1.3.1 等比数列及其通项公式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）  

1.3.1 等比数列及其通项公式 (概念课—逐点理清式教学) CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　等比数列的有关概念 逐点清(二)　等比数列的通项公式 逐点清(三)　等比数列的判定与证明 4 课时跟踪检测 5 逐点清(四)　等比数列的实际应用 逐点清(一)　等比数列的有关概念 01 多维度理解 一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的___一项之___都等于_________常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的_____．公比通常用字母q表示(q≠0)． 2 前 比 同一个 公比 微点助解 对等比数列概念的理解 (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0. (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．“每一项与它的前一项之比都等于同一个常数”，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒． (3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第n(n>3，n∈N＋)项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，那么此数列不是等比数列． (4)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，那么此数列不是等比数列． (5)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．当常数列是各项都为0的数列时，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，它是等比数列． 细微点练明 √ 解析：①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列； ②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； ③中，当a＝0时，不是等比数列； ④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列．故选A． √ 2．数列1,1,1，…，1，…必为(　 ) A．等差数列，但不是等比数列 B．等比数列，但不是等差数列 C．既是等差数列，又是等比数列 D．既不是等差数列，也不是等比数列 解析：数列1,1,1，…，1，…是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列．故选C． 3．判断下列数列是否为等比数列． (1)1,3,32,33，…，3n－1，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，…. 解：(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∴数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∴此数列不是等比数列． (3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 逐点清(二)　等比数列的通项公式 02 多维度理解 a1qn－1 a与b的等比中项 ab 微点助解 (1)在等比数列{an}中，任取相邻的三项an，an＋1，an＋2，则an＋1是an与an＋2的等比中项．如在等比数列1,2,4,8，…中，2n是2n－1与2n＋1的等比中项(n∈N＋)． (2)“a，G，b成等比数列”与“G2＝ab”是不等价的，前者可以推出后者，但后者不一定能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，满足G2＝ab，而0,0,1不成等比数列． 细微点练明 √ √ 3．已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于(　 ) A．1 B．2 C．－2 D．－1 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为4a1,2a2，a3成等差数列，所以4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2. √ 解析：由题意知，a3是a1和a9的等比中项， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得a1＝d， 5．在等比数列{an}中． (1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5； (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)若a4＝2，a7＝8，求an. 逐点清(三)　等比数列的判定与证明 03 [例1]　设数列{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，数列{cn}满足cn＝an＋bn，n∈N＋.若an＝2n，bn＝3n，是否存在常数k，使得数列{cn＋1－kcn}为等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 解：由题意知，若数列{cn＋1－kcn}为等比数列， 则有(cn＋1－kcn)2＝(cn＋2－kcn＋1)·(cn－kcn－1)，其中n≥2且n∈N＋，将cn＝2n＋3n代入上式， 得[2n＋1＋3n＋1－k(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－k(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－k(2n－1＋3n－1)]， 即[(2－k)2n＋(3－k)3n]2＝[(2－k)2n＋1＋(3－k)·3n＋1]·[(2－k)2n－1＋(3－k)3n－1]， 故存在实数k＝2或k＝3， 使得数列{cn＋1－kcn}为等比数列． [变式拓展] 本例条件不变，证明：{cn}不是等比数列． 解：设数列{an}，{bn}的公比分别为p，q，p≠q且p≠0，q≠0，a1≠0，b1≠0，则cn＝a1pn－1＋b1qn－1， 由于p≠q， 所以{cn}不是等比数列． 判断数列是等比数列的常用方法 方法技巧 续表 针对训练 逐点清(四)　等比数列的实际应用 04 [例2]　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)， a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1. ∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×(0.9)n万元． (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元． 解等比数列应用题的步骤 (1)审题：解决数列应用题的关键是读懂题意； (2)建立数学模型：将实际问题转化为等比数列的问题； (3)解数学模型：注意隐含条件，数列中n的值是正整数； (4)还原：即最后转化为实际问题作出回答．　　 方法技巧 2．通过测量知道，温度每降低6 ℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34 ℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26 ℃时，该元件的电子数目接近(　 ) A．860个 B．1 730个 C．3 072个 D．3 900个 针对训练 √ 3．假设一个蜂巢里只有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了2个伙伴，第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去，则到第4天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中全部蜜蜂的只数是(　 ) A．1 B．3 C．9 D．81 √ 解析：由题意知，第1天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有1＋2＝3只蜜蜂，第2天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有3×3＝9只蜜蜂，第3天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有3×9＝27只蜜蜂，…，第n天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有3×3n－1＝3n只蜜蜂，所以归巢后的蜜蜂数量组成了首项为3，公比为3的等比数列，所以其通项公式为3n，所以第4天共有34＝81只蜜蜂． 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1．下列三个数依次成等比数列的是(　 ) A．1,4,8 B．－1,2,4 C．9,6,4 D．4,6,8 解析：42≠1×8，A错误； 22≠－1×4，B错误； 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 62≠4×8，D错误．故选C． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．已知等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8，则公比q＝(　 ) A．2 B．－4 C．4 D．－2 解析：依题意a4＝a1q3＝q3＝－8，q＝－2.故选D． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．已知实数m是2,8的等比中项，则m＝(　 ) A．±4 B．－4 C．4 D．5 解析：因为实数m是2,8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，得m＝±4，故选A． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于(　 ) A．－2 B．1或－2 C．1 D．1或2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7．[多选]已知{an}为等差数列，满足4a3－a8＝7，a2＋a7＝11，{bn}为等比数列，满足b1＝a1，b4＝a15，则(　 ) A．{an}的首项与公差相等 B．a2，a5，a11成等比数列 C．{bn}的首项与公比相等 D．b3，b5，b6成等差数列 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为{an}是等差数列，设公差为d，则4a3－a8＝3a1＋d＝7，a2＋a7＝2a1＋7d＝11，解得a1＝2，d＝1，故A错误； 可得an＝2＋n－1＝n＋1，所以a2＝3，a5＝6，a11＝12，是等比数列，故B正确； 数列{bn}为等比数列，且b1＝a1＝2，b4＝a15＝16，所以q＝2，则bn＝2n，故C正确； b3＝8，b5＝32，b6＝64，不是等差数列，故D错误． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．数列{an}中，“an＋1＝2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　 ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级．在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为(　 ) A．105 kJ B．104 kJ C．103 kJ D．102 kJ 解析：设H1需提供的能量为a，由题意知，H2的能量为10%a，H3的能量为(10%)2a，即(10%)2a ＝10，解得a＝103，所以要能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为103 kJ，故选C． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．已知等比数列{an}中的前三项为a,2a＋2,3a＋3，则实数a的值为______． 解析：因为2a＋2为a与3a＋3的等比中项， －4 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 2 ∴(q3)2＝2q5，得q＝2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．各项均为正数的等比数列{an}，其公比q≠1，且a3a7＝4，请写出一个符合条件的通项公式an＝______________________________ _______________________. 解析：因为{an}为正项等比数列， 2n－4 (只要{an}为正项等比数列 (不为常数列)且a5＝2即可) 所以a5＝2，又q≠1，不妨令q＝2， 所以an＝a1qn－1＝ a5qn－5＝2×2n－5＝2n－4. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．(1)一个等比数列{an}的第3项与第4项分别是12与18，求这个数列的通项公式； (2)已知等比数列{an}中，a5＝3，a7＝27，求q及an. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　∵{an}为等比数列， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 所以2a1，2a2，2a3，a a 4依次构成等比数列． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 令a1＋d＝a， 则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 化简得t3＋2t2－2＝0　(*)，且t2＝t＋1. 1．