第2章 2.1 双曲线及其标准方程(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）  

2.1 双曲线及其标准方程 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其求法(待定系数法、定义法)． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决焦点三角形问题． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一) 双曲线的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于 (大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 叫作双曲线的焦点 焦距 叫作双曲线的焦距 常数 两个定点F1，F2 两个焦点间的距离|F1F2| 微点助解 (1)在双曲线定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(0<2a<|F1F2|)，即“去掉绝对值符号”，则动点M的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2)． (2)2a的大小与点M的轨迹如下表所示. 条件 结论 0<2a<|F1F2| 动点M的轨迹是双曲线 2a＝|F1F2| 动点M的轨迹是分别以F1，F2为端点，指向F1，F2所在直线两侧的射线 2a>|F1F2| 动点M不存在，因而轨迹不存在 2a＝0 动点M的轨迹为线段F1F2的垂直平分线 基点训练 已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(　 ) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 √ 解析：依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线． (二)双曲线的标准方程 焦点坐标 __________________ ____________________ 焦距 |F1F2|＝___ a，b，c的关系 c2＝______ 续表 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c a2＋b2 微点助解 (1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴． (2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上． (3)参数a，b，c的几何意义：在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示． 基点训练 √ √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　根据下列条件，分别求双曲线的标准方程． 题型(一)　双曲线的标准方程 法二　设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵P，Q两点在双曲线上， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． 用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 　 [提醒]　求双曲线的标准方程时，焦点不确定可设方程为mx2－ny2＝1(mn>0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)． 方法技巧 针对训练 题型(二)　与双曲线有关的轨迹问题 √ 解析：因为A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)， 因为A，B 都在椭圆上，所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14， 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种： (1)列出等量关系，化简得到方程； (2)寻找几何关系，由双曲线的定义得出对应的方程． [提醒]　①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．　　 方法技巧 针对训练 √ 题点1　确定有关几何量的值　 题型(三)　双曲线的定义及应用 √ 由双曲线定义可知||MF1|－|MF2||＝2a＝4， 所以|MF2|＝1或|MF2|＝9，又|MF2|≥c－a＝2，所以|MF2|＝9，故选C. 所以2a＝6,2c＝10. 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理， 所以∠F1PF2＝90°， 1．若本例中双曲线的方程不变，且双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离． 由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6， 所以|10－|PF2||＝6，解得|PF2|＝4或|PF2|＝16. 变式拓展 2．若本例中的条件“|PF1|·|PF2|＝32”变成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积． 题点3　最值问题　 解析：双曲线的两个焦点F1(－4,0)，F2(4,0)分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5. 5 方法技巧 与双曲线定义有关问题的解决策略 (1)设F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，若点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在双曲线的右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在双曲线的左支上．如果遇到动点到两定点的距离之差的问题，应联想到利用双曲线的定义来解，但要注意动点的横坐标x的取值范围． (2)解与焦点三角形有关的问题，常利用双曲线的定义，并注意与三角形的知识相结合，如正弦定理、余弦定理、勾股定理等，同时要注意整体运算思想的应用．　　 针对训练 √ √ 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 解析：∵已知方程表示双曲线， ∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴|PF1|－|PF2|＝2a,6－|PF2|＝2，即|PF2|＝4，又|F1F2|＝2c＝4， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以实数m的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)． (－3,2)∪(3，＋∞) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8. (2)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，且双曲线经过点A(－5,6)． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)由已知得c＝5,2a＝8.因此a＝4，且b2＝c2－a2＝52－42＝9. (2)由已知得双曲线的焦点在y轴上，且c＝6，所以另一个焦点坐标为(0,6)． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因此a＝4，从而b2＝62－42＝20. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)求双曲线C2的方程； (2)已知点P在双曲线C2上，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴a2＝2，b2＝c2－a2＝4－2＝2， (2)设点P在双曲线的右支上，并且设|PF1|＝x，|PF2|＝y， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则m2＋2<0，无解，A错误； 若曲线表示圆心为坐标原点的圆，则m2＋2＝4－m2，解得m＝±1，B正确； 若曲线表示焦点在x轴上的双曲线，则4－m2<0，所以m>2或m<－2，C正确； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12．