第1章 板块综合融会 构造法求数列通项公式问题（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）  

板块综合融会　构造法求数列通项公式问题 (习题课—小结评价式教学) 数列构造法是一种常用的数学解题方法，通常用于解决一些看似复杂或难以直接解决的问题，其核心思想是将原问题转化为一个数列问题，通过数列的性质规律求解． CONTENTS 目录 1 2 3 融通点(一)　形如an＋1＝Aan＋B的递推关系求通项公式 融通点(二)　形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式 4 课时跟踪检测 融通点(一)　形如an＋1＝Aan＋B的递推关系求通项公式 01 方法技巧 对于形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)的递推关系的递推数列，即数列相邻的次数都是一次，尾巴上有一个常数，求此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化为an＋1＋k＝A(an＋k)求解． 1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，求数列{an}的通项公式． 解：∵an＋1＝2an＋2， ∴an＋1＋2＝2(an＋2)，又a1＋2＝4， ∴{an＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴an＋2＝4×2n－1， ∴an＝2n＋1－2(n∈N＋)． 针对训练 融通点(二)　形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式 02 [例2]　已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． [变式拓展] 本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余不变，求数列{an}的通项公式． 方法技巧 2．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2×3n＋1，n∈N＋，求数列{an}的通项公式． 针对训练 03 所以an≠0， 方法技巧 针对训练 故{bn}的通项公式为bn＝2n＋1－3. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 √ 1．数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则此数列第5项是(　 ) A．15 B．255 C．16 D．63 解析：∵an＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则an＋1＝4n－1.∴an＝4n－1－1，∴a5＝44－1＝255.故选B． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 an＝3×2n－1－1 则有an＋1＝2an＋1，于是得an＋1＋1＝2(an＋1)，而a1＋1＝3， 因此数列{an＋1}是首项为3，公比为2的等比数列， 则有an＋1＝3×2n－1，即an＝3×2n－1－1， 所以数列{an}的通项公式是an＝3×2n－1－1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4．数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an＋3n＋1，则通项公式an＝_________. 解析：∵an＋1＝an＋3n＋1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5．已知数列{an}满足：a1＝1，且an＝2an－1＋2n－1(n≥2，n∈N)，则an＝________. n·2n－1 ∴an＝n·2n－1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7．已知数列{an}满足a1＝1,3an＋1an＝an－an＋1，则通项公式an＝________. 解析：∵3an＋1an＝an－an＋1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 －254 即S1＝－2，S1－2＝－4， 所以{Sn－2}是以－4为首项，2为公比的等比数列， 所以Sn－2＝－4×2n－1，即Sn＝2－2n＋1， 所以S7＝2－28＝－254. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10．在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且对任意的n∈N＋，都有an＋2＝3an＋1－2an，则数列{an}的通项公式为___________． 解析：由an＋2＝3an＋1－2an，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)． 又a1＝1，a2＝3， 所以a2－a1＝2≠0， 所以{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列， an＝2n－1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 所以an＋1－an＝2n， 所以an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，n≥2， 因为a1＝1符合上式， 所以an＝2n－1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2,3Sn＝an＋1－2n＋2＋2(n∈N＋)． (1) n∈N＋时，写出an＋1与an之间的递推关系； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)因为3Sn＝an＋1－2n＋2＋2　①， 所以当n≥2时，3Sn－1＝an－2n＋1＋2　②， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 ①－②得3an＝an＋1－an－2n＋1(n≥2)， 即an＋1＝4an＋2n＋1 (n≥2)， 在①中，令n＝1得a2＝3a1＋23－2＝12＝4a1＋22，也符合上式， 所以an＋1＝4an＋2n＋1. (2)因为an＋1＝4an＋2n＋1，则an＋1＋2n＋1＝4(an＋2n)，且a1＋2＝4≠0， 所以数列{an＋2n}是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以an＋2n＝4n，故an＝4n－2n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3且Sn＋Sn＋1＝2n2＋6n＋3，n∈N＋. (1)求S9的值； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)因为Sn＋Sn＋1＝2n2＋6n＋3， 所以Sn＋2＋Sn＋1＝2(n＋1)2＋6(n＋1)＋3. 