以下条件中，能判定数列是等比数列的有(　 ) ①数列1,2,6,18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2；③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)， ∵＝－1≠＝2， 1．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝_________. 2．等比中项 在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为________________．由等比中项的定义可知：＝⇒G2＝___⇒G＝______. ± 1．在等比数列{an}中，a1＝8，q＝，则a4与a8的等比中项是(　 ) A．± B．4 C．±4 D． 解析：由已知可得a6＝a1q5＝8×5＝，由等比中项的性质可得a4a8＝a＝，因此，a4与a8的等比中项是±. 2．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：因为an＝a1qn－1，所以×n－1＝，即n＝5，解得n＝5. 4．在等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项，则＝________. ∴a＝a1a9. ∴＝＝. 解：(1)因为a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，所以a5＝405. (2)a1＝＝＝5. (3)因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. 整理得(2－k)(3－k)·2n·3n＝0，解得k＝2或k＝3. 要证{cn}不是等比数列，只需证c≠c1c3.事实上c＝(a1p＋b1q)2＝ap2＋2a1b1pq＋bq2，c1c3＝(a1＋b1)·(a1p2＋b1q2)＝ap2＋a1b1(p2＋q2)＋bq2， 故p2＋q2>2pq.又a1≠0，b1≠0，从而c≠c1c3， 定义法 若数列{an}满足＝q(n∈N＋，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N＋，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列 通项公式法 若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列 等比中项法 若a＝anan＋2(n∈N＋且an≠0)，则数列{an}为等比数列 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 解：(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)， 所以a1＝－. 又a1＝－， 所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列． 又S2＝(a2－1)， 即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝. (2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－. 解析：由题设知，该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且a1＝3，公比q＝2.由26－(－34)＝60，＝10，得a11＝3×210＝3 072. 因为＝＝，所以9,6,4依次成等比数列，C正确； 解析：根据题意，代入公式解得或 5．一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q＝(　 ) A． B． C． D． 解析：依题意a1＝a2＋a3，∴a1＝a1q＋a1q2，∵a1≠0，∴q2＋q－1＝0.∴q＝或q＝(舍去)． 6．已知等比数列{an}中，＝2，a4＝8，则a3＝(　 ) A．16 B．4 C．2 D．1 解析：设等比数列{an}的公比为q，则＝＝q＝2，∴a3＝＝＝4.故选B． 解析：对数列{an}，an＋1＝2an，若a1＝0，则可得a2＝a3＝…＝an＝0，此时{an}不是公比为2的等比数列；若{an}是公比为2的等比数列，则＝2，即an＋1＝2an.故“an＋1＝2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件，故选B． 10．[多选]设公比为q的等比数列{an}的前n项积为Tn，若a2a8＝16，则(　 ) A．a5＝4 B．当a1＝1时，q＝± C．log2＝18 D．a＋a≥36 解析： A选项，因为a＝a2a8＝16，所以a5＝±4，所以A不正确； B选项，因为a1＝1，a2a8＝16，则aq8＝16，所以q8＝16，所以q＝±，所以B正确； C选项，因为T9＝a1a2·…·a9＝a，所以|T9|＝|a|＝218，所以log2|T9|＝18，所以C正确； D选项，a＋a≥2a3a7＝2a2a8＝32，当且仅当a3＝a7时等号成立．所以D不正确． 所以解得a＝－4. 12．在等比数列{an}中，若a1＝1，a＝2a6，则公比q＝________. 解析：∵a＝2a6，a1＝1， 解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得石，28石，28q石， ∴＋28＋28q＝98，解得q＝2或q＝.又0<q<1， ∴q＝. 所以a3a7＝a＝4， 解：(1)法一　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意得解得 ∴an＝a1qn－1＝×n－1. ∴q＝＝＝. ∴an＝a3qn－3＝12×n－3＝×n－1. (2)由a7＝a5q2，得q2＝＝9， ∴q＝±3，则a1＝， 当q＝3时，an＝a1qn－1＝×3n－1＝3n－4； 当q＝－3时，an＝a1qn－1＝×(－3)n－1＝－(－3)n－4. 16．设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列． (1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列． (2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由． 解：(1) 证明：因为＝2an＋1－an＝2d(n＝1,2,3)是同一个常数， (2)不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列．理由如下： 假设存在a1，d使得a1，a，a，a依次构成等比数列， 由＝，得a＝a1a， 同理a＝aa，则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4. 令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4， 将t2＝t＋1代入(*)式，得t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－. 显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列. $$