3.1.1 第2课时 椭圆的定义及方程的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）  

椭圆的定义及方程的应用 (深化课—题型研究式教学) 第 2 课时 课时目标 1.进一步掌握椭圆的定义，能利用椭圆的定义解决“焦点”三角形问题． 2．会判断直线与椭圆的位置关系，能应用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题． CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　焦点三角形问题 题型(二)　直线与椭圆位置 关系的判断 题型(三)　直线与椭圆 位置关系的应用 4 课时跟踪检测 题型(一)　焦点三角形问题 01 多维度理解 变式拓展 方法技巧 椭圆中的焦点三角形的应用技巧 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义PF1＋PF2＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 针对训练 √ 3 题型(二)　直线与椭圆位置 关系的判断 02 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 2 Δ＞0 相切 1 Δ＝0 相离 0 Δ＜0 方法技巧 判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围．　　 针对训练 √ 题型(三)　直线与椭圆位置 关系的应用 03 变式拓展 本例条件不变，求AB的长． 1．解决椭圆中点弦问题的三种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． (3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其中一个交点为A(x，y)，则另一个交点为B(2x0－x,2y0－y)，将A，B的坐标分别代入椭圆方程，作差即得所求直线方程. 方法技巧 √ 针对训练 √ 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1,3)∪(3，＋∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3∶5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 设F1和F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的任意一点，当P，F1，F2三点不在同一条直线上时，点P，F1，F2构成一个三角形，我们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形，如图所示．它们具有以下性质： (1)PF1＋PF2＝2a，F1F2＝2c. (2)F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos∠F1PF2. (3)当PF1＝PF2时，∠F1PF2最大． (4)焦点三角形的周长为2a＋2c. (5)S＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝b2tan. [例1]　已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积． 解：由椭圆＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.PF1＋PF2＝10，在△PF1F2中，由余弦定理可得，F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos∠F1PF2＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2－ 2PF1·PF2·，可得64＝100－PF1·PF2，得PF1·PF2＝，故S△F1PF2＝PF1·PF2·sin∠F1PF2＝×× ＝. 1．若本例条件去掉“cos∠F1PF2＝”，求△PF1F2面积的最大值． 解：当PF1＝PF2时，S最大，此时S＝×2c×b＝12.故△PF1F2面积的最大值为12. 2．若本例条件“cos∠F1PF2＝”变为“cos∠F1PF2＝0”，求△PF1F2的面积． 解：易知∠F1PF2＝90°，故S＝b2tan＝b2tan 45°＝9. 3．若本例条件“cos∠F1PF2＝ ”变为“∠PF1F2＝90°”，其他条件不变，求△PF1F2的面积． 解：由已知得a＝5，b＝3，c＝4，在△PF1F2中，由勾股定理知PF＝PF＋F1F.即PF＝PF＋64，由椭圆定义知PF1＋PF2＝10.故(10－PF1)2＝PF＋64，解得PF1＝.故S＝××8＝. 1．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交该椭圆于P，Q两点，若PF2＋QF2＝9，则PQ＝(　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：∵椭圆＋＝1，∴a2＝16，a＝4，∵P，Q在椭圆上，∴PF1＋PF2＝2a＝8，QF1＋QF2＝2a＝8，∴△PQF2的周长为PF1＋PF2＋QF1＋QF2＝PF2＋QF2＋PQ＝16，∵PF2＋QF2＝9，∴PQ＝7. 2.如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为___． 解析：根据题意可得PF1＋PF2＝2a，可得PF2＝2a－4，又c2＝a2－2，利用余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝－，即＝－，整理可得＝－，解得a＝3. 一般，联立直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的方程，得消去y，得一个一元二次方程. [例2]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)相交；(2)相切；(3)相离？ 解：(1)联立得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，Δ＝64m2－36(2m2－4)＝144－8m2， 当直线与椭圆相交，即Δ>0时，144－8m2>0，解得－3<m<3. (2)当直线与椭圆相切，即Δ＝0时，144－8m2＝0，解得m＝±3. (3)当直线与椭圆相离，即Δ<0时，144－8m2<0，解得m>3或m<－3. 3．直线l：ax＋y－a＋1＝0与椭圆＋＝1的位置关系是(　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 解析：法一　∵ax＋y－a＋1＝0，即a(x－1)＋y＋1＝0，∴直线l恒过定点M(1，－1)，又∵椭圆＋＝1，∴＋<1，∴定点M在椭圆内，∴直线l与椭圆相交． 