1.1 第1课时 数列的概念与表示（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）  

第1章 数 列 1.1 数列 数列的概念与表示 (概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1．了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，会由数列的前几项归纳出通项公式．会用数列的通项公式写出数列的任意一项． 2．理解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　数列的概念与分类 逐点清(二)　数列的通项公式 逐点清(三)　求数列的通项公式 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　数列的概念与分类 01 多维度理解 定义 按照一定______排成的一列数叫作数列 项 数列中的__________叫作这个数列的项，排在第1位的数叫作数列的______，排在第n位的数叫作数列的______ 数列的表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为_____ 分类 只有有限多项的数列称为有穷数列，____________的数列称为无穷数列 顺序 每一个数 首项 第n项 {an} 有无穷多项 微点助解 (1){an}与an是两个不同的概念：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an只表示数列{an}的第n项． (2)数列的项与它的项数是两个不同的概念：数列的项是指出现在这个数列中某一个确定的数an，它是一个函数值，即an＝f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n. (3)数列与数集是两个不同的概念，它们的主要区别：数集中的元素具有无序性和互异性，数列中的项是有序的且可以相同，即如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列．如数列2,4,6,8与数列8,6,4,2是不同的数列． 细微点练明 √ 1．下列各项表示数列的是(　 ) A．a，b，c，…，x，y，z B．2 019,2 020,2 021，…，2 025 C．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 D．a＋b，a－b，ab,2a 解析：数列必须由数组成，A、C、D中均不是数． 2．下列有关数列的说法正确的是(　 ) A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列－2,0,2与数列2,0，－2是同一个数列 C．数列2,4,6,8可表示为{2,4,6,8} D．数列中的每一项都与它的序号有关 √ 解析：常数列中任意两项都是相同的，所以A不正确； 数列－2,0,2与2,0，－2中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确； {2,4,6,8}表示一个集合，不是数列，所以C不正确； 根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确．故选D． 3．下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？请说明理由． (1)8,8,8,8；(2)－3，－1,1，x,5,7，y,11； (3)当n分别取1,2,3,4，…时，(－1)n的值排成的一列数． 解：(1)能构成数列，且构成的数列是有穷数列． (2)当x，y均代表数时是数列，此时构成的数列是有穷数列； 当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数组成的． (3)能构成数列，且构成的是无穷数列． 所构成的数列是－1,1，－1,1，…. 逐点清(二)　数列的通项公式 02 多维度理解 如果数列{an}的第n项an可以用关于n的__________表示，那么这个______就称为数列{an}的通项公式． 一个公式 公式 微点助解 (1)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式，即an＝f(n)．数列的通项公式必须适合数列中的任何一项． (2)已知通项公式an＝f(n)，那么只需依次用1,2,3，…代替公式中的n，就可以求出数列的各项． (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n还可以写成an＝(－1)n＋2的形式等． (4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样． 细微点练明 √ 解析：当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0. 2．下列四个数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是(　 ) A．380 B．392 C．321 D．232 解析：n＝19时，n(n＋1)＝380. √ 3．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，p≠0. (1)求{an}的通项公式； (2)88是否是数列{an}中的项？ 解：(1)因为a1＝2，a17＝66，通项公式an＝pn＋q， 所以an＝4n－2. 所以88不是数列{an}中的项． 4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－30. (1)求数列的前三项，60是此数列的第几项； (2)n为何值时，an＝0，an>0，an<0. 解：(1)由an＝n2－n－30， 得a1＝1－1－30＝－30，a2＝22－2－30＝－28，a3＝32－3－30＝－24. 设an＝60，则n2－n－30＝60， 解得n＝10或n＝－9(舍去)． ∴60是此数列的第10项． (2)令an＝n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)， ∴a6＝0. 令n2－n－30>0，解得n>6或n<－5(舍去)． ∴当n>6(n∈N＋)时，an>0. 令n2－n－30<0，解得0<n<6. ∴当0<n<6(n∈N＋)时，an<0. 综上，当n＝6时，an＝0； 当n>6(n∈N＋)时，an>0；当0<n<6(n∈N＋)时，an<0. 逐点清(三)　求数列的通项公式 03 解：(1)数列的奇数项为a，偶数项为b， 其分母都是序号n加上1，分子都是分母的平方减去1， (3)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的奇数， 且奇数项为正，偶数项为负， 故an＝(－1)n＋1(2n－1)，n∈N＋. 其分母都是2，分子都是序号的平方， 方法技巧 用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，可参考以下思路： (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列可以考虑拆成几个简单数列之和的形式或利用周期函数来解决，如三角函数等． (5)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．　 针对训练 解：(1)an＝2n＋1. 可知各项分母均等于17减去项数的3倍， 故第n项的符号由符号因式(－1)n决定， 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．下列说法正确的是(　 ) A．数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7} B．数列－2，－1,0,1,2与数列2,1,0，－1，－2是相同的数列 C．数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点 D．数列的项数一定是无限的 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：对A，{1,3,5,7}表示集合，不是数列； 对B，两个数列中包含的数虽然相同，但排列顺序不同，不是相同的数列； 对D，数列的项数可以是有限的也可以是无限的．