3.1.2 椭圆的几何性质（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）  

3.1.2 椭圆的几何性质 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c的几何意义． 2．能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 椭圆的几何性质 范围 ______________________ _____________________ 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心(中心)为原点 顶点 ____________________ _____________________ B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长B1B2＝___，长轴长A1A2＝____ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 F1F2＝____ －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 2b 2a 2c 续表 续表 (0,1) 圆 微点助解 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 基点训练 ×　 ×　 √ √ √ √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　由椭圆的方程研究其几何性质 x 0 1 2 3 4 5 y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0 先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆． 用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)． (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 方法技巧 针对训练 √ √ √ √ √ √ 题型(二)　由椭圆的几何性质求其标准方程 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置． (2)设出相应椭圆的标准方程． (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写出椭圆的标准方程．　　 方法技巧 针对训练 题型(三)　椭圆的离心率 变式拓展 求椭圆的离心率的值或取值范围的两种方法 方法技巧 直接法 若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解 方程法或 不等式法 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围 针对训练 √ √ 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为_____ cm. 20 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1,0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)． (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比____称为椭圆的离心率，用e表示，即e＝. (2)性质：离心率e的范围是_______．当e越接近于1时，椭圆越扁平；当e越接近于0时，椭圆就越接近于_____ (4)对于椭圆上的点P，当点P从长轴端点向短轴端点移动时，∠F1PF2逐渐增大，当点P在短轴端点时，∠F1PF2最大． (5)通径长为. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a. (　 ) (2)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1. (　 ) (3)设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则MF的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)． (　 ) 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　 ) A．(－6,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，) 解析：椭圆6x2＋y2＝6的标准方程为＋x2＝1，易知椭圆焦点在y轴上，且a2＝6，a＝，所以椭圆的长轴端点坐标为(0，－)，(0，)． 3．若椭圆x2＋2y2＝1的离心率为e，则e的值为(　 ) A. B．2 C. D. 解析：由题意得椭圆长半轴长a＝1，短半轴长b＝，所以半焦距c＝＝，所以离心率e＝＝＝，故选C. 4．下列四个椭圆中，形状最扁的是(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：由e＝，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足<<<，因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆中，椭圆＋＝1的离心率最大，故其形状最扁． 顶点为A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)． [例1]　求椭圆＋＝1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆． 解：根据椭圆的方程＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝＝4， 所以椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝6， 离心率e＝＝，焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)， 将方程变形为y＝± ， 根据y＝ 算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示)： 1．[多选]已知点(3,2)在椭圆＋＝1上，则下列各点一定在该椭圆上的是(　 ) A．(－3，－2) B．(3，－2) C．(－3,2) D．(2,3) 解析：由椭圆关于x轴、y轴、原点对称可知，只有点(2,3)不在椭圆上．故选ABC. 