1.1 第2课时 数列的递推公式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）  

数列的递推公式 (强基课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项． 2．掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法(累加法、累乘法)． 3．理解数列的前n项和，会由数列的前n项和求数列的通项公式． 4．理解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质，会求数列的最(大)小项． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一)数列的递推公式 1．数列的递推公式 如果数列{an}的任一项_______与它的前一项___之间的关系可用一个公式来表示，即____________，n≥1.那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件． an＋1 an an＋1＝f(an) 2．数列递推公式与通项公式的关系   递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系f 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 微点助解 (1)有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化．如数列1,3,5，…，2n－1，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)，用递推公式表示为a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)． (2)与所有数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．如π精确到1,0.1,0.01，0.001，…的近似值构成的数列为3,3.1,3.14，3.142，…，无法写出其递推公式．有些数列即使有递推公式，也不一定唯一．如数列2,4,6,8,10，…为正偶数组成的数列，其递推公式可以是a1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N＋)，而a1＝2，a2＝4，an＋1＝2an－an－1(n≥2)也是它的递推公式． 基点训练 √ √ 3．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可以是an＝an－1＋____ (n∈N＋，n≥2)．由a10＝55，得a12＝____. n　 78 (二)数列的前n项和 (1)数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝_______________. (2)数列{an}的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与__________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的前n项和公式． (3)an与Sn的关系：___________________ a1＋a2＋…＋an 它的序号n 微点助解 (1)连续项的和可以用两个和的式子表示，如a5＋a6＋…＋a9＝S9－S4. (2)an＝Sn－Sn－1，n≥2中不包括a1，故一定要检验n＝1时，S1是否满足首项． 基点训练 1．数列{an}的前n项和Sn，若Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为(　 ) A．1 B．3 C．5 D．6 解析：∵Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，∴S1＝0，S3＝8，∴a1＝0，a2＝3，a3＝5，a1＋a3＝5. √ 2．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则an＝________. 解析：当n＝1时，a1＝S1＝－2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－4n＋2. 显然n＝1时符合，故an＝－4n＋2. －4n＋2 (三)数列的函数性质 一般地，对于一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作__________；如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作_________；如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作__________；各项都相等的数列叫作________． 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 基点训练 1．已知数列{an}满足a1>0,2an＋1＝an，则数列{an}是(　 ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上都不正确 √ √ 解析：当n≤12时，25－2n>0，数列单调递增；n≥13时，25－2n<0，数列单调递增． 则满足an＋1<an的n的值为12. 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　数列的递推公式及应用 解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. 方法技巧 针对训练 题型(二)　由递推公式求数列的通项公式 又当n＝1时，a1＝－1，也符合上式． 又∵当n＝1时，a1＝1，符合上式， 方法技巧 2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2，n∈N＋，则an＝________. 解析：由题意得，an＝an－1＋2＝an－2＋2×2＝…＝a1＋2×(n－1)＝2n－1，n≥2， 又a1＝1适合上式， ∴an＝2n－1，n∈N＋. 针对训练 2n－1 3．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前4项，猜想an，并加以证明． 解：由a1＝2，an＋1＝2an，得 a2＝2a1＝4＝22，a3＝2a2＝2·22＝23，a4＝2a3＝2·23＝24. 猜想an＝2n(n∈N＋)．证明如下： 又当n＝1时，a1＝21＝2符合上式， ∴an＝2n(n∈N＋)． [例3]　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an. 解：因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32，n∈N＋. 题型(三)　数列的前n项和及应用 [变式拓展] 将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an. 解：因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32. 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．　　 