在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴切于点A(4,0)，分别过点M(－5,0)，N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上)，则点P的轨迹方程为(　 ) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设PM，PN分别与圆C相切于点S，T，则|PS|＝|PT|，|MS|＝|MA|，|NA|＝|NT|，所以|PM|－|PN|＝|MA|－|NA|＝9－1＝8，且8<|MN|＝10，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支(除去与x轴交点)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：若F′为双曲线右焦点F′(3,0)，则|PF|－|PF′|＝2a＝4，|AF′|＝5，而|PA|≥|PF′|－|AF′|，当且仅当P，F′，A共线且A在P，F′之间时等号成立，所以|PF|－|PA|≤|PF|－|PF′|＋|AF′|＝4＋5＝9，当P，F′，A共线且A在P，F′之间时等号成立． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解得a2＝3，b2＝2， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因此在△MF1F2中，MF1边最长， 故△MF1F2为钝角三角形． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)求动点P对应曲线C的轨迹方程； (2)过点Q(1,1)作直线与曲线C交于M，N两点，若点Q恰为MN的中点，求直线MN的方程． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 即x－2y＋1＝0. 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 1．方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围为(　 ) A．(－∞，1) B．(2，＋∞) C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) 解析：由方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线， 则解得k<1，故选A. 2．以F1(－，0)，F2(，0)为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　 ) A.－y2＝1 B.－y2＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 解析：由题意得双曲线焦点在x轴上且c＝，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝3，－＝1，解得a2＝2，b2＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1，故选A. (1)经过点P，Q； (2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上． 解：(1)法一　若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)， 由于点P和Q在双曲线上， ∴解得 (舍去)． 若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)， ∴双曲线的标准方程为－＝1. 综上，双曲线的标准方程为－＝1. 将P，Q两点坐标代入可得解得 ∴解得 ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)法一　依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． 则有解得 ∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 法二　∵焦点在x轴上，c＝， ∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)． ∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1， ∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1. 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，a＝2，经过点A(－5,2)； (2)经过A(－7，－6)，B(2，3)两点； (3)过点P(－，2)，且与椭圆＋＝1有相同焦点． 解：(1)因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为－＝1(b>0)，将点A(－5,2)的坐标代入双曲线的方程得－＝1，解得b2＝16，因此，双曲线的标准方程为－＝1. (2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，将点A，B的坐标代入双曲线方程可得解得m＝，n＝－，因此双曲线的标准方程为－＝1. (3)由题意知，椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，所以可设双曲线标准方程为－＝1，其中a2＋b2＝5，代入点P(－，2)可得－＝1，联立解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线的标准方程为x2－＝1. [例2]　已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为焦点的椭圆过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为(　 ) A．y2－＝1(y≤－1) 　 B．y2－＝1(y≥1) C.－x2＝1(y≤－4) 　 D.－x2＝1(y≥4) 所以|AC|＝＝13，|BC|＝＝15，|AB|＝14， 故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支，又2c＝|AB|＝14,2a＝|AF|－|BF|＝2，即c＝7，a＝1，所以b2＝48，因此F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)． 2．在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　 ) A.－＝1(x>2) B.－＝1(x>3) C.＋＝1(0<x<2) D.＋＝1(0<x<3) 解析：如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，2a＝4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以方程为－＝1(x>2)． [例3]　已知M是双曲线－＝1上一点，点F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝(　 ) A．9或1 　　　　　　　　　 B．1 C．9 　　　　　　　　　 D．9或2 解析：因为M是双曲线－＝1上一点， 所以所以 题点2　焦点三角形问题　 [例4]　已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，求△F1PF2的面积． 解：由题意，得a＝3，b＝4，c＝＝5， 得cos∠F1PF2＝＝＝0， 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 解：由双曲线方程－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 解：由双曲线方程－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6.又|PF1|∶|PF2|＝2∶5，所以|PF2|＝10，|PF1|＝4.因为|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2是等腰三角形．易得PF1边上的高为4，所以S△F1PF2＝×4×4＝8. [例5]　已知P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________． 3．已知双曲线－＝1在左支上一点M到右焦点F1的距离为18，N是线段MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|等于(　 ) A．4 B．2 C．1 D. 