法二　⇒(3a2＋2)x2－6a(a－1)x＋3(a2－2a－1)＝0， ∴Δ＝36a2(a－1)2－12(3a2＋2)(a2－2a－1)＝48a2＋48a＋24＝482＋12>0恒成立， ∴直线l与椭圆相交． 所以Δ＝(8k)2－24(2k2＋1)≥0， 解得k≥或k≤－. ∪ 4．直线l：y＝kx＋2与椭圆C：＋y2＝1有公共点，则k的取值范围为__________________________． 解析：联立整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0. 因为直线l与椭圆C有公共点． [例3]　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程． 解：法一：根与系数的关系、中点坐标公式法 设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)． 联立消去y，得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝. 因为线段AB的中点恰好为P(4,2)，所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ>0. 所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)， 即y＝－x＋4. 法二：点差法　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 两式相减得＋＝0， 整理得kAB＝＝－. 因为P(4,2)是线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以kAB＝－＝－， 所以直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，即y＝－x＋4. 法三：共线法　设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，另一个交点为B，由于点P(4,2)为线段AB的中点，因此B(8－x,4－y)． 因为A，B两点都在椭圆上， 所以 ①－②，得x＋2y－8＝0. 即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－8＝0. 解：由例知l的方程为y＝－x＋4.设弦AB的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 得2y2－8y＋7＝0，所以y1＋y2＝4，y1y2＝， 所以AB＝ ＝. 2.求弦长的一般步骤 (1)联立直线与椭圆的方程； (2)设法消去未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，由根与系数的关系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)； (3)代入弦长公式AB＝·|x1－x2|＝·或AB＝|y1－y2|＝(k≠0)求解． 5．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且AB＝，则实数m的值为(　 ) A．±1 B．± C. D．± 解析：由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由题意，得AB＝＝ ＝，解得m＝±1. 6．若椭圆＋＝1的弦AB被点P(1,1)平分，则AB所在直线的方程为(　 ) A．9x＋4y－13＝0 B．4x＋9y－13＝0 C．x＋2y－3＝0 D．x＋3y－3＝0 解析：若直线AB⊥x轴，则点A，B关于x轴对称，则直线AB的中点在x轴，不合乎题意，所以直线AB的斜率存在，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝y1＋y2＝2，所以 两式作差可得＋＝0，即＋＝0，即＋＝0，可得直线AB的斜率为kAB＝＝－，所以直线AB的方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0. A级——综合提能 1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　 ) A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 解析：把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离． 2．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　 ) A. B. C. D. 解析：由消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，∴弦的中点的横坐标是x＝×＝，代入直线方程y＝x－1中，得y＝－，∴弦的中点坐标是. 3．设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则PF1·PF2＝(　 ) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：由椭圆C：＋y2＝1，可得a＝，b＝1，c＝2，因为·＝0，所以PF1⊥PF2，由题意可得 即PF1·PF2＝ ＝＝2. 4．经过点P且与椭圆＋y2＝1相切的直线方程是(　 ) A．x＋2y－4＝0 B．x－2y－4＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x－2y＋2＝0 解析：显然当x＝1时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；当存在斜率k时，直线方程设为y－＝k(x－1)，与椭圆的方程联立，得 得(1＋4k2)x2＋4kx(－2k)＋4k2－4k－1＝0，直线与椭圆相切，故Δ＝0，即[4k(－2k)]2－4×(1＋4k2)×(4k2－4k－1)＝0，解得k＝－，所以切线方程为x＋2y－4＝0，故选A. 5．P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若PF1·PF2＝12，则∠F1PF2的大小为(　 ) A．60° B．30° C．120° D．150° 解析：由椭圆的定义得PF1＋PF2＝8，F1F2＝2，∴(PF1＋PF2)2＝64，∵PF1·PF2＝12，∴PF＋PF＝40，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝，∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝60°. 6．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________________． 解析：∵＋＝1表示椭圆，∴m>0且m≠3. 