2．[多选]已知椭圆C：＋＝1，则下列结论正确的是(　 ) A．长轴长为8 B．焦距为4 C．焦点坐标为(0，±2) D．离心率为 解析：由已知得a2＝16，b2＝4，则a＝4，b＝2，c＝＝2，故椭圆长轴长为2a＝8，焦距为2c＝4，焦点坐标为(±2，0)，离心率＝，故A、B、D正确，故选ABD. [例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x轴上，长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解：(1)焦点在x轴上，故设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知得，2a＝10，a＝5，e＝＝，故c＝4, 故b2＝a2－c2＝25－16＝9， 故椭圆的方程是＋＝1. ∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示， ∴△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b，∴c＝b＝3.∴a2＝b2＋c2＝18.故所求椭圆的方程为＋＝1. (2)设椭圆的标准方程为＋＝1，a＞b＞0， 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)； (2)离心率e＝，焦距为12. 解：(1)若焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. 若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. (2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，所以b2＝a2－c2＝64.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. [例3]　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1PF2＝，则椭圆的离心率为_______． 解析：由题意可知PF1＝PF2＝＝＝a，F1F2＝2c.在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝a2＋a2－2a2cos∠F1PF2，化简得4c2＝a2，则e2＝，所以e＝. 所以a＝＝＝c， 所以离心率为e＝＝＝. 1．若本例条件“cos∠F1PF2＝”变为“∠F1PF2为直角”，求椭圆的离心率． 解：因为∠F1PF2为直角， 所以△F1PF2为等腰直角三角形， 所以b＝c， 2．若本例条件“点P是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1PF2＝”变为“点P为椭圆的上顶点，点Q在椭圆上且满足＝3”，求椭圆的离心率． 解：由题意P(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝. 设Q(x0，y0)，由＝3， 得(c，b)＝3(x0－c，y0)，即 代入椭圆方程得＋＝1，解得离心率e＝. ∴e2＝>， ∴e>，又0<e<1， ∴椭圆离心率的取值范围为. 3．若本例条件“cos∠F1PF2＝”变为“∠F1PF2为钝角”，求椭圆离心率的取值范围． 解：由题意，知c>b， ∴c2>b2.又b2＝a2－c2， ∴c2>a2－c2，即2c2>a2， 4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：法一　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，整理得b2＝3c2.又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，解得e＝或e＝－(舍去)． 法二　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，所以＝×2b，即＝，所以e＝. 法三　如图，由题意，得在椭圆中，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b，BF＝a.在Rt△FOB中，OF×OB＝BF×OD，即c×b＝a×b，解得＝，所以椭圆的离心率e＝. 5．已知F1，F2分别是椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆M上，且PF1－PF2＝4b，则M的离心率的取值范围为(　 ) A. B. C. D. 解析：由题意得则PF1＝a＋2b，PF2＝a－2b，由PF1＝a＋2b≤a＋c，PF2＝a－2b≥a－c，得2b≤c，即4b2＝4(a2－c2)≤c2，得≥.又0＜e＜1，所以M的离心率的取值范围为. A级——综合提能 1．[多选]已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　 ) A．长轴长为 B．焦距为 C．焦点坐标为 D．离心率为 解析：由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，所以长轴长2a＝1，焦距2c＝，焦点坐标为，离心率e＝＝. 2．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　 ) A. B. C. D. 解析：由e2＝e1，得e＝3e.因此＝3×.因为a＞1，所以a＝. 解析：因为k<9，k≠0，所以25－k>9－k>0，所以椭圆＋＝1(k<9，k≠0)中a2＝25－k≠25，b2＝9－k≠9，故A、C错误； 3．若椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k<9，k≠0)，则两椭圆必定(　 ) A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距 C．有相等的短轴长 D．有相等的离心率 椭圆＋＝1(k<9，k≠0)的c2＝a2－b2＝25－k－(9－k)＝16，椭圆＋＝1的c2＝25－9＝16，故两椭圆c相等，所以有相等的焦距，故B正确； 离心率e＝，两椭圆a不相等，c相等，显然离心率不一样，故D错误． 4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF1F2是正三角形．∵在Rt△BOF2中，OF2＝c，BF2＝a，∠OF2B＝60°，∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝. 