2.1 第1课时 圆的标准方程（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）  

第二章 圆与方程 2.1 圆的方程 圆的标准方程 (强基课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.会根据圆心与半径写圆的标准方程，根据圆的标准方程得圆心与半径． 2．会用待定系数法和几何法求圆的标准方程．会用坐标法和几何法判断点与圆的位置关系． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．圆的标准方程 圆的定义 平面内到定点的距离等于______的点的集合是圆．定点就是______，定长就是______ 基本要素 确定一个圆的基本要素是_____和______ 圆的标 准方程 方程________________________叫作以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程 定长 圆心 半径 圆心 半径 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 2．点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C(a，b)，半径为r.设所给点为P(x0，y0)，C，P两点间距离为d，则 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点P在圆上 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点P在圆外 d_____r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点P在圆内 d_____r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 ＝ ＞ ＜ 微点助解 (1)当圆心在原点即A(0,0)时，方程为x2＋y2＝r2. (2)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上． 基点训练 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． (　 ) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径． (　 ) (3)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上． (　 ) (4)若圆的标准方程是(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此时圆的半径一定是a. (　 ) ×　 √　 ×　 × √ 3．已知圆C的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝12，则点A(1,6)在(　 ) A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 √ 4．已知圆心为(－2,1)的圆过点(0,1)，则该圆的标准方程是(　 ) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 方法1　直接法求圆的标准方程　 [例1]　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)． 题型(一)　圆的标准方程 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)．又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.   直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 方法技巧 方法2　　待定系数法求圆的标准方程　 [例2]　已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，则△ABC外接圆的方程为__________________． (x－1)2＋(y－3)2＝5 待定系数法求圆的标准方程的策略 设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题目给出的已知条件找到参数a，b，r的关系，列出方程组并求出a，b，r.此方法的计算量较大，应注意运算的技巧性．方程组中圆的标准方程左端是平方和的形式，右端是同一常数，两式相减后可简化运算． 方法技巧 方法3　　几何性质法求圆的标准方程　 [例3]　过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　 ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 √ 几何法求圆的标准方程的两种思路 (1)根据题意设出圆心坐标、半径，然后由圆上任意一点到圆心的距离等于半径列方程求得参数的值，由此确定圆心坐标和半径； (2)从几何的角度考虑，圆心在圆的弦的垂直平分线上，求出连接圆上两点的线段的垂直平分线的方程，与已知的圆心所在直线的方程联立求得圆心坐标，再由两点间距离公式求得半径．　 方法技巧 1．已知点A(1，－1)和点B(－1,3)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为(　 ) 针对训练 √ A．(x＋2)2＋(y－4)2＝5 B．(x＋2)2＋(y－4)2＝20 C．x2＋(y－1)2＝5 D．x2＋(y－1)2＝20 2．已知圆C过点A(1,2)和B(1,10)且圆心C到直线x－2y－1＝0的距离与半径长相等．求圆C的方程． 题型(二)　点与圆的位置关系 √ －2或－6 (－∞，－6)∪(－2，＋∞) 判断点与圆的位置关系的两种方法 方法技巧 几何法 利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断 代数法 把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断 3．点P(3，m)与圆(x＋1)2＋y2＝9的位置关系是(　 ) A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 解析：将点P(3，m)代入圆的方程得(3＋1)2＋m2＝16＋m2>9，则点在圆外，故选B. 针对训练 √ 4．若点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部，则实数a的取值范围是(　 ) A．(2,4) B．(－∞，2) C．(4，＋∞) D．(－∞，2)∪(4，＋∞) 解析：因为点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部，所以(a－3)2＋(a－3)2>2，解得a>4或a<2. √ 题型(三)　与圆有关的实际问题 解决圆的标准方程的实际应用题的步骤 方法技巧 5．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷的篷顶距地面的高度不得超过(　 ) A．1.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2米 针对训练 √ 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(　 ) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　 ) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 解析：∵12＋32＝10<24，∴点P在圆内． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．[多选]已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　 ) A．圆M的圆心为(4，－3) B．圆M的圆心为(－4,3) C．圆M的半径为5 D．