由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0， ∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0. ∴m>1且m≠3，∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)． 7．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若在椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积是2，则|a|＝________. 解析：根据椭圆定义知PF1＋PF2＝2|a|，由PF1⊥PF2，得△PF1F2为直角三角形， ∴PF＋PF＝(2c)2， 又∵△PF1F2的面积为2， ∴·PF1·PF2＝2，则PF1·PF2＝4， ∴(2a)2＝(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝4c2＋8，可得a2－c2＝2＝b2，由＋＝1可得b2＝a2－4，所以a2－4＝2，解得|a|＝. 8．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(4,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为M(1，－1)，则椭圆E的方程为____________． 解析：由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程＋＝1，可得 ＋＝1 两式相减可得＋＝0，变形可得kAB＝＝﹐又AB的中点M为(1，－1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，代入上式可得，kAB＝＝，又kAB＝kMF，F(4,0)，kMF＝，所以＝，3b2＝a2，又a2＝b2＋c2，c2＝16，解得a2＝24，b2＝8，所以椭圆E的方程为＋＝1. 9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(0，－1)，F2(0,1)，且椭圆C经过点P. (1)求椭圆方程； (2)若A点为椭圆上一动点，求A点到直线y＝x－4的最小距离． 解：(1)∵椭圆C的焦点为F1(0，－1)，F2(0,1)，∴c＝1　①， 又∵点在椭圆C：＋＝1上， ∴＋＝1　②， 而a2＝b2＋c2　③， ∴联立①②③得∴椭圆方程为＋x2＝1. (2)设l：y＝x＋m与椭圆相切， ∴联立方程组 ∴3x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝4m2－4×3(m2－2)＝0，∴m＝±， 显然易知当m＝－时，l：y＝x－与y＝x－4距离最近， ∴d＝＝＝2－. 10．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点． (1)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值； (2)求PF1·PF2的最大值． 解：(1)由椭圆方程知＋＝1，a＝10，c2＝100－b2，则PF1＋PF2＝20, 由△F1PF2的面积为S＝PF1·PF2·sin 60°＝， 解得PF1·PF2＝， 由余弦定理得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos 60°＝(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2＝400－256＝144， 即100－b2＝36，所以b2＝64，即b＝8. (2)由基本不等式得PF1·PF2≤＝100， 当且仅当PF1＝PF2＝10时，等号成立， 所以PF1·PF2的最大值为100. B级——应用创新 11．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：将直线y＝x＋m与椭圆C联立消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.因为直线y＝x＋m与椭圆C相交于A，B 两点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2.由题意，F1(－，0)，F2(，0)，因为△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)，故选C. 12．F1是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1,1)为定点，则PA＋PF1的最小值是(　 ) A．9－ B．6－ C．3＋ D．6＋ 解析：如图所示，设点F2为椭圆的右焦点，连接F2A并延长交椭圆于点P′，连接P′F1，PF2.∵PF1＋PF2＝2a＝6，∴PF1＝6－PF2，∴PA＋PF1＝PA＋6－PF2＝6＋(PA－PF2)．根据三角形两边之差小于第三边，当P，A，F2三点共线，即点P位于P′位置时，PA－PF2最小，其值为－AF2＝－，此时PA＋PF1的最小值为6－. 13.如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为＋＝1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且PF1＝，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则F1M∶F2M＝________. 解析：由椭圆的光学性质得到PM平分∠F1PF2，所以＝，由PF1＝，PF1＋PF2＝4，得PF2＝，故F1M∶F2M＝3∶5. 14．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为____． 解析：由题意得，F(－1,0)，设点P(x0，y0)，则y＝3 (－2≤x0≤2)， 因为＝(x0，y0)，＝(x0＋1，y0)， 所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2， 所以当x0＝2时，·取得最大值6. 15.如图，过点B(0，－b)作椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，求这些弦中的最大弦长． 解：设M(x，y)是椭圆上任意一点，则BM 2＝x2＋(y＋b)2＝x2＋y2＋2by＋b2①， 由＋＝1，有x2＝(b2－y2)②. 将②代入①式，整理得BM2＝y2＋2by＋(a2＋b2)＝·2＋. ∵－b≤y≤b， 当b≤c时，≤b， ∴当y＝时，|BM|的最大值为. 当b>c时，>b， 综上所述，当b≤c时，这些弦中的最大弦长为；当b>c时，这些弦中的最大弦长为2b. ∴当y＝b时，点M为(0，b)，即y轴上方顶点位置， ∴BM的最大值为2b. $$