2.2 第2课时 直线与圆的综合应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）  

直线与圆的综合应用 (深化课—题型研究式教学) 第 2 课时 课时目标 1.能解决直线与圆的方程有关的实际应用问题． 2．掌握解决与圆有关最值(范围)问题和常用方法． CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　直线与圆的方程的实际应用 题型(二)　与圆有关的最值问题 课时跟踪检测 题型(一)　直线与圆的方程 的实际应用 01 [例1]　一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，船速为10 km/h，这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为(　 ) A．1 h B．2 h C．3 h D．4 h √ 方法技巧 建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路 (1)选择合适坐标原点(方便求解直线、圆的方程)，建立平面直角坐标系； (2)根据题意写出直线与圆的方程； (3)根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解． 针对训练 题型(二)　与圆有关的最值问题 02 题点1　　过圆内一点的最长弦、最短弦　 √ 方法技巧 最长弦和最短弦问题的解法 (1)求出圆的标准方程，判断点是在圆内还是在圆外； (2)过圆内一点的最长弦为圆的直径，此时直线过圆心；最短弦与圆心和该点的连线垂直． 最长弦长为直径，可直接得出，最短弦长可利用垂径定理和勾股定理求得． 方法技巧 题点3　圆上的动点到直线的距离的最值和范围问题 [例4]　已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝____. 2 方法技巧 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， (1)当直线与圆相离时，圆上一点到直线的距离的最大值为d＋r，最小值为d－r，如图①； (2)当直线与圆相切时(d＝r)，圆上一点到直线的距离的最大值为2r，最小值为0，如图②； (3)当直线与圆相交时，圆上一点到直线的距离的最大值为d＋r，最小值为0，劣弧上的点到直线的距离的最大值为r－d，如图③. 针对训练 2．从点P(1，－2)向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为(　 ) A．－1 B．1 C．2 D．0 √ 3．已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为_____． 1 当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小， 则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1， 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1．圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是(　 ) A．[3,7] B．[1,9] C．[0,5] D．[0,3] 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9. 设圆心为C，则C(3,0)，半径r＝3. 设点(1,2)为点A，过点A(1,2)的直线为l， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为(1－3)2＋22＜9， 所以点A(1,2)在圆C的内部， 则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D. 易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小， 设此时圆心C到直线l的距离为d， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．点P(x，y)是直线l：kx＋y＋3＝0上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－4y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为_____． ±2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，求△ABP面积的取值范围． 解：设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 A．观测点A，B之间的距离是280 m B．圆C的方程为x2＋y2＋240x－320y＝0 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为y＝－x＋200 D．小汽车会进入安全预警区 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．在平面直角坐标系中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______________． (x－1)2＋y2＝2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3. (1)求圆的方程； (2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x轴，正北方向为y轴建立平面直角坐标系，所以A(40,0)，B(0，30)，圆O：x2＋y2＝676，记从N处开始被监测，到M处监测结束，所以lAB： ＋＝1，即lAB：3x＋4y－120＝0，因为O到lAB：3x＋4y－120＝0的距离为OO′＝＝24，所以MN＝2＝20，所以该艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为＝2 h. 1．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，求城市B处于危险区的时间为多少h. 解：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区， 即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，由题意知，台风路径用方程表示为y＝x，则圆心B(40，0)到直线y＝x的距离d＝＝20， 可求得MN＝2＝20，所以城市B处于危险区的时间为＝1 h. [例2]　已知圆P经过A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)三点，则圆P截直线x＋ay＋2＝0所得弦长的最小值为(　 ) A．2 B．4 C. D．2 解析：因为圆心在弦AC的中垂线上，所以设圆心为P(m，－2)．又r2＝AP2＝BP2，即(m－1)2＋52＝(m－4)2＋42，解得m＝1，所以P(1，－2)．所以r＝5，圆P的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.又直线x＋ay＋2＝0过定点Q(－2,0)，PQ＝＝，当直线PQ与直线x＋ay＋2＝0垂直时，弦长最短，则由垂径定理，得弦长l＝2＝2＝4.所以直线x＋ay＋2＝0被圆截得的弦长的最小值为4. 题点2　　与圆有关的斜率、距离的最值问题　 [例3]　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 解：(1)方程表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆，设＝k，即kx－y＝0，当直线kx－y＝0与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.故的最大值为，最小值为－. (2)设y－x＝b，即x－y＋b＝0， 当x－y＋b＝0与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±. 故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4. (1)ax＋by型的最大值转化为直线ax＋by＝c的截距的最大值； (2)型的最大值和最小值转化为过点(x，y)和(a，b)的直线斜率的最大值和最小值； (3)(x－a)2＋(y－b)2型的最大值和最小值转化为(x，y)和(a，b)的距离的最大值和最小值的平方． 解析：圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1， 由圆的性质可知，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值S＝1＝r(PB)min＝(PB)min，则(PB)min＝2， 因为PB＝＝，所以当PC取最小值时，PB最小．又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，PC最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离，所以＝＝，解得k＝±2，因为k>0，所以k＝2. 