2.2.1 直线的点斜式方程（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）  

直线的点斜式方程 2.2.1 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1 ．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程． 2．了解直线的斜截式方程与一次函数的关系． 3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关问题． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一)直线的点斜式方程 名称 点斜式方程 已知条件 直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k 示意图 方程形式 ___________________________________________ 适用条件 斜率存在 y－y0＝k(x－x0) 微点助解 (1)构成直线的要素有两个：一个点和一个方向，点斜式方程是这两个要素的直接反映． (2)当倾斜角为90°时，直线没有斜率，点斜式方程不存在． (3)由点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中能观察到，直线过定点(x0，y0)，斜率为k. 基点训练 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．若直线l过点(－1,1)且斜率为1，则直线l的方程为(　 ) A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0 C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0 解析：直线l的斜率为1，又直线l过点(－1，1)，则直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0. √ (二)直线的斜截式方程   斜截式 已知条件 经过点(0，b)且斜率为k 图示 方程形式 ____________________________ 适用条件 斜率存在 y＝kx＋b 微点助解 (1)b为直线l在y轴上的截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零． (2)斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到． (3)当k≠0时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． (4)斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． (5)斜截式是点斜式的特殊情况，在方程y＝kx＋b中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距． 基点训练 1．直线l在y轴上的截距为2，且斜率为－1，则该直线方程为(　 ) A．y＝－x＋2 B．y＝x＋2 C．y＝x－2 D．y＝－x－2 √ 2．直线y＝x＋3在y轴上的截距为____． 解析：由直线的斜截式可得， 直线y＝x＋3在y轴上的截距为3. 3 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　写出下列直线的点斜式方程． (1)过点A(－4,3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1,2)，且与y轴平行； (4)过点D(2,1)和E(3，－4)． 解：(1)由点斜式方程可知， 所求直线方程为y－3＝3[x－(－4)]． 题型(一)　直线的点斜式方程 (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1， 故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]． (3)∵直线与y轴平行， ∴斜率不存在， ∴直线的方程不能用点斜式表示． 由于直线上所有点的横坐标都是－1， 故这条直线的方程为x＝－1. (4)∵直线过点D(2,1)和E(3，－4)， 故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2)． 求直线的点斜式方程的思路 方法技巧 针对训练 (2)∵与x轴垂直的直线，其斜率不存在， ∴直线的方程为x＝0. (3)∵直线的倾斜角是120°， [例2]　写出下列直线的斜截式方程： (1)直线的斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2. 解：(1)由直线的斜截式方程可知， 所求方程为y＝3x－3. 题型(二)　数列的递推公式及应用 题型(二)　直线的斜截式方程 (3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2， ∴直线过点(4,0)和(0，－2)． 直线的斜截式方程的求解策略 (1)求直线的斜截式方程只要分别把直线的斜率和在y轴上的截距代入方程即可． (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．　　 方法技巧 针对训练 (2)由题意，直线倾斜角是135°，截距是3， 所以斜率为k＝tan 135°＝－1. 当直线在y轴上的截距为3时，直线的斜截式方程为y＝－x＋3； 当直线在x轴上的截距为3时，直线的方程为y＝－(x－3)， 所以直线的斜截式方程为y＝－x＋3. 综上，直线的斜截式方程为y＝－x＋3. [例3]　已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 解：(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)， 由直线的点斜式方程可知，直线恒过定点(－2,1)． 题型(三)　含参数的直线方程的几何特征 (2)设y＝f(x)＝kx＋2k＋1， 因为当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 对于含参数k的直线方程y－y0＝k(x－x0)，该直线恒过定点(x0，y0)．　　   方法技巧 针对训练 所以无论a为何值，直线l必经过第一象限． 若直线l不经过第二象限， 则直线l的斜率kl≥3，即a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，＋∞)． 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ A级——综合提能 1．方程y＝k(x－2)表示(　 ) A．通过点(－2,0)的所有直线 B．通过点(2,0)的所有直线 C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 解析：易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4．已知直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点(　 ) A．(1,3) B．(－1，－3) C．(3,1) D．(－3，－1) 解析：直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5．已知直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有(　 ) A．k1<k2且b1<b2 B．k1<k2且b1>b2 C．k1>k2且b1>b2 D．k1>k2且b1<b2 解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知90°<α1<α2<180°，所以k1<k2，又b1<0，b2>0，所以b1<b2.故选A． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是____________________________． 解析：因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 又因为在y轴上的截距为－6， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7．