圆M被y轴截得的弦长为6 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：选由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，故圆心为(4，－3)，半径为5，则A、C正确； 令x＝0，得y＝0或y＝－6，弦长为6，故D正确．故选ACD. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(　 ) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 解析：圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式，得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心，且过点P(－1,1)的圆的标准方程为___________________． 16 (x－2)2＋(y＋3)2＝25 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________________________． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (x－2)2＋y2＝9 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.如图，已知两点P1(4,9)和P2(6，3)，且圆以P1P2为直径． (1)求圆的方程； (2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——应用创新 11．[多选]以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为(　 ) A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20 C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20 √ 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12．[多选]设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　 ) A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点(3,0) C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意可知圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)的圆心C(k，k)，半径r＝2.不论k如何变化，圆心C(k，k)始终在直线y＝x上，故A正确； 令(3－k)2＋(0－k)2＝4，整理得2k2－6k＋5＝0，因为Δ＝(－6)2－4×2×5＝－4<0，可知方程无解，所以所有圆Ck均不经过点(3,0)，故B正确； 令(2－k)2＋(2－k)2＝4，整理得k2－4k＋2＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×2＝8>0，可知方程有两个不同的解，所以经过点(2,2)的圆Ck有且只有两个，故C错误； 因为半径r＝2，所以所有圆的面积均为π×22＝4π，故D错误． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 13.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试着在边QB上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)，N(1,4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取得最大值时，该圆的方程是(　 ) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x＋7)2＋(y－10)2＝100 C．(x－1)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋7)2＋(y－10)2＝10 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切，则圆C的标准方程为___________________；与圆C关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为___________． 解析：由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为(－2，2)，半径为2，所以圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4. 设(－2,2)关于直线x－y＋2＝0的对称点为(a，b)． 16 (x＋2)2＋(y－2)2＝4 x2＋y2＝4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16．已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，求： (1)周长最小的圆的方程； (2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 2．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为(　 ) A．(－1,5)， B．(1，－5)， C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3 解析：圆心为(－1,3)，半径为＝2，因为＝>2，所以点A(1,6)在圆外，故选C. 解析：∵圆过点(0,1)，即点(0,1)在圆上，∴该圆的半径为圆心(－2,1)与点(0,1)两点之间的距离r＝＝2，∴该圆的标准方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝4. 解析：设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)， 所以有解得 因此△ABC外接圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5. 解析：法一　由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，线段AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x， 则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点． 由得 即圆心坐标为(1,1)， 圆的半径为＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二　设点C为圆心． ∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)． 又∵该圆经过A，B两点，∴CA＝CB. ∴ ＝ ， 解得a＝1. ∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝CA＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解析：法一　因为点A(1，－1)和点B(－1,3)为直径端点，所以AB的中点M，即M(0,1)为圆心，由AB＝＝2，则圆的半径r＝＝，故圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5. 法二　由题意圆的方程可以为(x－1)(x＋1)＋(y＋1)(y－3)＝0，即x2＋y2－2y－4＝0，即x2＋(y－1)2＝5. 解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2.