5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，短轴的右端点为B，M(1,0)为线段OB的中点，则椭圆的标准方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：因为M(1,0)为线段OB的中点，且B(b,0)，所以b＝2，又椭圆C的离心率e＝，所以＝＝＝，所以a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 6．若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C的长轴长为________． 2 解析：∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)， ∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，由于＋＝1表示的是椭圆，则m>1， ∴m＝2，则椭圆方程为＋＝1， ∴a＝，2a＝2. ＋＝1 7．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为8π，且离心率为，则C的标准方程为______________． 解析：设C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则 解得所以C的标准方程为＋＝1. 解析：设小椭圆的长半轴长为a，a>0，依题意，e＝＝＝，则＝， 解得a＝10，所以小椭圆的长轴长为2a＝20 cm. 9．求下列曲线的标准方程． (1)长轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆； (2)一个焦点为(0,2)，长轴长为6的椭圆． 解：(1)由题意，2a＝12，∴a＝6，又e＝，即＝，∴c＝4，∴b2＝a2－c2＝36－16＝20，又焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由题意，c＝2，椭圆焦点在y轴上，2a＝6，即a＝3，∴b2＝a2－c2＝5，∴椭圆的标准方程为＋＝1. 10．已知P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点． (1)若P为椭圆的上顶点，且PF1⊥PF2，△F1PF2的面积等于4，求椭圆的标准方程； (2)若△POF2为等边三角形，求椭圆C的离心率． 解：(1)由题意可得PF1＝PF2＝a，因为PF1⊥PF2，所以PF＋PF＝2a2＝4c2，所以S△PF1F2＝PF1·PF2＝＝4，所以a2＝8，所以b2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)法一　若△POF2为等边三角形，则P的坐标为，代入方程＋＝1，可得＋＝1，解得e2＝4±2，又0<e<1，所以e＝－1. 法二　由△POF2为等边三角形，所以OF1＝OF2＝OP，所以PF1⊥PF2，由∠OF2P＝，F1F2＝2c，所以PF1＝c，PF2＝c，所以PF1＋PF2＝2a＝(＋1)c，所以e＝－1. B级——应用创新 11.如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，F是左焦点，则P1F＋P2F＋…＋P9F＝(　 ) A．16 B．18 C．20 D．22 解析：因为把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，设椭圆的右焦点为F′，且a2＝4，可得a＝2，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得P1F＝P9F′，P2F＝P8F′，P3F＝P7F′，…，所以P1F＋P2F＋…＋P9F＝(P9F′＋P9F)＋(P8F′＋P8F)＋…＋(P5F′＋P5F)＝9a＝18. 12．[多选]已知椭圆C：＋＝1，F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点．下列说法正确的是(　 ) A．椭圆离心率为 B．PF1的最大值为3 C．0≤∠F1PF2≤ D．PF1＋PF2＝2 解析：由椭圆C：＋＝1，可得a＝2，b＝，则c＝＝1，由椭圆C的离心率为e＝＝，所以A正确； 由椭圆的几何性质，当点P为椭圆的右顶点时，可得(PF1)max＝a＋c＝3，所以B正确； 当点P为椭圆的短轴的端点时，可得PF1＝PF2＝a＝2，F1F2＝2c＝2，所以∠F1PF2＝，根据椭圆的几何性质，可得0≤∠F1PF2≤，所以C正确； 由椭圆的定义，可得PF1＋PF2＝2a＝4，所以D错误． 13.[多选]如图，椭圆C1：＋y2＝1和C2：＋x2＝1的交点依次为A，B，C，D.则下列说法正确的是(　 ) A．四边形ABCD为正方形 B．阴影部分的面积大于3 C．阴影部分的面积小于4 D．四边形ABCD的外接圆方程为x2＋y2＝2 解析：由题意，椭圆C1：＋y2＝1和C2：＋x2＝1，根据曲线的对称性，可得四边形ABCD为正方形，A正确； 联立方程组，求得A，所以正方形ABCD的面积为S1＝3，所以阴影部分的面积大于3，B正确； 由直线x＝±1，y＝±1围成的正方形的面积为S2＝4，所以阴影部分的面积小于4，C正确； 由OA2＝，所以四边形ABCD的外接圆方程为x2＋y2＝，D错误． 14．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________． 解析：根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)，设F1(－c，0)，F2(c,0)，设M(x0，y0)，· ＝0⇒(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝0⇒x－c2＋y＝0⇒y＝c2－x，点M(x0，y0)在椭圆内部，有＋<1⇒b2x＋a2(c2－x)－a2b2<0⇒x>2a2－，要想该不等式恒成立，只需2a2－<0⇒2a2c2<a4⇒2c2<a2⇒e＝<，而e>0⇒0<e<. 解：(1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3. ∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)设M(x0，y0)(x0∈(－2,2))，则＋＝1①. ＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)， 由MP⊥MH可得·＝0，即(t－x0)(2－x0)＋y＝0②. 由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3. ∵x0≠2，∴t＝x0－. ∵－2<x0<2，∴－2<t<－1. ∴实数t的取值范围为(－2，－1)． $$