3.1.1 第1课时 椭圆的定义及其标准方程（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）  

第3章 圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆的标准方程 椭圆的定义及其标准方程 (强基课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.理解并掌握椭圆的定义．　　 　 2.掌握椭圆的标准方程的推导． 3．会求简单的椭圆的标准方程．　 4.能用定义法、直接法、代入法求与椭圆有关的轨迹问题． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一)椭圆的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的___________________ (大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆 焦点 两个_____F1，F2叫作椭圆的焦点 焦距 两个焦点间的______叫作椭圆的焦距 距离之和等于常数 定点 距离 微点助解 1．对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆． 2．对定义中限制条件“常数(大于F1F2)”的理解 条件 结论 常数大于F1F2 动点的轨迹是椭圆 常数等于F1F2 动点的轨迹是线段F1F2 常数小于F1F2 动点不存在，因此轨迹不存在 基点训练 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足PF1＋PF2＝4，则点P的轨迹是椭圆． (　 ) (2)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足PF1＋PF2＝2，则点P的轨迹是椭圆． (　 ) √ × (3)已知点F1(0，－1)，F2(0,1)，动点P满足PF1＋PF2＝1，则点P的轨迹是椭圆． (　 ) (4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(　 ) × √ (二)椭圆的标准方程 焦点坐标 _________________ __________________ 焦距 2c a，b，c的 关系 _____________ F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2＝b2＋c2 续表 微点助解 (1)椭圆标准方程中“标准”的含义： 椭圆放置在平面直角坐标系的“标准状况下”的方程，即：①焦点F1，F2在坐标轴上；②线段F1F2的中点是坐标原点． 基点训练 √ √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：MA＋MB为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么p是q的(　 ) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型(一)　椭圆的定义 √ 解析：当MA＋MB为定值时，若定值大于AB时，点M轨迹是椭圆，若定值等于AB，点M轨迹是线段，若定值小于AB，则轨迹不存在；当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时，MA＋MB必为定值．所以p⇒/ q，但q⇒p，故p为q的必要且不充分条件． 椭圆定义的应用类型 (1)判定点的轨迹是否为椭圆，关键看是否符合椭圆的定义； (2)作为性质运用．椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)． 方法技巧 针对训练 √ √ 2．已知P，Q为椭圆上两点且F1，F2为椭圆的两个焦点，当PF1＝4时，PF2＝8.求Q在运动过程中，QF1·QF2的最大值． 题型(二)　椭圆的标准方程 定义法就是根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． 方法技巧 方法技巧 针对训练 [例4]　已知平面内B，C是两个定点，BC＝8，△ABC的周长为18，以BC中点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，求出△ABC顶点A的轨迹方程． 题型(三)　与椭圆有关的轨迹问题 变式拓展 与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法． 1．定义法 如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法． 方法技巧 2．代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(也称相关点法)． 针对训练 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 16 (－8,0)，(8,0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 10 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 _________________ __________________ 图形 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) (2)标准方程的结构特征： 标准方程右边是1，左边是与的和，并且分母不相等． (3)判断焦点位置的方法： 标准方程中含x2项的分母较大⇔焦点在x轴上；标准方程中含y2项的分母较大⇔焦点在y轴上．因此要根据标准方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离之和为4，焦距为2，则C的方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：由题设，知可得则b2＝a2－c2＝3，∴C的方程为＋＝1. 2．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为(　 ) A. B. C．(－∞，－3) D．(2，＋∞) 解析：由题意可得0<3＋m<2－m，解得－3<m<－，所以m的取值范围为. 1．[多选]设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足PF1＋PF2＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是(　 ) A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 解析：易知a＋≥6，故选BC. 解：由题意QF1＋QF2＝PF1＋PF2＝4＋8＝12， 由基本不等式QF1·QF2≤2＝2＝36， 当且仅当QF1＝QF2＝6时，等号成立， 故QF1·QF2的最大值为36. 