1.1 直线的斜率与倾斜角（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）  

第一章 直线与方程 1．1 直线的斜率与倾斜角 (概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.结合图形，探索确定直线位置的几何要素：点和方向． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念．掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．理解倾斜角与斜率的关系，会求倾斜角与斜率范围． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　直线的斜率 逐点清(二)　直线的倾斜角 逐点清(三)　倾斜角和斜率的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　直线的斜率 01 多维度理解 微点助解 (1)直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式． (2)直线与y轴垂直时，斜率公式依然成立，此时k＝0. (3)直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关． 细微点练明 √ 1．直线x＝2 023的斜率为(　 ) A．1 B．0 C．2 023 D．不存在 √ 3．若A(1,2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点共线，则实数m的值为(　 ) A．－2 B．2 C．－3 D．3 解析：因为3≠1，所以直线AB斜率存在． 又A，B，C三点共线， √ 4．已知两点P(1－m,1＋m)和Q(3,5m)． (1)m为何值时，直线PQ的斜率不存在； (2)m为何值时，直线PQ的斜率等于－3. 解：(1)当1－m＝3，即m＝－2时，点P(3，－1)和Q(3，－10)．直线PQ的倾斜角为90°，此时直线PQ的斜率不存在． 逐点清(二)　直线的倾斜角 02 多维度理解 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按_______方向旋转到与直线重合时，所转过的____________称为这条直线的倾斜角 规定 与x轴平行或重合的直线的倾斜角为___.因此，直线的倾斜角α的取值范围是___________ 逆时针 最小正角α 0 {α|0≤α＜π} 微点助解 (1)在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等． (2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画，是对直线的倾斜程度的刻画，是相对于x轴正向位置的刻画，如图. 倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 直线 平行(重合)于x轴 由左向右 上升 垂直于x轴 由左向右下降 续表 细微点练明 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角． (　 ) (2)一条直线的倾斜角可以为－30°. (　 ) (3)倾斜角为0°的直线有无数条． (　 ) (4)若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)． (　 ) √　 ×　 √　 × 2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　 ) A．α＋40° B．α－140° C．140°－α D．α＋40°或α－140° √ 解析：根据题意，画出图象，如图所示． 因为0° ≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D. 3.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的 交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°， 如图，则直线l2的倾斜角为________． 解析：设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC＝120°， 所以α2＝120°＋α1＝135°. 135° 4．已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，求直线l的倾斜角． 解：有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 逐点清(三)　倾斜角和斜率的应用 03 多维度理解 　1．设直线的倾斜角为α，斜率为k α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k的范围 k＝0 _______________ 不存在 ___________________ k的增减性   随α的增大而_____   随α的增大而_____ k＞0 k＜0 增大 增大 √ 2．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 课时跟踪检测 04 1.如图，直线l的倾斜角为(　 ) A．60° B．120° C．30° D．150° 解析：由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　 ) A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0) C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5) 解析：对于D，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．[多选]已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标可以为(　 ) A．(0，－4) B．(0，－8) C．(2,0) D．(－2,0) 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 ∴B(2,0)， ∴点B的坐标为(2,0)或(0，－8)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．[多选]下列四个命题中，正确的是(　 ) A．若直线的倾斜角为θ，则sin θ≥0 B．直线的倾斜角θ的取值范围为[0，π) C．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θ D．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，b)在同一直线上，则实数b等于(　 ) A．－12 B．－6 C．6 D．12 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵直线l过点M(－1，2)，且与以 P(－4，－1)，Q(3,0)为端点的线段相交，如图所示， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．若斜率为2的直线经过点A(－2,3)，B(2m＋1,1)，则实数m＝________. 16 －2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．若经过点P(1－a,1)和Q(2a,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数 a的取值范围是________． 解析：因为直线的倾斜角是钝角， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.