方法技巧 4．[多选]已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是(　 ) A．a1＝3 B．an＝2n(n≥2) C．an＝2n D．an＝2n(n≥2) 针对训练 √ √ 解析：因为Sn＝2n＋1－1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n. 5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－8n，第k项满足4<ak<7，则k＝________. 解析：a1＝S1＝－7， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－8n－(n－1)2＋8(n－1)＝2n－9， 7 因为k为正整数，所以k＝7. [例4]　设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn，数列{an}是递增的，求实数k的取值范围． 解：∵数列{an}是递增的， ∴an<an＋1恒成立， 即n2＋kn<(n＋1)2＋k(n＋1)对任意n∈N＋恒成立， 题型(四)　数列的函数特性 整理得k>－2n－1对任意n∈N＋恒成立． ∵f(n)＝－2n－1(n∈N＋)的最大值为－3， ∴k>－3，即k的取值范围是(－3，＋∞)． [变式拓展] 1．若本例条件增加“an≥a6恒成立”，求实数k的取值范围． 因为不等式an≥a6恒成立， 所以－13≤k≤－11. 故实数k的取值范围为[－13，－11]． 2．若本例条件增加“数列{an}仅第7项最小”，求实数k的取值范围． 因为数列{an}仅第7项最小， 解得－15<k<－13.故实数k的取值范围为(－15，－13)． 当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 所以a1<a2＝a3>a4>a5>…>an>…， 方法技巧 针对训练 据此可得1>a1>a2>a3>…>a15，且a16>a17>a18>a19>…>1， 所以当n<16时，数列{an}递减； 当n≥16时，数列{an}递减． 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 解析：因为a1＝2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n2，则a5＝(　 ) A．16 B．18 C．20 D．25 解析：依题意，a5＝S5－S4＝2×52－2×42＝18.故选B． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，a1＝2，a2＝1，故不是递增数列，A不符合； 对于B，an＋1－an＝2n＋1－(2n－1)＝2>0，故是递增数列，B符合； 对于C，an＋1－an＝2(n＋1)2－5(n＋1)－(2n2－5n)＝4n－3>0，故为递增数列，C符合； 对于D，an＋1－an＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n>0，故为递增数列，D符合．故选BCD． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．数列{an}的前n项和Sn＝nan，a1＝1，则an＝______. 1 解析：当n≥2时，有Sn＝nan，Sn－1＝(n－1)an－1， 两式作差可得，Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1， 整理可得an＝an－1.又a1＝1，所以an＝1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是________． 108 当n＝7时，an最大且等于108. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为a1＝4也满足an＝4n. 综上，an＝4n(n∈N＋)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，请回答下列问题： (1)这个数列共有几项为负？ (2)这个数列从第几项开始递增？ (3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由． 解：(1)由an＝n(n－8)－20＝n2－8n－20＝(n＋2)(n－10)<0， 解得1≤n<10，n∈N＋， 所以数列{an}前9项为负数，即共有9项为负数． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)因为an＋1－an＝(n＋1)(n＋1－8)－20－[n(n－8)－20]＝2n－7， 即从第4项开始数列{an}开始递增． (3)an＝n(n－8)－20＝n2－8n－20＝(n－4)2－36， 根据二次函数的性质知，当n＝4时， an取得最小值－36，即数列中有最小值，最小值为－36. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024等于(　 ) A．a2 022 B．a2 023 C．a2 024 D．a2 025 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)， 则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a5＋a6＋…＋a2 024＝a2 023＋a2 024＝a2 025. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6 当n≥6且n∈N＋时，an>0，且递减； 当n≤5且n∈N＋时，an<0，且递减． ∴当n＝6时，an最大． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题设φ(2)＝1， 则1～8中与8互质的数有1,3,5,7，共4个数， 故φ(8)＝4.在1～2n中，与2n互质的数为范围内的所有奇数，共2n－1个， 当n≤2时bn＋1－bn>0，当n≥3时bn＋1－bn<0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当1≤n≤3时，an＋1－an>0，即a1<a2<a3<a4， 当n＝4时，an＋1－an＝0，即a5＝a4， 当n≥5时，an＋1－an<0，即a5>a6>a7>…， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以{an}在1≤n≤4(n∈N＋)时递增，在n≥5(n∈N＋)时递减， 所以数列{an}的最小项为a1＝－1. 1．符合递推关系式an＝an－1的数列是(　 ) A．1,2,3,4，… B．1，，2,2，… C．，2，，2，… D．0，，2,2，… 解析：B中从第二项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1. 2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a5＝(　 ) A． B． C． D． an＝ 解析：∵＝<1，a1>0， ∴{an}是一个递减数列． 2．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则满足an＋1<an的n的值为(　 ) A．