1.2.1 直线的点斜式方程（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）  

1．2.1 直线的点斜式方程 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程． 2．了解直线的斜截式方程与一次函数的关系． 3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关问题． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一)直线的点斜式方程 (1)过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线方程________________叫作直线的点斜式方程． (2)过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的直线方程为________. y－y1＝k(x－x1) x＝x1 微点助解 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时方程可简写为y＝y1，特别地，x轴的方程是y＝0.当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程，此时可将方程写成x＝x1，特别地，y轴的方程是x＝0. 基点训练 ×　 √　 √ 2．若直线l过点(－1,1)且斜率为1，则直线l的方程为(　 ) A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0 C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0 解析：直线l的斜率为1，又直线l过点(－1，1)， 则直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0. √ (二)直线的斜截式方程 (1)直线l与y轴的交点(0，b)的________称为直线l在y轴上的截距． (2)方程___________叫作直线的斜截式方程． 纵坐标b y＝kx＋b 微点助解 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在 x 轴上的截距和在 y 轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 基点训练 1．直线l在y轴上的截距为2，且斜率为－1，则该直线方程为(　 ) A．y＝－x＋2 B．y＝x＋2 C．y＝x－2 D．y＝－x－2 √ 2．直线y＝x＋3在y轴上的截距为______． 解析：由直线的斜截式可得，直线y＝x＋3在y轴上的截距为3. 3 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A(－4,3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1,2)，且与y轴平行； (4)过点D(2,1)和E(3，－4)． 题型(一)　直线的点斜式方程 解：(1)由点斜式方程可知， 所求直线方程为y－3＝3[x－(－4)]． (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]． (3)∵直线与y轴平行， ∴斜率不存在， ∴直线的方程不能用点斜式表示．由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1. 求直线的点斜式方程的思路 方法技巧 1．[多选]已知直线l的倾斜角为45°，且过点(1,2)，则在直线上的点是(　 ) A．(0,1) B．(－2，－1) C．(3,3) D．(3,2) 解析：直线的斜率k＝tan 45°＝1， 方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1， 将A、B、C、D中各点代入知，A、B正确． 针对训练 √ √ (2)∵与x轴垂直的直线，其斜率不存在， ∴直线的方程为x＝0. [例2]　写出下列直线的斜截式方程： (1)直线的斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2. 解：(1)由直线的斜截式方程可知， 所求方程为y＝3x－3. 题型(二)　直线的斜截式方程 直线的斜截式方程的求解策略 (1)求直线的斜截式方程只要分别把直线的斜率和在y轴上的截距代入方程即可． (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程． 方法技巧 针对训练 4．根据下列条件求直线的斜截式方程： [例3]　已知直线l：y＝kx＋2＋k. (1)求证：直线l恒过一个定点； (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 解：(1)证明：由y＝kx＋2＋k，得y－2＝k(x＋1)，由直线的点斜式方程可知，直线恒过定点(－1,2)． 题型(三)　含参数的直线方程的几何特征 [变式拓展] 1．若本例(2)条件改为直线不经过第四象限， 求k的取值范围． 2.若本例条件变为直线l交x轴负半轴于A， 交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S， 求S的最小值并求此时直线l的方程． 解：如图所示，直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则k>0， 对于含参数k的直线方程y－y0＝k(x－x0)，该直线恒过定点(x0，y0)． 方法技巧 5．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　 ) A．(1,3) B．(－1，－3) C．(3,1) D．(－3，－1) 解析：直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)． 针对训练 √ (－∞，－1]∪[1，＋∞) 课时跟踪检测 A级——综合提能 1．方程y＝k(x－2)表示(　 ) A．通过点(－2,0)的所有直线 B．通过点(2,0)的所有直线 C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 解析：易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 √ 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 √ 4.已知直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有(　 ) A．k1<k2且b1<b2 B．k1<k2且b1>b2 C．k1>k2且b1>b2 D．