直线l1，l2，l3如图所示，则l1，l2，l3的斜率k1， k2，k3的大小关系为__________，倾斜角α1，α2，α3 的大小关系为________． 解析：当0°<α<90°时，斜率为正值，倾斜角越大，斜率越大；反之，斜率越大，倾斜角也越大；当90°<α<180°时，斜率为负值，上述结论仍成立． 16 k1>k2>k3 α3>α1>α2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为45°？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点，求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率，即___________________． (2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在． k＝(x1≠x2) 2．已知两点A(－1,2)，B(3,4)，则直线AB的斜率为(　 ) A．2 B．－ C. D．－2 则kAB＝kAC，即＝，解得m＝3. (2)当1－m≠3，即m≠－2时，直线PQ的斜率为＝，令＝－3，解得m＝－. 2．直线的斜率与倾斜角之间的关系 当直线与x轴不垂直时，该直线的斜率k与倾斜角α之间的 关系为k＝_______________. tan α [典例]　已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)． (1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC边AB上的一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围． 解：(1)由斜率公式得kBC＝＝，kAC＝＝，又斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是[0，π)， ∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为. (2)如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kAC增大到kBC， ∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为. [变式拓展] 若本例条件“B(1,1)，C(2，＋1)”变为“B(2,4)，C(1，0)，过点C的直线m与过A，B两点的线段有公共点”，求直线m斜率的取值范围． 解：直线CA的斜率kCA＝＝－，直线CB的斜率kCB＝＝4. ∵过点C的直线m与过A，B两点的线段有公共点， ∴直线m斜率的取值范围为∪[4，＋∞)． [方法技巧] 数形结合法解决范围问题的策略 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率(倾斜角)的取值范围，如果直线PA，PB的斜率都存在，则步骤如下： (1)连接PA，PB； (2)由k＝求出kPA，kPB； (3)结合图形可得直线l的斜率(倾斜角)的取值范围． [针对训练] 1．若直线l过定点P(1,0)，且与以A(－1,2)，B(2，)为端点的线段相交(包括端点)，则其倾斜角的取值范围是(　 ) A.∪ B.∪ C. D. 解析：如图所示，因为直线l过定点P(1,0)，且与以A(－1，2)，B(2，)为端点的线段相交，可得kPB＝＝，kPA＝＝－1， 所以直线l的斜率不存在或满足k≤－1或k≥， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以由(1)知直线AD的斜率的变化范围是. 3．已知倾斜角为的直线过A(1,0)，B(0，m)，则m＝(　 ) A. B．－ C．－ D. 解析：由题意得＝tan，解得m＝－，故选C. 解析：当点B在y轴上时，设B(0，y)，由kAB＝4，可得＝4，解得y＝－8， ∴B(0，－8)．当点B在x轴上时，设B(x,0)，由kAB＝4，可得＝4，解得x＝2， 解析：因为直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，即θ∈[0，π)，所以sin θ≥0，当θ≠时直线的斜率k＝tan θ，所以C错误，A、B正确； 若直线的斜率k＝tan＝，此时直线的倾斜角为，所以D错误． 解析：因为kAB＝kAC，又kAB＝＝3，kAC＝＝， 所以3＝，即b＝6. 7．在平面直角坐标系内，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为(　 ) A．－2 B．0 C. D．2 解析：由题意知，△ABC的边AC，AB所在直线的倾斜角分别为60°，120°， 所以边AC，AB所在直线的斜率之和为tan 60°＋tan 120°＝ ＋(－)＝0. 8．已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是(　 ) A．[0,2] B．[0,1] C. D. 解析：如图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan 0°＝0； 当直线l在l2的位置时，k＝＝2，故直线l的斜率的取值范围是[0,2]． 9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2，0)，过点A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则a＝(　 ) A. B. C．1 D. 解析：设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，且tan 2α＝， 由题可知tan 2α＝kAC＝，tan α＝kAB＝， 所以＝，解得a＝.故选B. 10．直线l过点M(－1,2)，且与以P(－4，－1)，Q(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是(　 ) A. B．(－∞，－2]∪[1，＋∞) C．[－2,1] 　　　　 D.∪[1，＋∞) ∴所求直线l的斜率k满足kPM≤k或k≤kMQ.又kPM＝＝1，kMQ＝＝－，则k≥1或k≤－， ∴k∈∪[1，＋∞)． 解析：kAB＝＝＝2，解得m＝－2. 所以斜率<0，解得a<. 所以实数a的取值范围是. 解：(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝＝0，∴m＝1. (2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1. (3)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1，解得m＝0. (4)由题意可知，直线l的斜率k>0，即>0，解得－1<m<1，故m的取值范围为(－1,1)． 证明：由题意知kAB＝，kAC＝， 又A，B，C三点共线， ∴kAB＝kAC， ∴＝， ∴x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x， ∴(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0， ∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0. 16．已知平面直角坐标系内三点A(－2，－4)，B(2,0)，C(－1,1)． (1)求直线AB的斜率和倾斜角； (2)若E(m，n)是线段AC上一动点，求的取值范围． 解：(1)由斜率公式得直线AB的斜率为＝1，记倾斜角为α，则tan α＝1. 因为α∈[0，π)，所以直线AB的倾斜角为. (2)由题知为直线BE的斜率． 记直线BA和BC的倾斜角分别为α，β，直线BE的倾斜角为γ， 由图可知，γ∈[0，α]∪[β，π)， 又kBC＝tan β＝＝－，kAB＝tan α＝1， 所以由正切函数性质可得，直线BE的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. $$