11 B．12 C．13 D．14 [例1]　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式bn＝(n≥1)构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． (2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故数列{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 由递推关系写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可； (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1； (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.　　 1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项． 解：∵a1＝1，an＋1＝， ∴a2＝＝，a3＝＝＝， a4＝＝＝，a5＝＝＝. 故该数列的前5项为1，，，，. [例2]　已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋－，n∈N＋，求数列的通项公式an. 解：∵an＋1－an＝－， ∴a2－a1＝－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－(n≥2)， ∴a2－a1＝－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－(n≥2)， 即an－a1＝1－(n≥2)． ∴an＝a1＋1－＝－1＋1－＝－(n≥2)， ∴an＝－，n∈N＋. [变式拓展] 若本例条件变为“a1＝1，an＝an－1(n≥2)”，求数列{an}的通项公式． 解：∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)， ∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝. ∴an＝. 1．累加法求数列通项公式 形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)求通项公式． 2．累乘法求数列通项公式 形如＝f(n)的递推公式，可以利用a1···…·＝an(n≥2，n∈N＋)求通项公式．以上方法叫作累乘法．　　 由a1＝2，an＋1＝2an，得＝＝…＝＝＝2(n≥2)． ∴an＝··…···a1＝2·2·…·2·2＝2n. 当n＝1时不符合上式．所以an＝ 当n＝1时，不符合上式，故an＝ 由4<ak<7得4<2k－9<7，得<k<8， 解：由an＝n2＋kn＝2－，对称轴为n＝－. 所以≤－≤， 解：由an＝n2＋kn，知对称轴n＝－. 所以<－<， 3．若本例条件“an＝n2＋kn”变为“an＝n·n”，求数列{an}中的最大项． 解：an＋1－an＝(n＋1)n＋1－n·n＝·n， 所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝. (1)函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调，则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调． (2)求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解．一般地，若则an为最大项；若则an为最小项． 6．已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)讨论数列{an}的单调性； (2)求数列{an}的最大项和最小项． 解：(1)数列{an}的通项公式an＝＝1＋， (2)由(1)知数列{an}的最大项为a16＝， 最小项为a15＝. A级——综合提能 1．已知数列{an}满足a1＝2，an＝1＋(n≥2)，则a3＝(　 ) A． B． C． D． 所以a2＝1＋＝，a3＝1＋＝1＋＝.故选C． 3．[多选]如果数列{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为(　 ) A．an＝ B．an＝2n－1 C．an＝2n2－5n D．an＝2n－1 4．已知数列{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}的通项公式是(　 ) A．an＝2n B．an＝ C．an＝n－1 D．an＝ 解析：法一　由已知可知，a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，…，∴an＝. 法二　an＝··…···a1＝n－1·1＝n－1. 5．在数列{an}中，若a1＝2，an＝1－(n≥2)，则a2 024＝(　 ) A．－1 B． C．2 D．1 解析：由题意得a1＝2，a2＝1－＝1－＝，a3＝1－＝1－2＝－1，a4＝1－＝1＋1＝2，…，故{an}为周期数列，周期为3，故a2 024＝a674×3＋2＝a2＝.故选B． 解析：an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋， 8．若数列{an}满足a2＝11，an＋1＝，则a985＝__________. 解析：因为a2＝11，an＋1＝， 所以a1＝，a3＝＝－，a4＝＝， 所以{an}是周期为3的数列，故a985＝a1＝. 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝－(n∈N＋)．求数列{an}的通项公式． 解：因为Sn＝－(n∈N＋)， 当n＝1时，a1＝S1＝－＝4， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝＝4n， 当an＋1－an＝2n－7>0，n>，n∈N＋， B级——应用创新 11．已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝，则a10＝(　 ) A． B． C． D． 解析：∵an＋1＝，则＝＝＋n，∴－＝1，－＝2，…，－＝9，以上各式相加可得，－＝1＋2＋3＋…＋9＝45，∴a10＝.故选B． 13．已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}的最大项是第________项． 解析：an＝＝， 14．欧拉函数φ(n)(n∈N＋)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数)，例如：φ(3)＝2，φ(4)＝2，则φ(8)＝________；若bn＝，则bn的最大值为________． 即φ(2n)＝2n－1，所以bn＝＝， 则bn＋1－bn＝－＝， 即b1<b2<b3>b4>b5>…，所以bn的最大值为b3＝＝. 15．已知数列{an}的通项公式为an＝，试判断数列{an}的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项． 解：an＋1－an＝－＝， 所以数列{an}的最大项为a5＝a4＝， 又a1<a2<0，当n≥3(n∈N＋)时，an＝≥0， $$