k1>k2且b1<b2 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知90°<α1<α2<180°， 所以k1<k2，又b1<0，b2>0，所以b1<b2.故选A. 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 √ 5．[多选]下列说法正确的是(　 ) A．若直线过点(－3，－2)且与x轴平行，则该直线的方程为y＝－2 B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2) C．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线 D．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1) 16 √ √ 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 解析：对于A，因为直线与x轴平行，故斜率为0，所以直线方程为y＝－2； 对于B，直线y＝ax－3a＋2，整理得y－2＝a(x－3)，所以无论a取何值，点(3,2)都满足方程，故B正确； 对于C，当m＝0时，x＝2，表示平行于y轴的直线，故C正确； 对于D，当θ＝90°时，该直线斜率不存在，故D错误． 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 7．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是__________________________． 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 8．已知直线y＝kx＋b，当x∈[－3,4]时，y∈[－8,13]，则此直线的方程为________________________．(写成直线的斜截式方程形式) 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 10．已知直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程． 解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，经检验符合题目要求． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2. 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 当k＝0时，显然不符合题意； 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 B级——应用创新 11．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB方程的点斜式为(　 ) A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3) C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1) √ 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 解析：设线段OB的中点为M，连接AM，因为AO＝AB，则AM⊥x轴，则点M(1,0)，故点B(2，0)， 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 √ 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 16 5x－12y＋60＝0或5x－12y－60＝0 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 14．设点A(－1,0)，B(1,0)，若直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________． 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2,2]． 16 [－2,2] 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 16．已知t∈(0,5]，由t确定两个点P(t，t)，Q(10－t,0)． (1)写出直线PQ的方程(答案含t)； (2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点C在边PQ上．若OA＝a，当正方形ABCD的面积最大时，求a，t的值． 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 16 2 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝.(　 ) (2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)． (　 ) (3)直线y－2＝3(x＋1)的斜率是3. (　 ) (4)∵直线过点D(2,1)和E(3，－4)， ∴斜率k＝＝－5.故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2)． 2．求满足下列条件的直线的点斜式方程． (1)过点P(－3，－1)，斜率k＝； (2)过点P(0,5)，且与x轴垂直； (3)过点P(，1)，倾斜角是120°. 解：(1)∵直线过点P(－3，－1)，斜率k＝， ∴直线的点斜式方程为y＋1＝(x＋3)． (3)∵直线的倾斜角是120°， ∴k＝tan 120°＝－.又直线过点P(，1)， ∴直线的点斜式方程为y－1＝－(x－)． (2)∵k＝tan 60°＝， ∴所求直线的斜截式方程为y＝x＋5. (3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)．∴k＝＝， ∴所求直线的斜截式方程为y＝x－2. 故直线l的方程是y＝x＋4. 3．如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝x＋2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是____________． y＝x＋4 解析：直线y＝x＋2的斜率为，在y轴上的截距为2， 则直线l的斜率为，在y轴上的截距为4， (1)斜率是，截距是－2； (2)倾斜角是135°，截距是3； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：(1)由题意，当直线在y轴上的截距为－2时，直线的斜截式方程为y＝x－2；当直线在x轴上的截距为－2时，直线的方程为y＝(x＋2)，即直线的斜截式方程为y＝x＋.