精品解析：福建省福州屏东中学2024-2025学年上学期十月适应性练习 九年级数学

福州屏东中学2024-2025学年第一学期十月适应性练习 九年级数学 （全卷共4页，三大题，25小题；满分150分；考试时间120分钟） 友情提示：所有答案都必须写在答题卡对应区域内，答在本试卷上无效． 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 对于一元二次方程，根的判别式中的b表示的数是（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式，根的判别式中的表示的是一次项系数，即可求解． 【详解】解：根的判别式中的表示一元二次方程的一次项系数． 故选：C． 3. 如图，在△ABC中，∠C=20°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于点F，则∠AFB的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得∠CAE=60°，再利用三角形内角和定理计算出∠AFC=100°，然后根据邻补角的定义易得∠AFB=80°． 【详解】∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE， ∴∠CAE=60°， ∵∠C=20°， ∴∠AFC=100°， ∴∠AFB=80°． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 4. 如图，在中，，且DE分别交AB，AC于点D，E，若，则△和△的面积之比等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论． 【详解】∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB， ∴△ADE∽△ABC， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 5. 下列说法，正确的是（ ） A. 优弧大于劣弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 直径所对圆周角是直角 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键. 根据圆的有关概念进行逐项辨析即可得解. 【详解】A、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故该选项错误； B、平分弦的直径，当被平分的弦是直径时，直径不垂直于弦，故该选项错误； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项错误； D、直径所对圆周角是直角，故该选项正确； 故选：D． 6. 勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， 即， ∴． ∴该角度可以为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，图形的旋转，等边三角形的性质，熟练掌握弧，弦，圆心角的关系是解题的关键． 7. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由根与系数的关系可知，以，为根的一元二次方程是， 故选A． 考点：根与系数的关系． 8. 如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程的一个解只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数与一元二次方程，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次函数的图象以及图象上的两点可知，方程的一个解满足，进而得到方程的一个解满足，即可作答． 【详解】解：二次函数的图象上有两点分别为，， 方程的一个解满足， 方程的一个解满足，即, 只有A选项符合题意， 故选：A． 9. 如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为10，轮子的吃水深度为3，则该桨轮船的轮子半径为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理求的长，设该桨轮船的轮子半径为，利用勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：由垂径定理，得， 设该桨轮船的轮子半径为， 在中，，， 由，得 ， 解得， ∴该桨轮船的轮子半径为， 故选：B． 10. 已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，不等式的解法等知识点，由二次函数的性质可确定出a的范围，能够得出关于a的不等式，并正确求解不等式是解题关键． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵在时，y随x的增大而增大， ∴， 解得， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若是关于x的方程的解，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解．把代入方程，从而可得答案． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的 坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键． 13. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=_________． 【答案】 【解析】 【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点， ∴AB=AD=1,∠BAD=∠CAE=90°， ∴BD===. 故答案为:. 14. 如图，内接于，是的直径，，则___________°． 【答案】50 【解析】 【详解】本题考查了圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 根据是的直径，则，从而有，从而求得的度数，再根据圆周角定理即可求解． 【解答】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：50． 15. 某商品原价100元，连续两次打折后售价为81元，若每次所打折扣相同，则这件商品每次打__________折． 【答案】九 【解析】 【分析】根据题意列出一元二次方程并解方程即可； 【详解】解：设这件商品每次打x折， 依题意得：100×（）2＝81， 解得：x1＝9，x2＝﹣9（不合题意，舍去）， 即这件商品每次打九折销售． 故答案为：九． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 16. 如图，为的直径，弦于点O，分别以，所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，直线与交于点A，E，若的半径为5，则弦的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质．利用一次函数的性质求得，，利用勾股定理得到，证明，据此求解即可． 【详解】解：设弦交于点，连接， 对于直线， 令，， 令，则，解得， ∴，， ∴，， 则， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）利用因式分解法求解即可； （2）先整理，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∴，即， ∴，， 解得，． 18. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，且满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，求DB的长. 【答案】3 【解析】 【分析】根据∠ACD=∠ABC，∠A是公共角，得出△ACD∽△ABC，再利用相似三角形的性质进而得出AB的长，求出答案即可． 【详解】∵∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠CAD， ∴△ADC∽△ACB. ∴， ∵AC=2，AD=1， ∴， ∴AB=4， ∴DB=AB-AD=3. 【点睛】考点：相似三角形的判定和性质. 19. 已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式，解题的关键是熟练掌握方程有实数根的条件是：判别式大于或等于0． 根据方程有实数根的条件，建立关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵，，，方程有实数根， ∴ ∴． 20. 已知二次函数中的x，y的部分对应值如下表． x … 0 1 2 … y … 4 0 m … （1）请你根据上述信息求出该二次函数的解析式； （2）关于x的一元二次方程的解为______． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、解一元二次方程等知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：将，，代入得 ，解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：解方程， 即， ∴，， 解得，． 故答案为：，． 21. 如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ，， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由平行线的性质可得：，，根据，可得，进而得到，即可证明； （2）连接，由是的直径，可得，结合，得到，根据垂径定理可得：，进而得到，，推出，，根据等腰直角三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 是的直径， ， ， ，即， ， ， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关性质． 22. 如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式； （2）拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 【答案】（1）； （2）不能，理由如下： 当时，， 故不能行驶宽2.5米、高米的消防车辆． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）根据所建坐标系知顶点和与轴交点的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是； （2）根据对称性当车宽米时，或，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论． 【小问1详解】 解：∵，． ∴设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数解析式为， 即. 【小问2详解】 略． 23. 已知：如图，在中，，把绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为点． （1）求作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 即为所求，如图： （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质、作一个角等于已知角，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为，且把绕点按顺时针方向旋转，即先作出，再结合旋转性质，，以点C为圆心，为半径画弧交射线于一点，即为点，结合旋转性质，，分别以点D为圆心，的长为半径，以点C为圆心，的长为半径，画弧交于一点，即为点，再连接，即可作答； （2）根据旋转性质得出，证明是等边三角形，推出在同一直线上，再结合线段关系运算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，连接，， ∵把绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为点． ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴在同一直线上， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）若抛物线经过点，求a的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，设点，是抛物线上两个不同点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是，代入函数解析式，经过化简得到，再根据即可求得答案； （3）由（2）知，抛物线图象开口向上，对称轴为，由，结合点，是抛物线上两个不同点，可得，两点关于直线对称，即轴，易得，根据，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意：，即， 解得：； 【小问2详解】 解：设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是， 代入解析式可得：． ∴两式相加可得： ∴， ∵， ∴， 同号， 当 解得：， 当， 解得，不等式组无解， ； 【小问3详解】 解：由（2）知， 抛物线图象开口向上，对称轴为， ，即，且，是抛物线上两个不同点， ，两点关于直线对称， 轴， ， ， ∵ ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，二次函数的对称性，二次函数与不等式熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 25. 九年级数学小组以“等腰直角三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． 【提出问题】如图1，和都是等腰直角三角形，，连接、，通过探究得到、存在某种数量关系，具体探究过程如下： 【探究问题】（1）将图1“特殊化”，如图2所示，当点D在的延长线上，请直接写出此时、数量的关系为______． 【解决问题】（2）将问题“一般化”，如图1所示，在探索中发现，将绕点B旋转过程中，、数量的关系始终不发生变化，请你利用图1帮助小组完成解答过程； 【扩展应用】（3）如图3，和均为等腰直角三角形，，，点P在上，试问：是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）不变，理由如下， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴，则， ∴； （3）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，则，再根据等腰直角三角形的判定与性质证明是等腰直角三角形，进而得到即可求解； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，，进而证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可； （3）先由特殊位置得到点M的运动轨迹：当P与C重合时，等腰直角为等腰直角，当点P与点A重合时，等腰直角为等腰直角，连接，利用等腰直角三角形的性质推导出点M在与直线成的线段上运动，由于，则延长至，使得，连接、，则，当、M、B共线时取等号，此时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求得即可． 【详解】解：（1）， 如图，过A作于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则， 故答案为：； （2） 略 （3）如图，当P与C重合时，等腰直角为等腰直角，当点P与点A重合时，等腰直角为等腰直角，连接， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 则点B、C、共线， ∴，， ∴， ∴点M在与直线成的线段上运动， ∵， 故延长至，使得，连接、，则，当、M、B共线时取等号，此时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴， 故的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、最短路径问题、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，利用相似三角形的性质寻找线段间的数量关系，找到点M的运动路线是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州屏东中学2024-2025学年第一学期十月适应性练习 九年级数学 （全卷共4页，三大题，25小题；满分150分；考试时间120分钟） 友情提示：所有答案都必须写在答题卡对应区域内，答在本试卷上无效． 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于一元二次方程，根的判别式中的b表示的数是（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 如图，在△ABC中，∠C=20°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于点F，则∠AFB的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，且DE分别交AB，AC于点D，E，若，则△和△的面积之比等于（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法，正确的是（ ） A. 优弧大于劣弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 直径所对圆周角是直角 6. 勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程的一个解只可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为10，轮子的吃水深度为3，则该桨轮船的轮子半径为（ ） A. B. C. D. 6 10. 已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若是关于x的方程的解，则m的值为______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 13. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=_________． 14. 如图，内接于，是的直径，，则___________°． 15. 某商品原价100元，连续两次打折后售价为81元，若每次所打折扣相同，则这件商品每次打__________折． 16. 如图，为的直径，弦于点O，分别以，所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，直线与交于点A，E，若的半径为5，则弦的长为______． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，且满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，求DB的长. 19. 已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 20. 已知二次函数中的x，y的部分对应值如下表． x … 0 1 2 … y … 4 0 m … （1）请你根据上述信息求出该二次函数的解析式； （2）关于x的一元二次方程的解为______． 21. 如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式； （2）拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 23. 已知：如图，在中，，把绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为点． （1）求作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，若，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）若抛物线经过点，求a的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，设点，是抛物线上两个不同点，且，求的取值范围． 25. 九年级数学小组以“等腰直角三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． 【提出问题】如图1，和都是等腰直角三角形，，连接、，通过探究得到、存在某种数量关系，具体探究过程如下： 【探究问题】（1）将图1“特殊化”，如图2所示，当点D在的延长线上，请直接写出此时、数量的关系为______． 【解决问题】（2）将问题“一般化”，如图1所示，在探索中发现，将绕点B旋转过程中，、数量的关系始终不发生变化，请你利用图1帮助小组完成解答过程； 【扩展应用】（3）如图3，和均为等腰直角三角形，，，点P在上，试问：是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $