1.2.1 等差数列及其通项公式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）  

1.2.1 等差数列及其通项公式 (概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．通过生活中的实例，理解等差数列的概念，掌握等差数列通项公式的意义． 2．会推导等差数列的通项公式，能应用等差数列的通项公式解决一些简单的问题． 3．掌握等差中项的概念，并能应用等差中项解决问题． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　等差数列的有关概念 逐点清(二) 等差数列的通项公式 逐点清(三)　等差数列的判定与证明 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　等差数列的有关概念 01 多维度理解 等差数列的概念 (1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于_______常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的______，公差通常用字母___表示． (2)递推公式：an＋1－an＝____ (d为常数)． 同一个 公差 d d 微点助解 对等差数列概念的解读 (1)作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项； (2)作差的顺序：“每一项与它的前一项之差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒； (3)等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝…＝d，其中d是与n无关的常数； (4)公差d的取值范围：可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列)，它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为(－∞，＋∞)． 细微点练明 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．(　 ) (2)－1，－2，－3，－4，－5不是等差数列．(　 ) (3)若数列{an}是等差数列，则其公差d＝a7－a8.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 解析：由等差数列的定义知，0,0,0,0是等差数列，故选D． √ √ 4．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________． 解析：由已知a－(－1)＝b－a＝8－b＝d， ∴8－(－1)＝3d， ∴d＝3. 3 逐点清(二)　 等差数列的通项公式 02 多维度理解 1．等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为_______________. an＝a1＋(n－1)d (3)由方程思想，已知an，a1，n，d中的任何三个量，可以求出另一个量，即“知三求一”． (4)根据通项公式知，已知数列的任意两项，可以确定等差数列的每一项． 2．等差中项 在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则____称为a与b的等差中项． M 细微点练明 √ 2．已知等差数列{an}中，a1＋a8＝2，a2＋a9＝8，则数列{an}的公差为(　 ) A．4 B．3 C．1 D．－1 解析：在等差数列{an}中，因为a1＋a8＝2，所以a2＋a9＝a1＋d＋a8＋d＝2＋2d＝8，解得d＝3. √ √ 4．已知数列{an}为等差数列，且公差为d.若a15＝8，a60＝20，则a105的值为________． 32 ∴a105＝32. 解：(1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29. (2)由an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝21，解得n＝10. (3)由a6＝a1＋5d＝12＋5d＝27，解得d＝3. (4)由a7＝a1＋6d＝a1－2＝8，解得a1＝10， 6．已知等差数列{an}：3,7,11,15，…. (1)求{an}的通项公式． (2)135,4m＋19(m∈N＋)是数列{an}中的项吗？请说明理由． (3)若am，at(m，t∈N＋)是数列{an}中的项，那么2am＋3at是数列{an}中的项吗？请说明理由． 解：(1)设数列{an}的公差为d. 依题意，有a1＝3，d＝7－3＝4， ∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1. (2)令4n－1＝135，得n＝34， ∴135是数列{an}的第34项． ∵4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N＋， ∴4m＋19是数列{an}的第m＋5项． (3)∵am，at是数列{an}中的项， ∴am＝4m－1，at＝4t－1， ∴2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1)＝4(2m＋3t－1)－1. ∵2m＋3t－1∈N＋， ∴2am＋3at是数列{an}的第2m＋3t－1项． 逐点清(三)　 等差数列的判定与证明 03 解：当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3， 故数列{an}不是等差数列． 证明等差数列的方法 证明等差数列的常用方法是定义法、等差中项法、通项公式法． (1)在解答题中，证明一个数列是等差数列首选定义法；其次是等差中项法． (2)通项公式法可用于选择、填空题的求解．　　 方法技巧 数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)求a3，a4的值； (2)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列． 解：(1)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. 所以a3＝2a2－a1＋2＝2×2－1＋2＝5，a4＝2a3－a2＋2＝2×5－2＋2＝10. 针对训练 (2)证明：∵bn＋1－bn＝(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝an＋2－2an＋1＋an＝2， ∴{bn}为等差数列． 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1．[多选]下列数列中，是等差数列的是(　 ) A．1,4,7,10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2 解析：A、B、D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列． √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．已知等差数列{an}中，a2＝6，a4＝2，则公差d＝(　 ) A．－2 B．2 C．3 D．－4 解析：由题意得a4＝a2＋2d，即6＋2d＝2，解得d＝－2.故选A． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．在等差数列{an}中，a1＝1，公差d＝－2，则a5＝(　 ) A．－5 B．－11 C．－9 D．－7 解析：a5＝a1＋4d＝1＋4×(－2)＝－7，故选D． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．已知等差数列{an}中，a6＝－24 ，a30＝－48 ，则首项a1与公差d分别为(　 ) A．－18，－2 B．－18，－1 C．－19，－2 D．－19，－1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．已知等差数列{an}满足4a3＝3a2，则{an}中一定为零的项是(　 ) A．a6 B．a4 C．a10 D．a12 解析：由4a3＝3a2得4(a1＋2d)＝3(a1＋d)，即a1＝－5d，所以an＝a1＋(n－1)d＝－5d＋(n－1)d＝(n－6)d，所以a6＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7．已知数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2 023的值是(　 ) A．1 010 B．1 011 C．1 012 D．1 013 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2(如2,5,8，…)且被5除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a4＝(　 ) A．