解析：因为双曲线－＝1左支上的点M到右焦点F1的距离为18，所以M到左焦点F2的距离|MF2|＝18－10＝8，N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以|ON|＝|MF2|＝4. 4．已知F1，F2为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1F2P＝(　 ) A．－ B. C. D. 解析：由双曲线方程可知a＝4，b＝3，c＝＝5，根据双曲线的几何意义可得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，又|PF1|＝2|PF2|，解得|PF1|＝16，|PF2|＝8，|F1F2|＝10，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1F2P＝＝＝－，故选A. 5．已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为___________． 解析：因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝＝.故|AP|＋|AF2|的最小值为－2. －2 A级——综合提能 1．若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　 ) A．(－2,2) B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 2．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　 ) A．1 B．1或－2 C．1或 D. 解析：由题意知解得a＝1. 3．过点(1,1)，且＝的双曲线的标准方程是(　 ) A.－y2＝1 B.－x2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1或－x2＝1 解析：由＝，知b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，将点(1,1)代入可得a2＝，则双曲线方程为－y2＝1.同理，焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1. 4．已知点M(2,0)，N(－2,0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹方程为(　 ) A.－y2＝1(x≥) B.－y2＝1(x≤－) C．x2－＝1(x≥1) D．x2－＝1(x≤－1) 解析：因为M(2,0)，N(－2,0)，所以|MN|＝4，动点P满足|PM|－|PN|＝2<|MN|，由双曲线的定义可知，动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有c＝2，a＝1，b＝＝，所以动点P的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． 5．设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，当|PF1|＝6时，△PF1F2的面积为(　 ) A．4 B．3 C. D．6 解析：∵双曲线C：x2－＝1， ∴a＝1，b＝，c＝2，又点P在双曲线C的右支上，|PF1|＝6， ∴△PF1F2的面积为×6× ＝3. 6．已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于________． 解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝. 7．双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________． 解析：由题意知双曲线右焦点的坐标为(3,0)，则右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝＝. 8．若方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为___________________． 解析：依题意有或解得－3<m<2或m>3. (3)a＝4，经过点A. (4)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)． 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1. 因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为2a＝|－|＝|13－5|＝8， 因此，所求双曲线的标准方程是－＝1. (3)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，可得b2＝－×<0，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，可得b2＝9， 故所求双曲线的标准方程为－＝1. (4)设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)，因为双曲线过点(3，2)， 所以－＝1，解得λ＝4或λ＝－14 (舍去)．所以双曲线的标准方程为－＝1. 10．已知椭圆C1：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)与C1共焦点，点A(3，)在双曲线C2上． 解：(1)由椭圆方程可知c2＝18－14＝4，∴F1(－2,0)，F2(2,0)， ∵A(3，)， ∴2a＝||AF1|－|AF2||＝－＝2， ∴双曲线C2的方程为－＝1. ∴变形为(x－y)2＋xy＝16⇒8＋xy＝16⇒xy＝8， ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝2. B级——应用创新 11．[多选]关于x，y的方程＋＝1(其中m2≠4)表示的曲线可能是(　 ) A．焦点在y轴上的双曲线 B．圆心为坐标原点的圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．长轴长为2的椭圆 若曲线表示长轴长为2的椭圆，则2a＝2，a＝，则或无解，D错误．故选BC. A.－＝1(x>4) B.－＝1(x<－4) C.－＝1(x>4或x<－4) D.－＝1 这里2a＝8，a＝4，c＝5，则b＝＝＝3，故点P的轨迹方程为－＝1(x>4)． 13．设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2， P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于(　 ) A. B. C. D. 解析：设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，则d1＋d2＝2①， |d1－d2|＝2②， ①2＋②2，得d＋d＝18.①2－②2，得2d1d2＝6. 而c＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝. 14．已知A(7,3)，双曲线C：－＝1的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则|PF|－|PA|的最大值是(　 ) A．－1 B．2 C. D．9 (2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状． 解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝， 故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 则有 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝6，故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2， 而cos∠MF2F1＝<0，所以∠MF2F1为钝角． 16．已知定点A(－，0)，B(，0)，动点P到两定点A，B距离之差的绝对值为2. 解：(1)由题意知，||PA|－|PB||＝2<|AB|＝2，故动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且a＝，c＝， ∴b＝＝1，故曲线C的方程为－y2＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，满足 两式相减得＝y－y，即＝(y1－y2)(y1＋y2)， ∵点Q为MN的中点，故 ∴＝，即直线MN的斜率为，又过点Q，故直线MN的方程为y－1＝(x－1)， $$