解析： x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m,1)，半径为1，切线长最短时，CP最小，CP＝，即当m＝1时，CP最小，切线长最短． 解析：根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，O(0,0)，A(0，2)，AO所在的直线是y轴， 则△OAM的面积最小值S＝×OA×d＝1. 4．已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝. (1)求x2＋y2的最值； (2)试求点P(3,3)到圆的最远距离． 解：(1)由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应的取得最大值和最小值．易知圆(x＋1)2＋y2＝的圆心的坐标为(－1,0)，半径为， 所以原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离d＝1.故圆上的点到坐标原点的最远距离为1＋＝，最近距离为1－＝，因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. (2)由(1)知圆心的坐标为(－1,0)，半径为，则点P到圆心的距离为＝5，所以点P(3,3)到圆的最远距离为5＋＝. 解析： x2＋y2＝4，圆心(0,0)，半径r＝2，圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围是[3,7]． 2．点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是(　 ) A．[，＋∞) B．(－∞，－] C．(－∞，－]∪[，＋∞) D．[－，] 解析：如图，将看作圆上动点(x，y)与原点O(0,0)连线的斜率，设＝k，把y＝kx代入圆的方程得(k2＋1)x2－4kx＋3＝0，则Δ＝16k2－4×3×(k2＋1)≥0，解得k≥或k≤－. 3．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为(　 ) A．2 B. C. D．1 解析：如图，由题意得PM2＝PC2－r2，当PC⊥l时，PC最小，则PM最小．因为(PC)min＝d＝＝2，所以()2＝22－r2，解得r＝1. 则d＝AC＝＝2， 所以BDmin＝2＝2＝2， 即弦的长度的最小值为2，故选B. 5．[多选]已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　 ) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，PB＝3 D．当∠PBA最大时，PB＝3 解析：由题意知直线AB：＋＝1，即x＋2y－4＝0，圆心(5,5)到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＝.因为＋4＜10，所以A项正确．因为－4＜2，所以B项错误．当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值．如图，当切点在点P的位置时，∠PBA最小，此时圆心(5,5) 到点B的距离为＝，则PB＝＝3；当切点在点P′的位置时，∠PBA最大，同理可得PB＝3.所以C、D项正确．故选ACD. 解析：从村庄外围到小路的最短距离是圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即－2＝－2. －2 解析：由题设，圆心坐标为(0,0)，半径为4，∴圆心到直线x－y＝3的距离为＝，∴圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为4＋. 4＋ 解析：由题意可知，圆心C(0,2)，半径r＝2.如图所示，S四边形PACB＝2S△PAC＝2×PA×AC＝2PA＝2＝2， 所以当PC最小时，四边形PACB的面积取最小值．而PC的最小值即点C到直线l的距离d，又d＝＝，所以2＝2，解得d＝.即＝，解得k＝±2.所以k的值为±2. 9．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)． (1)求MQ的最大值和最小值； (2)若M(m，n)，求的最大值和最小值． 解：(1)由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2， 又QC＝ ＝4， ∴(MQ)max＝4＋2＝6， (MQ)min＝4－2＝2. (2)由题意可知表示直线MQ的斜率， 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k. 由直线MQ与圆C有交点， 得≤2，可得2－≤k≤2＋， ∴的最大值为2＋，最小值为2－. 则圆心C(2,0)，r＝， 所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝. 由已知条件可得AB＝2， 所以△ABP面积的最大值为AB·dmax＝6， △ABP面积的最小值为AB·dmin＝2. 综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]． B级——应用创新 11．若圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值为(　 ) A. B．3 C. D．2 解析：由圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，得圆心(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，可得b＝a－3，点M(a，b)到圆心的距离为，则由点M(a，b)向圆所作的切线长为＝，当a＝2时，所求的切线长取得最小值为. 12.[多选]某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40 m处设立观测点A，在平台O的正西方向240 m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系．经观测发现，在平台O的正南方向200 m的P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则(　 ) 解析：由题意，得A(40,40)，B(－240,0)，所以AB＝＝200，即观测点A，B之间的距离是200 m，故A错误； 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆C经过O，A，B三点，所以解得所以圆C的方程为x2＋y2＋240x－320y＝0，故B正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为－1，又点P的坐标是(0，－200)，所以小汽车行驶路线所在直线的方程为y＝－x－200，故C错误； 圆C化成标准方程为(x＋120)2＋(y－160)2＝40 000，圆心为C(－120,160)，半径r＝200，圆心C到直线y＝－x－200的距离d＝＝120<r，所以直线y＝－x－200与圆C相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确． 解析：∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)， ∴圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝， ∴半径最大为， ∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2. 解析：由题意知点A(－2,3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2,2a－3)． 所以kA′B＝.所以直线A′B的方程为y＝x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1， 所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.所以实数a的取值范围是. 解：(1)∵圆与x，y轴正半轴都相切， ∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)， ∵圆心C到直线l的距离为3， 由点到直线的距离公式，得d＝＝3，解得a＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4. (2)∵PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点(图略)，∴△PCE≌△PCF， ∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点， ∴PE⊥CE，CE＝2，PE2＝PC2－CE2＝PC2－4，∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小．(PC)min即为圆心C到直线l的距离，由(1)知(PC)min＝3， ∴(PE2)min＝32－4＝5，即(PE)min＝， ∴S四边形PECF＝2S△PCE＝2×CE·PE＝2××2×＝2， ∴四边形PECF的面积的最小值为2. $$