综上，直线的斜截式方程为y＝x－2或y＝x＋. (2)由题意，直线倾斜角是135°，截距是3，所以斜率为k＝tan 135°＝－1.当直线在y轴上的截距为3时，直线的斜截式方程为y＝－x＋3；当直线在x轴上的截距为3时，直线的方程为y＝－(x－3)，所以直线的斜截式方程为y＝－x＋3.综上，直线的斜截式方程为y＝－x＋3. (3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝. 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， 故所求直线的斜截式方程为y＝ x＋3或y＝ x－3. (2)设y＝f(x)＝kx＋2＋k， 因为当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足即 解得－≤k≤1， 所以实数k的取值范围是. 解：∵直线l：y＝kx＋2＋k不经过第四象限， ∴解得k≥0， 故k的取值范围是[0，＋∞) 直线l：kx－y＋2＋k＝0中，令y＝0，解得x＝－， 令x＝0，解得y＝2＋k， ∴S△AOB＝×OA×OB＝××(2＋k)＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即k＝2时等号成立． ∴S的最小值为4，此时的直线方程为2x－y＋4＝0. 6．直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是___________________________． 解析：令x＝0，得y＝k.令y＝0，得x＝－2k. 所以|k|·|－2k|≥1，即k2≥1. 解得k≤－1或k≥1. 2．已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为(　 ) A．9 B．－9 C. D．－ 解析：由y＋＝(x－1)，得y＝x－9， ∴l在y轴上的截距为－9. 3．已知直线方程为y＝－x＋2，则直线的倾斜角为(　 ) A. B. C. D. 解析：设直线y＝－x＋2的倾斜角为θ，可知tan θ＝k＝－1 ， 又 0≤θ<π，所以θ＝. 6．经过点(3，－1)且斜率为的直线的点斜式方程为______________________． 解析：根据直线的点斜式方程，可得y－(－1)＝(x－3)． y－(－1)＝(x－3) 解析：因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为或－.又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程是y＝x－6或y＝－x－6. y＝x－6或y＝－x－6 解析：当k>0时，函数y＝kx＋b单调递增，则解得k＝3，b＝1，直线方程为y＝3x＋1； 当k<0时，函数y＝kx＋b单调递减，则解得k＝－3，b＝4，直线方程为y＝－3x＋4；k＝0时，不满足题意． y＝3x＋1或y＝－3x＋4 9．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(，－1)；(2)在y轴上的截距是－5. 解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－， ∴其倾斜角α＝120°. 由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°， 故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝. (1)∵所求直线经过点(，－1)，斜率为， ∴所求直线方程是y＋1＝(x－)， 即x－3y－6＝0. (2)∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，∴所求直线的方程为y＝x－5， 即x－3y－15＝0. 当k≠0时，令y＝0，得x＝，由三角形的面积为2，得××2＝2，解得k＝， 故直线l的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝2或x－2y＋2＝0. 所以直线AB的斜率为k＝＝－3，所以直线AB方程的点斜式为y－3＝－3(x－1)． 12．已知直线l过点(x0，y0)，倾斜角α∈(0，π)，下列方程可以表示直线l的是(　 ) A．y－y0＝tan(x－x0) B.(y－y0)＝x－x0 C.＝ D．sin α(x－x0)－cos α(y－y0)＝0 解析：当倾斜角α＝时，因为直线l过点(x0，y0)，所以直线l的方程为x＝x0，此时选项A、B、C没有意义，选项D符合题意； 当倾斜角α∈∪时，直线l的斜率为k＝tan α，所以由点斜式得直线l的方程为y－y0＝tan α(x－x0)，即sin α(x－x0)－cos α(y－y0)＝0； 综上，直线l的方程为sin α(x－x0)－cos α(y－y0)＝0. 解析：由直线l的斜率为，可设直线l的方程为y＝x＋b.令x＝0，得y＝b； 令y＝0，得x＝－b. 由题意得＋＋ ＝30， 13．已知直线l的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是30，则直线l的方程为__________________________________． ∴＋＋＝30，∴b＝±5. ∴所求直线l的方程为y＝x±5，即5x－12y＋60＝0或5x－12y－60＝0. 15．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1,1)，B(5,1)，点C在x轴上，且∠CAB＝. (1)求直线AC的斜率； (2)求直线BC的方程． 解：(1)如图，A(1,1)，B(5,1)，可知直线AB平行于x轴， 已知点C在x轴上且∠CAB＝，可知直线AC与x轴非负半轴所夹角度为，即直线AC的倾斜角为，故直线AC的斜率kAC＝tan＝－1. (2)由(1)可知kAC＝－1，可得直线AC的方程为y－1＝－1(x－1)，即lAC：x＋y－2＝0， 将y＝0代入，即求得C点坐标为(2,0)． 已知B(5,1)，kBC＝＝，可得直线BC的方程为y－0＝(x－2)，化简得lBC：x－3y－2＝0. 解：(1)由题意知当直线斜率存在时，kPQ＝， 当t＝5时，直线PQ的方程为x＝5，当t≠5时，直线PQ的方程为y－t＝(x－t)． 即(2t－10)y＝t(x＋t－10)． (2)由P(t，t)和四边形ABCD为正方形可知OA＝AD＝AB，因为OA＝a，所以A(a,0)，B(2a，0)，C(2a，a)，因为点C(2a，a)在直线PQ上，所以(2t－10)a＝t(2a＋t－10)，所以a＝t(10－t)＝－(t－5)2＋.又当正方形ABCD的面积最大时，a最大，所以当t＝5时，a＝，此时四边形ABCD的面积最大． $$