故选C． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是(　 ) A．一条直线 B．一条抛物线 C．一个圆 D．一群孤立的点 解析：数列{an}的通项公式为an＝3n－2，可以看作为an关于n的一次函数，变量n∈N＋，数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点．故选D． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．[多选]已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，那么(　 ) A．30是数列{an}的一项 B．45是数列{an}的一项 C．66是数列{an}的一项 D．90是数列{an}的一项 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则此数列的第40项为(　 ) A．648 B．722 C．800 D．882 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2.则此数列第40项为2×202＝800. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 an＝|n－3|－1时，a1＝|1－3|－1＝1，a2＝|2－3|－1＝0，a3＝|3－3|－1＝－1，a4＝|4－3|－1＝0，a5＝|5－3|－1＝1，满足题意，故B正确； an＝(n－3)2－1时，a1＝(1－3)2－1＝3，不满足题意，故D错误． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8 令3n－2＝22，则n＝8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．斐波那契数列的前7项是1,1,2,3,5,8,13，则该数列的第10项为_______． 解析：1,1,2,3,5,8,13,21，…，则从第三项起， 每一项均为前2项的数字之和，13＋21＝34,21＋34＝55， 故该数列的第10项为55. 55 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知无穷数列{an}满足a1＝2，a2＝5，a3＝18，写出{an}的一个通项公式：_______________________.(不能写成分段函数的形式) 解析：由a1＝2＝3－1，a2＝5＝32－22，a3＝18＝33－32，猜想an＝3n－n2. an＝3n－n2(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以0是{an}中的第21项． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等， 解得m＝10.所以数列{an}中存在连续的两项，第10项与第11项相等． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴0<an<1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内． 1．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋，则该数列的前4项依次为(　 ) A．1,0,1,0 B．0,1,0,1 C．，0，，0 D．2,0,2,0 所以解得 (2)令4n－2＝88，解得n＝，因为n∈N＋， [典例]　写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)a，b，a，b，…； (2)，，，，…； (3)1，－3,5，－7,9，…； (4)－，，－，，…； (5)，2，，8，，…； (6)－3,33，－333,3 333，…. 因此通项公式可用分段形式来表示，记为an＝也可记为an＝＋(－1)n＋1·，n∈N＋. (2)这个数列的前4项为，，，， 故an＝，n∈N＋. (4)这个数列的前4项为－，，－，，它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数， 且奇数项为负，偶数项为正，故an＝，n∈N＋. (5)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察，该数列为，，，，，…， 故an＝，n∈N＋. (6)因为－3＝(－1)1××(10－1)，33＝(－1)2××(100－1)，－333＝(－1)3××(1 000－1)， 所以an＝，n∈N＋. 根据所给数列的前几项写出数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； (2)，，，，…； (3)－，，－，，…； (4)1，2，3，4，…. (2)∵＝，＝， ∴原数列可变形为，，，，…， 故得an＝，n∈N＋. (3)各项绝对值依次为：，，，，…，可见这一数列第n项的分子为2n，而各项的分母等于分子的平方减去1， 故这一数列第n项的绝对值为，再注意到原数列的奇数项为负，偶数项为正， ∴an＝(－1)n·，n∈N＋. (4)∵1＝1＋，2＝2＋， 3＝3＋，4＝4＋， 故an＝n＋. 1．[多选]下列数列中，是无穷数列的是(　 ) A．1，，，，… 　 B．－1，－2，－3，－4 C．－1，－，－，－，… 　 D．1，，，…， 解析：分别令2n2－n的值为30,45,66,90，可知只有当2n2－n＝45时，n＝5或n＝－(舍去)；当2n2－n＝66时，n＝6或n＝－(舍去)，故45,66是数列{an}的一项． 5．在数列－1,0，，，…，中，若an＝0.08，则n＝(　 ) A． B．8 C．或10 　 D．10 解析：由题意可得＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去)． 6．数列1，，，，…的第8项是(　 ) A． B． C． D． 解析：观察1，，，，…可看为，，，，…，分母是2n－1，分子为n2，故第8项为，故选A． 7．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积为(　 ) A． B．5 C．6 D． 解析：a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5. 9．数列－1，，－，，…的一个通项公式是(　 ) A．an＝(－1)n· B．an＝(－1)n· C．an＝(－1)n· D．an＝(－1)n· 解析：由数列－1，，－，，…可知：奇数项的符号为“－”，偶数项的符号为“＋”，其分母为奇数2n－1，分子为n2.∴此数列的一个通项公式an＝(－1)n·. 10．[多选]已知数列{an}的前5项依次如图所示，则{an}的通项公式可能为(　 ) A．an＝sin B．an＝|n－3|－1 C．an＝ D．an＝(n－3)2－1 解析： an＝sin时，a1＝sin＝1，a2＝sin＝0，a3＝sin＝－1，a4＝sin＝0，a5＝sin＝1，满足题意，故A正确； an＝时，a1＝－1＋2＝1，a2＝－2＋2＝0，a3＝－3＋2＝－1，a4＝4－4＝0，a5＝5－4＝1，满足题意，故C正确； 11．已知数列1,2，，，，…，则 是这个数列的第______项． 解析：原数列前几项可以看为，，，，， 根据此规律可得数列通项公式为an＝. 14．数列{an}的通项公式是an＝，n∈N＋. (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 解：(1)令an＝＝0，解得n＝21或n＝0(舍去)， 令an＝＝1，解得n＝∉N＋， 则am＝am＋1，即＝， 15．已知数列. (1)求这个数列的第10项； (2)是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． 解：(1)设an＝f(n)＝＝＝. 令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝. (2)令＝，得9n＝300. 此方程无正整数解， ∴不是该数列中的项． (3)证明：∵an＝＝1－，又n∈N＋， ∴0<1－<1， $$