将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2　①. 而r＝，代入①，得(a－1)2＋16＝，解得a＝3，r＝2，或a＝－7，r＝4.故圆C的方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80. [例4]　已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　 ) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 解析：由题意，得a＋b＝1，ab＝－， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8， ∴点P在圆C内． [例5]　已知点P(2,1)和圆C：2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝__________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为____________________________． 解析：由题意，当点P在圆C上时，由2＋(1－1)2＝1 ，解得a＝－2或a＝－6. 当点P在圆C外时，由2＋(1－1)2>1，解得a<－6或a>－2. [例6]　如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度AB为500 m，圆拱的最高点H离水面AB的高度为100 m，桥面CD离水面AB的高度为50 m. (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程； (2)求桥面在圆拱内部分CD的长度．(结果精确到0.1 m) 解：(1)设圆拱所在圆的圆心为G，以H为原点，为x轴正方向， AB的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设CD与y轴交于E点，AB与y轴交于F点，连接GA. 设圆的半径为r，则AF＝250，GF＝r－100，AG＝r， 在Rt△AFG中，AF2＋GF2＝AG2，即2502＋(r－100)2＝r2，解得r＝， 所以G，所以圆拱所在圆的方程为x2＋2＝(y≥－100)． (2)由题意得，HE＝50，令y＝－50，得x2＋2＝2， 所以x2＝2－2＝×＝675×50＝33 750， 所以x＝±75.所以CD＝150≈367.4. 所以桥面在圆拱内部分CD的长度约为367.4 m. 解析：由题意，以圆心作为原点建立如图所示的平面直角坐标系，易知半圆的方程为x2＋y2＝12.96(y≥0)，令x＝0.8，解得y≈3.5. 5．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　 ) A.2＋y2＝ B.2＋y2＝ C.2＋y2＝ D.2＋y2＝ 解析：法一：待定系数法　根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)． 由题意得解得 所以圆E的标准方程为2＋y2＝. 法二：几何法　因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)， 所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为. 则圆E的半径为EB＝＝， 所以圆E的标准方程为2＋y2＝. 解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的半径为＝5，所以所求圆的标准方程为 (x－2)2＋(y＋3)2＝25. ∪ 解析：∵点P在圆外， ∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>， ∴a>或a＜－. 8．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为______________． 解析：设圆心C的坐标为(a,0)(a>0)，由题意知，＝，解得a＝2， ∴C(2,0)，则圆C的半径为r＝CM＝ ＝3. ∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9. 9．根据下列条件，分别求相应圆的方程． (1)圆心为C，半径r＝； (2)圆心为C(，1)，过点A(－1，)； (3)与x轴相交于A(1,0)，B(5,0)两点，且半径等于. 解：(1)将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为2＋(y－3)2＝3. (3)易知圆心在线段AB的垂直平分线上，不妨设圆心坐标为(3，a)，由半径为可得r＝＝，解得a＝±1.当圆心为(3,1)时，圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.当圆心为(3，－1)时，圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝5.因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5. (2)易知圆的半径为r＝AC＝ ＝，所以圆的方程为(x－)2＋(y－1)2＝6. 解：(1)设圆心C(a，b)，半径r，则由C为P1P2的中点得a＝＝5，b＝＝6.又由两点间的距离公式得r＝CP1＝＝， ∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. (2)分别计算点到圆心的距离CM＝＝， CN＝＝>，CQ＝＝3<. 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 解析：令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0)．AB＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20.以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20. 解析：由题意可知，点P为过M，N两点且和x轴相切的圆的切点，线段MN中点坐标为(0,3)，又kMN＝＝1，所以线段MN的垂直平分线方程为y－3＝－x，所以以MN为弦的圆的圆心在直线y＝3－x上，故设该圆圆心为C(a,3－a)．又因为该圆与x轴相切，所以圆的半径r＝|3－a|，又CN＝r，所以(a－1)2＋(3－a－4)2＝(3－a)2，解得a＝1或a＝－7，当a＝－7时，∠MQP是钝角，故舍去．所以a＝1，此时圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4. 则有解得 故所求圆的圆心为(0,0)，半径为2. 所以所求圆的方程为x2＋y2＝4. 15.如图所示，一座圆拱桥示意图，当水面在如图位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？(精确到0.01米) 解：以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r(r>0)，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2　①， 将点A的坐标(6，－2)代入方程①，解得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100　②. 当水面下降1米后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，求得x0＝.所以，水面下降1米后，水面宽2x0＝2≈14.28米． 解：(1)当AB为直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0,1)为圆心，半径r＝AB＝.则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0. 由得即圆心坐标是C(3,2)， r＝AC＝＝2. ∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. $$