方法1　定义法求椭圆的标准方程　 [例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)一个焦点坐标为(－5,0)，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26； (2)一个焦点坐标为(0,2)，且椭圆经过点(－，)． 解：(1)由题意2a＝26，a＝13，又c＝5，所以b＝ ＝＝12， 椭圆标准方程为＋＝1. (2)由题意椭圆另一焦点为(0，－2)． 2a＝＋＝＋＝－＋＋＝4，a＝2，c＝2，所以b＝＝2，焦点在y轴上，椭圆标准方程为＋＝1. 方法2　待定系数法求椭圆的标准方程　 [例3]　(1)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和的椭圆的标准方程； (2)求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程． 解：(1)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(λ＞－9)．又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 待定系数法求椭圆的标准方程 (1)定位置：根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上． (2)设方程：设椭圆方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)．无法确定焦点位置时，可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)． (3)寻关系：根据条件列出关于a，b，c(或A，B)的方程组． (4)得方程：解方程组，将所求得的相应值代入所设方程即可．　　 3．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，经过点(0,4)； (2)焦点在y轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8，c＝； (3)两个焦点坐标分别是(0，－2)和(0,2)，并且经过点； (4)椭圆中c＝b，且a＋b＝6； (5)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)． 解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题可得c＝3， 将(0,4)代入到方程＋＝1中得b＝4，故a＝＝＝5， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题可得2a＝8，即a＝4，所以b＝＝＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)易知c＝2，焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1，将代入标准方程解得b2＝6，则椭圆的标准方程为＋＝1. (4)因为c＝b，a2－b2＝c2，解得a＝2b， 又因为a＋b＝6，所以b＝2，a＝4，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (5)由题意，椭圆9x2＋5y2＝45化为标准方程＋＝1，知焦点F1(0,2)，F2(0，－2)， 设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)， 将x＝2，y＝代入，得＋＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)． ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 解：根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值，且定值大于定长的点的集合轨迹为椭圆，BC＝8,2c＝8，c＝4以及2a＝18－8＝10，a＝5，则有a2＝25，c2＝16，那么b2＝a2－c2＝9，且A，B，C三点构成三角形，那么点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． 本例条件“△ABC的周长为18”变为“直线AB，AC的斜率分别为kAB，kAC，且kAB·kAC＝－”．其他条件不变，△ABC顶点A的轨迹方程如何求解． 解：设点A(x，y)，B坐标为(－4,0)，C坐标为(4,0)，则有kAB＝，kAC＝，且kAB·kAC＝－， 那么·＝－ ，化简可得＝－ ，－16y2＝9x2－9×16,9x2＋16y2＝9×16， 且A，B，C三点构成三角形，那么点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． 4．已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为_____________． 解析：设Q(x，y)，由于Q是OP中点，故P(2x,2y)，代入椭圆方程得＋＝1，化简得x2＋＝1.即Q点的轨迹方程为x2＋＝1. x2＋＝1 5.如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程． 解：如图所示，连接MA.由题意知点M在线段CQ上， 从而有CQ＝MQ＋CM. 又点M在线段AQ的垂直平分线上，则MA＝MQ， 故MA＋MC＝CQ＝5＞AC＝2. 故a＝，b2＝a2－c2＝－1＝. 故点M的轨迹方程为＋＝1. 又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1， A级——综合提能 1．已知点A(－3,0)，B(0,2)在椭圆＋＝1上，则椭圆的标准方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 解析：由题意得解得m2＝9，n2＝4.所以椭圆的标准方程为＋＝1. 2．若椭圆＋＝1(m＞0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m的值为(　 ) A．5 B．3 C. D. 解析：根据题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝1，则有4－m2＝1，解得m＝±.又m＞0，则m＝. 3．如果方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(　 ) A．(3,4) B. C. D. 解析：∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴4－m>0，m－3>0且m－3>4－m，解得<m<4.故选D. 4．椭圆＋＝1的右焦点到直线x－y＝0的距离为(　 ) A. B. C．1 D. 解析：在椭圆＋＝1中，a2＝4，b2＝3，则c＝＝1，所以椭圆的右焦点为F(1,0)．所以椭圆的右焦点F(1,0)到直线x－y＝0的距离为d＝＝. 5．关于椭圆C：＋＝1，有下列四个命题：甲：m＝4；乙：n＝9；丙：C的焦距为6；丁：C的焦点在x轴上．