的点的纵坐标越小， ∵点A离对称轴最远，点B离对称轴最近， ． 故选∶C． 5．如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线，交于点E，则（   ） 如图， A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．设A点坐标为，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出的长度，再根据轴，利用的解析式求出D点的坐标，然后利用求出点E的坐标，从而得到的长度，然后求出比值即可得解． 【详解】解：设A点坐标为，， 则，解得， ∴点B， ∴点C， ∵轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点E的纵坐标为3a， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 6．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，的顶点坐标是．根据题目中的解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标． 【详解】解：的顶点坐标是， 故答案为：． 7．对于二次函数的图象，对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，学会通过顶点式得到对称轴是本题的关键，属于基础题型． 直接由顶点式可以得到对称轴． 【详解】解：由得，二次函数图象的对称轴为直线， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴A点坐标为． 当时，， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， ∴． 故答案为：10． 9．若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是 （用“”表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得二次函数图象开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远，函数值越大，据此计算出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵、、为二次函数的图象上的三点，且， ∴， 故答案为：． 10．如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为 ．    【答案】 【分析】考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可． 【详解】解：是正方形， 与轴的夹角为， 的解析式为， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ∴ 依此类推，则正方形的边长为． 故答案为：． 11．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1) (2) 【答案】(1)开口方向：向上；对称轴：直线；顶点： (2)开口方向：向下；对称轴：直线；顶点： 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，理解二次函数的性质是解题的关键． （1）根据的符号直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标． （2）根据的符号直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为：直线；顶点坐标是：； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为：直线；顶点坐标是：． 12．探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 【答案】①向上；②；③；④3， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，有最小值， 令，则， 图象与轴的交点坐标为， 故答案为：①向上；②；③；④3，． 13．已知函数是关于x的二次函数． (1)当m为何值时，该函数图象的开口向下？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当m为何值时，该函数有最小值？这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是二次函数的定义与性质，一元二次方程的解法； （1）根据二次函数的定义可得且，求解的值后结合二次函数的性质可得答案； （2）结合（1）的结论，根据二次函数的性质可得答案； 【详解】（1）解：∵是关于x的二次函数， 且， 解得或，即m的值为7或. 当时，，函数图象开口向下， ∴当m为时，函数图象开口向下，此时当时，y随着x的增大而减小； （2）解：当时，，函数图象开口向上，函数有最小值， ∴当m为7时，函数有最小值，当时，y随着x的增大而增大． 14．已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 【答案】 【分析】根据题意得出对称轴为直线，在时，当时取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时取得最大值， ∴ 解得： 15．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或或． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解： 直线过点， ， ， ， ， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 顶点坐标为， 对称轴为直线， 过点作于点， 在中，． ①当时，设， 在中， 解之得 ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得：， ， ； ③当时，， ，． 综上所述：点的坐标为或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 $$