已知直线y＝kx＋b，当x∈[－3,4]时，y∈[－8,13]，则此直线的方程为_______________________(写成直线的斜截式方程形式)． 解析：当k>0时，函数y＝kx＋b单调递增， y＝3x＋1或y＝－3x＋4 解得k＝－3，b＝4，直线方程为y＝－3x＋4； k＝0时，不满足题意． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴其倾斜角α＝120°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9．已知直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程． 解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，经检验符合题目要求． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2. 当k＝0时，显然不符合题意； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 综上所述，直线l的方程为x＝2或x－2y＋2＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——应用创新 10．[多选]下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a不可能正确的是(　 ) √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A、B、C、D都不成立； ②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A、B、C、D都不成立； ③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11．在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的点斜式方程为(　 ) A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3) C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12．过点(－1,1)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为________________________． 解析：由题意可知，直线斜率存在且不为0， 设直线方程为y－1＝k(x＋1)，令x＝0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，求实数k的取值范围． 解：由题意知，该直线在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：(1)如图，A(1,1)，B(5,1)，可知直线AB平行于x轴， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)由(1)可知kAC＝－1， 可得直线AC的方程为y－1＝－1(x－1)，即lAC：x＋y－2＝0， 将y＝0代入，即求得C点坐标为(2,0)． 化简得lBC：x－3y－2＝0. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝.(　 ) (2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．(　 ) (3)直线y－2＝3(x＋1)的斜率是3.(　 ) ∴斜率k＝＝－5. 1．求满足下列条件的直线的点斜式方程． (1)过点P(－3，－1)，斜率k＝； (2)过点P(0,5)，且与x轴垂直； (3)过点P(，1)，倾斜角是120°. 解：(1)∵直线过点P(－3，－1)，斜率k＝， ∴直线的点斜式方程为y＋1＝(x＋3)． ∴k＝tan 120°＝－.又直线过点P(，1)， ∴直线的点斜式方程为y－1＝－(x－)． (2)∵k＝tan 60°＝， ∴所求直线的斜截式方程为y＝x＋5. ∴k＝＝， ∴所求直线的斜截式方程为y＝x－2. 故直线l的方程是y＝x＋4. 2．如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝x＋2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是____________． y＝x＋4 解析：直线y＝x＋2的斜率为，在y轴上的截距为2， 则直线l的斜率为，在y轴上的截距为4， 3．根据下列条件求直线的斜截式方程： (1)斜率是，截距是－2； (2)倾斜角是135°，截距是3. 解：(1)由题意，当直线在y轴上的截距为－2时，直线的斜截式方程为y＝x－2； 当直线在x轴上的截距为－2时，直线的方程为y＝(x＋2)， 即直线的斜截式方程为y＝x＋.综上， 直线的斜截式方程为y＝x－2或y＝x＋. 需满足即 解得－≤k≤1， 所以实数k的取值范围是. 4．已知直线l：y＝ax＋. (1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限； (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解：(1)证明：因为y＝ax＋＝a＋， 所以直线l恒过定点.因为点位于第一象限， (2)设A，则直线OA的斜率kOA＝＝3. 2．已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为(　 ) A．9 B．－9 C． D．－ 解析：由y＋＝(x－1)，得y＝x－9，∴l在y轴上的截距为－9. 3．已知直线方程为y＝－x＋2，则直线的倾斜角为(　 ) A． B． C． D． 解析：设直线y＝－x＋2的倾斜角为θ，可知tan θ＝k＝－1 ，又 0≤θ<π，所以θ＝. y＝x－6或y＝－x－6 所以直线的斜率为或－. 所以直线的斜截式方程是y＝x－6或y＝－x－6. 则解得k＝3，b＝1，直线方程为y＝3x＋1； 当k<0时，函数y＝kx＋b单调递减，则 8．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(，－1)；(2)在y轴上的截距是－5. 解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－， 由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°， 故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝. (1)∵所求直线经过点(，－1)，斜率为， ∴所求直线方程是y＋1＝(x－)， 即x－3y－6＝0. (2)∵所求直线的斜率是， 在y轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y＝x－5， 即x－3y－15＝0. 当k≠0时，令y＝0，得x＝， 由三角形的面积为2，得××2＝2，解得k＝， 故直线l的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0. 解析：设线段OB的中点为M，连接AM，因为|AO|＝|AB|，则AM⊥x轴，则点M(1,0)，故点B(2,0)，所以直线AB的斜率为k＝＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)． y＝－x或y＝－x＋ 解得y＝k＋1；令y＝0，解得x＝－. 由题意可得－＝2(k＋1)， 解得k＝－1或k＝－， 所以直线方程为y＝－x或y＝－x＋. 即解得k≥.所以实数k的取值范围是. 14．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1,1)，B(5,1)，点C在x轴上，且∠CAB＝. (1)求直线AC的斜率； (2)求直线BC的方程． 已知点C在x轴上且∠CAB＝， 可知直线AC与x轴非负半轴所夹角度为， 即直线AC的倾斜角为， 故直线AC的斜率kAC＝tan＝－1. 已知B(5,1)，kBC＝＝， 可得直线BC的方程为y－0＝(x－2)， $$