两式相减，得an＋2＋an＋1＝4(n＋2)，n∈N＋. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)由(1)知an＋2＋an＋1＝4(n＋2)①，可得an＋an＋1＝4(n＋1)②，n≥2. 因为a1＝3，S2＋S1＝11， 所以a2＝5，又S3＋S2＝23＝2a1＋2a2＋a3， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 所以a3＝7.又由①②得an＋2－an＝4，n≥2. 所以a2n＝a2＋4(n－1)＝4n＋1，即an＝2n＋1，n为偶数， 则当n≥3，且为奇数时，an＝4(n＋1)－an＋1＝4(n＋1)－[2(n＋1)＋1]＝2n＋1， 又a1＝3，a3＝7符合上式，综上得an＝2n＋1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 融通点(三)　形如an＋1＝(A，B，C为常数)的递推关系求通项公式 ∴数列{an－1}是首项为－，公比为的等比数列． ∴an－1＝－×n－1， ∴an＝1－×n－1. [例1]　已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝(an＋1)，求通项公式an. 解：∵an＋1＝an＋， ∴an＋1－1＝(an－1)． 又a1－1＝－. 解：因为an＝2an－1＋2n(n≥2)，等式两边同时除以2n，得＝＋1， 即－＝1，又＝， 所以是以为首项，1为公差的等差数列， 即＝＋(n－1)×1，所以an＝×2n. 解：等式两边同时除以2n，得＝＋2， 即－＝2，又＝， 所以是以为首项，2为公差的等差数列， 所以＝＋(n－1)×2，即an＝×2n. 形如an＝pan－1＋pn(p≠0且p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤 第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来． 第二步：写出数列的通项公式． 第三步：写出数列{an}的通项公式．　　 解：由an＋1＝3an＋2×3n＋1，得＝＋2， ∴－＝2，又＝1， 即数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴＝2n－1，得an＝(2n－1)·3n. 融通点(三)　形如an＋1＝(A，B，C为常数)的递推关系求通项公式 [例3]　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式an＝________. 解析：因为an＋1＝，a1＝1， 所以＝＋，即－＝. 又a1＝1，则＝1， 所以是以1为首项，为公差的等差数列． 所以＝＋(n－1)×＝＋. 所以an＝. 形如an＋1＝(A，B，C为常数且A≠0)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．　　 则＝3n－1，an＝. 3．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝，则数列an＝________. 解析：由an＋1＝可得＝＋3， 所以数列是等差数列，且首项为2，公差为3， 4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，bn＝，求{bn}的通项公式． 解：数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)， 所以＝＋3， 所以＋3＝2，又＋3＝4， 故是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以＝2n＋1－3. 2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，则a20＝(　 ) A． B． C． D． 解析：因为an＋1＝，则＝＝＋1，又＝，故是首项为，公差为1的等差数列.＝＋n－1＝n－，an＝，a20＝.故选B． 3．若正项数列{an}满足a1＝2，a＝4a＋4an＋1，则数列{an}的通项公式是_________________． 解析：在正项数列{an}中，a＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2， n2－ ∴an＋1－(n＋1)2＋＝an－n2＋， ∴数列为常数列，又a1＝1，则a1－＋＝0， ∴an＝n2－. 解析：由题设，＝＋(n≥2)，即－＝(n≥2)，而＝， ∴是首项、公差均为的等差数列，即＝＋(n－1)＝， 6．已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝，则数列{an}的通项公式为an＝________. 解析：因为an＋1＝， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以＝n，an＝. 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以＝n，an＝. ∴－＝3，且＝1， ∴是以1为首项，3为公差的等差数列， ∴＝1＋(n－1)·3＝3n－2，∴an＝. 8．已知数列{an}的首项是a1＝1，且an＋1＝，则数列{an}的通项公式为____________． an＝ 解析：由an＋1＝，即(n＋1)an＋1＝nan， 故数列{nan}为常数列，a1＝1，即nan＝1，an＝. 9．记Sn为数列{an}的前n项和，若an＝－1，则S7＝________. 解析：由已知an＝－1，得Sn－Sn－1＝－1， 所以Sn－2＝2(Sn－1－2)(n≥2)，又a1＝－1， 所以S9＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a8＋a9)＝3＋4[(1＋2)＋(3＋2)＋…＋(7＋2)] ＝3＋4×＝99. 13．在数列{an}中， a1＝4且 an＋1＝，求数列{an}的通项公式． 解：由an＋1＝两边减去1得， an＋1－1＝－1＝， 两边取倒数得，＝＝＝＋·， 两边同加得，＋＝＋·＝·， 由a1＝4，则＋＝≠0，所以有＝， 故是以为首项，为公比的等比数列． 所以＋＝·n－1， 故an－1＝， 解得an＝. $$