32 B．47 C．62 D．77 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：根据题意可知an－2既是3的倍数，又是5的倍数，即是15的倍数，可得an－2＝15(n－1)，n∈N＋，即an＝15n－13，所以a4＝15×4－13＝47. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．已知递增数列{an}是等差数列，若a4＝8,3(a2＋a6)＝a2a6，则a2 024＝(　 ) A．2 024 B．2 023 C．4 048 D．4 046 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a1＝47，a6＝7，则a5等于______． 解析：由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)知，数列{an}是等差数列， 设公差为d，由a6＝a1＋5d，得d＝－8， 所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．已知数列{log2(an－1)}(n∈N＋)为等差数列，且a1＝3，a3＝9，则数列{an}的通项公式为_____________． 解析：设等差数列{log2(an－1)}的公差为d， 由a1＝3，a3＝9，得log2(a3－1)＝ log2(a1－1)＋2d，解得d＝1， 所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝2n＋1. an＝2n＋1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.求： (1) a4； (2)数列{an}的通项公式． 解：(1)因为{an}是等差数列且a3＋a4＋a5＝84， 所以3a4＝84，所以a4＝28. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)因为{an}是等差数列且a3＋a4＋a5＝84，a9＝73， 得an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8， 所以an＝9n－8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n∈N＋)，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)判断是否存在实数λ使得数列{an}为等差数列，并说明理由． 解：(1)因为an＋1＝(n2＋n－λ)an(n∈N＋)，且a1＝1， 所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，解得λ＝3. 从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)不存在实数λ使得{an}为等差数列． 理由如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an， 得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)， a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在实数λ，使得{an}为等差数列， 则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ， 解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，a2－a1≠a4－a3，这与{an}为等差数列矛盾． 所以不存在实数λ使得{an}为等差数列． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 2．下列数列是等差数列的是(　 ) A．，，， B．1，，， C．1，－1,1，－1 D．0,0,0,0 3．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是(　 ) A．公差为1的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为－的等差数列 D．不是等差数列 微点助解 等差数列通项公式的注意点 (1)通项公式还可以推广为an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋，m<n)． (2)通项公式的变形：d＝＝(m，n∈N＋，m<n)，即已知等差数列的任意两项，可以直接求出公差d. 微点助解 (1)任意两个实数都有等差中项且唯一． (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即M＝. (3)a2是a1和a3的等差中项，特别要注意序号之间的关系． 1．已知a＝＋，b＝－，则a，b的等差中项为(　 ) A． B． C． D． 解析：a，b的等差中项为＝＝. 3．记等差数列{an}的公差为d(d≥0)，若a是a与a－2的等差中项，则d的值为(　 ) A．0 B． C．1 D．2 解析：由等差数列{an}的公差为d，a是a与a－2的等差中项，得2a＝a＋a－2，即2(a1＋d)2＝a＋(a1＋2d)2－2，整理得d2＝1，而d≥0，解得d＝1. 解析：由题意得解得 故a105＝a1＋104d＝＋104×＝32. 5．在等差数列{an}中， (1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an； (2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n； (3)已知a1＝12，a6＝27，求d； (4)已知d＝－，a7＝8，求a1和an. 所以an＝a1＋(n－1)d＝10－(n－1)＝－n＋. [典例]　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.那么数列是否为等差数列？请说明理由． 解：数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝， ∴＝＝＋， ∴－＝，即数列是首项为＝，公差为d＝的等差数列． [变式拓展] 1．若本例中的条件“a1＝2，an＋1＝”变为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”．试证明数列{bn}为等差数列． 证明：bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝. 又b1＝＝， ∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． 2．若本例中的条件“a1＝2，an＋1＝”变为“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N＋)”．试判断数列{an}是否是等差数列． 得an＋1－an＝，但a2－a1＝1≠， 解析：依题意得解得故选D． 5．设a>0，b>0，若lg a和lg b的等差中项是0，则a＋b的最小值为(　 ) A．1 B．2 C．4 D．2 解析：∵lg a，lg b的等差中项是0，∴lg a＋lg b＝0，即lg ab＝0，ab＝1，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2. 解析：由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝.所以{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d＝. 所以an＝2＋(n－1)＝. 所以a2 023＝＝1 013. 8．[多选]已知在等差数列{an}中，a2＋a9＋a12－a14＋a20－a7＝8，则(　 ) A．a10＝4 B．a11＝4 C．a9－a3＝3 D．a10－a3＝3 解析：由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a9＋a12－a14＋a20－a7＝2a1＋20d＝2(a1＋10d)＝8.即a11＝a1＋10d＝4，所以a9－a3＝a1＋8d－(a1＋2d)＝(a1＋10d)＝3. 解析：设数列{an}的公差为d(d>0)，因为a4＝8,3(a2＋a6)＝a2a6， 则解得所以a2 024＝2＋2×(2 024－1)＝4 048. 所以解得 15．若数列是等差数列，则称数列{an}为调和数列．若实数a，b，c依次成调和数列，则称b是a和c的调和中项． (1)求和1的调和中项； (2)已知调和数列{an}，a1＝6，a4＝2，求{an}的通项公式． 解：(1)设和1的调和中项为b，依题意得3，，1成等差数列， 所以＝＝2，解得b＝， 故和1的调和中项为. (2)依题意，是等差数列，设其公差为d， 则3d＝－⇒d＝， 所以＝＋(n－1)d＝＋(n－1)＝，故an＝. $$