如果只有一个假命题，则该命题是(　 ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：当甲、乙为真命题时，椭圆方程为＋＝1，椭圆的焦距为2c＝2＝2，且焦点在y轴上，此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题．当乙、丙和丁是真命题时，b＝＝3,2c＝6，∴a2＝b2＋c2＝9＋9＝18，此时椭圆方程为＋＝1，符合题意，故甲是假命题． 6．椭圆＋＝1的焦距是____，焦点坐标是____________． 解析：由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且a2＝100，b2＝36，所以c2＝a2－b2＝64，解得c＝8，所以焦距2c＝16，两焦点的坐标分别是(－8,0)，(8,0)． 7．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若AF2＋BF2＝14，则AB＝________. 解析：因为a＝6，AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，两式相加得AF2＋BF2＋AB＝4a＝24.又AF2＋BF2＝14，所以AB＝10. 8．已知△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0，－6)，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是－，则顶点A的轨迹方程是______________． ＋＝1(x≠0) 解析：设顶点A的坐标为(x，y)，因为A，B，C是△ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此x≠0，由题意得·＝－，化简整理，得＋＝1(x≠0)，所以顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠0)． 9．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)b＝1，c＝，焦点在y轴上； (2)a＝10，c＝6； (3)经过点P(－2，0)，Q(0,2)两点； (4)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点(2，－)． 解：(1)因为b＝1，c＝，所以a2＝b2＋c2＝16， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为＋x2＝1. (2)因为a＝10，c＝6，所以b2＝a2－c2＝100－36＝64，因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为＋＝1或＋＝1. (3)由题意得P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以a＝2，b＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (4)设椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上， 因为c＝＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)， 故设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意得解得或 (舍去)． 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 10．已知椭圆＋＝1上一点M(x0，y0)，且x0＜0，y0＝2. (1)求x0的值； (2)求过点M且与椭圆＋＝1共焦点的椭圆的方程． 解：(1)由题意知点M(x0,2)在椭圆＋＝1上，则＋＝1，解得x＝9，又x0＜0，∴x0＝－3. (2)易知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c2＝9－4＝5，故可设所求椭圆的方程为＋＝1(a2＞5)．由(1)可知点M的坐标为(－3,2)，将其代入所设方程，得＋＝1(a2＞5)，解得a2＝15.故所求椭圆的方程为＋＝1. B级——应用创新 11．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　 ) A．± B．± C．± D．± 解析：∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，则点P的纵坐标为±，故点M的纵坐标为±. 12．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为(　 ) A．8 B．2 C．4 D．4 解析：由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，易知2a＝8,2b＝4，所以a＝4，b＝2，所以c＝＝2，因此焦距2c＝4.故选C. 13．已知点F是椭圆C：＋＝1的左焦点，点P为C上一点，A，则PA＋PF的最小值为(　 ) A. B. C．4 D. 解析：设椭圆C：＋＝1的右焦点为F′(2,0)．由A，得AF′＝.根据椭圆的定义可得PF＋PF′＝2a＝6，所以PA＋PF＝PA＋6－PF′≥6－AF′＝6－＝. 14．已知椭圆＋y2＝1，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为(2,0)，则PA的最小值为________． 解析：令P(x，y)且－3≤x≤3，则PA＝，而y2＝1－，故PA＝＝，所以当x＝时，PAmin＝. 15．椭圆＋y2＝1上有动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程． 解：设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)， ∵在已知椭圆的方程中，a＝3，b＝1， ∴c＝＝2，则已知椭圆的两焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)． ∵△PF1F2存在， ∵y1≠0，∴y≠0. ∵点P在椭圆上，∴＋y＝1， ∴＋(3y)2＝1(y≠0)， 故△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2＋＝1(y≠0)． ∴y1≠0.由三角形重心坐标公式有 即 16．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标． 解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)， 设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，故椭圆M的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±. 又＋y＝1，所以x＝，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，. $$