第2章 1.2 椭圆的简单几何性质(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）  

1.2 椭圆的简单几何性质 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c的几何意义． 2．能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．椭圆的几何性质 范围 _______________________ _____________________ 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心(中心)为原点 顶点 __________________ _____________________ B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长|A1A2|＝ ，短轴长|B1B2|＝___ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 续表 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 2a 2b 续表 2c (0,1) 圆 2．椭圆几何性质的拓展 (1)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (2)焦半径公式： (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. (4)O为长轴中点、短轴中点、F1F2中点． (5)P为短轴端点时，∠F1PF2最大． 基点训练 答案：(1)×　(2)×　 (3)√ √ √ √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　由椭圆的标准方程研究其几何性质 用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)． (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质．　　 方法技巧 针对训练 √ √ √ 解析：由椭圆关于x轴、y轴、原点对称可知，只有点(2,3)不在椭圆上．故选ABC. 解析：由已知得a2＝16，b2＝4， √ √ √ 故A、B、D正确，故选ABD. [例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 题型(二)　由椭圆的几何性质求其标准方程 ∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48， ∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线 互相垂直，且焦距为6，如图所示， ∴△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝3.∴a2＝b2＋c2＝18. 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置． (2)设出相应椭圆的标准方程． (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写出椭圆的标准方程．　　 方法技巧 针对训练 题型(三)　椭圆的离心率 解：因为∠F1PF2为直角，所以△F1PF2为等腰直角三角形， 变式拓展 解：由题意，知c>b，∴c2>b2. 又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2， 求椭圆的离心率的值或取值范围的两种方法 方法技巧 针对训练 √ √ 题型(四)　椭圆的实际应用问题 解：如图，设椭圆的焦点为F1，F2，焦距为2c， 太阳位于焦点F1处，小行星的位置P到两焦点的距离 之和|PF1|＋|PF2|等于一个固定值2a. 要使|PF1|最大，距离之差|PF1|－|PF2|最大，但|PF1|－|PF2|≤|F1F2|＝2c， 当且仅当F1，F2，P成一条直线且F2在F1和P之间时，|PF1|－|PF2|达到最大值2c， 而当|PF2|达到最大值a＋c时，|PF1|达到最小值a－c， 解得a＝3.524 5，c＝2.038 5， 故椭圆轨道的长半轴长为3.524 5天文单位，短半轴长为2.875 2天文单位． 方法技巧 椭圆在实际问题中的应用方法 对于椭圆的实际应用问题，首先要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立平面直角坐标系，然后利用椭圆的定义，构造参数a，b，c之间的关系，得到椭圆方程，最后解决数学问题并解释实际问题．解题时注意图形本身的特征．　　 针对训练 6．某操场的正前方有两根高度均为6 m、相距10 m的旗杆(都与地面垂直)．有一条26 m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内．假定这条绳子在系到旗杆上时长度没有改变，求绳子与地面(水平面)的接触点到两根旗杆的距离各是多少． 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 因为|PB|＋|PD|＝26>10， 所以点P在以B，D为焦点的椭圆上． 显然2a＝26,2c＝10⇒a＝13， 因为旗杆的高度为6 m， 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ √ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 解析：如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1， F2，B为椭圆的上顶点．依题意可知， △BF1F2是正三角形． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵在Rt△BOF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为________ cm. 20 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解得a＝10，所以小椭圆的长轴长为2a＝20 cm. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴b2＝a2－c2＝36－16＝20，又焦点在x轴上， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)由题意，c＝2，椭圆焦点在y轴上，2a＝6，即a＝3， ∴b2＝a2－c2＝5， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)若P为椭圆的上顶点，且PF1⊥PF2，△F1PF2的面积等于4，求椭圆的标准方程； (2)若△POF2为等边三角形，求椭圆C的离心率． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 A．16 B．18 C．20 D．22 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由椭圆的几何性质，当点P为椭圆的右顶点时，可得|PF1|max＝a＋c＝3，所以B正确； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以D错误． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16．已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1,0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)． (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围． 解：(1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵－2<x0<2，∴－2<t<－1. ∴实数t的取值范围为(－2，－1)． 16 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦距 |F1F2|＝____ 离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率， 用e表示，即 ＝e. (2)性质：离心率e的范围是 ．e越接近于1，椭圆就越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于___ ①椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点P(x0，y0)相对于左、右焦点(F1为左焦点，F2为右焦点)的焦半径分别为|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0. ②椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点P(x0，y0)相对于下、上焦点(F1为下焦点，F2为上焦点)的焦半径分别为|PF1|＝a＋ey0，|PF2|＝a－ey0. (6)通径长为. (7)过焦点的直线与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，则≤|AB|≤2a. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.(　 ) (2)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.(　 ) (3)设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(　 ) 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　 ) A．(－6,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，) 解析：椭圆6x2＋y2＝6的标准方程为＋x2＝1，易知椭圆焦点在y轴上，且a2＝6，a＝，所以椭圆的长轴端点坐标为(0，－)，(0，)． 3．若椭圆x2＋2y2＝1的离心率为e，则e的值为(　 ) A. B．2 C. D. 解析：由题意得椭圆长半轴长a＝1，短半轴长b＝， 所以半焦距c＝＝，所以离心率e＝＝＝，故选C. 4．下列四个椭圆中，形状最扁的是(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：由e＝，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足<<<，因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁， 所以这四个椭圆中，椭圆＋＝1的离心率最大，故其形状最扁． [例1]　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 解：椭圆方程可化为＋＝1(m>0)， ∵m－＝>0，∴m>，即a2＝m，b2＝. ∴c＝＝. 由e＝，得＝，解得m＝1， ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为，，顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，. 1．[多选]已知点(3,2)在椭圆＋＝1上，则下列各点一定在该椭圆上的是(　 ) A．(－3，－2) 　　 B．(3，－2) C．(－3,2) 　　 D．(2,3) 2．[多选]已知椭圆C：＋＝1，则下列结论正确的是(　 ) A．长轴长为8 　　 B．焦距为4 C．焦点坐标为(0，±2) 　　 D．离心率为 则a＝4，b＝2，c＝＝2， 故椭圆长轴长为2a＝8，焦距为2c＝4， 焦点坐标为(±2，0)，离心率＝， (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8； 解：(1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝， ∴椭圆的标准方程是＋＝1. (2)设椭圆的标准方程为＋＝1，a＞b＞0， 故所求椭圆的方程为＋＝1. 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)； (2)离心率e＝，焦距为12. 解：(1)若焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意得 解得 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. 若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. (2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6， 所以b2＝a2－c2＝64.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. [例3]　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1PF2＝，则椭圆的离心率为________． 解析：由题意可知|PF1|＝|PF2|＝＝＝a，|F1F2|＝2c.在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝a2＋a2－2a2cos∠F1PF2，化简得4c2＝a2，则e2＝，所以e＝. 1．若本例条件“cos∠F1PF2＝”变为“∠F1PF2为直角”，求椭圆的离心率． 所以b＝c，所以a＝＝＝c， 所以离心率为e＝＝＝. 2．若本例条件“点P是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1PF2＝”变为“点P为椭圆的上顶点，点Q在椭圆上且满足＝3”，求椭圆的离心率． 解：由题意P(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝. 设Q(x0，y0)，由＝，得(c，b)＝3(x0－c，y0)， 即代入椭圆方程得＋＝1，解得离心率e＝. 3．若本例条件“cos∠F1PF2＝”变为“∠F1PF2为钝角”，求椭圆离心率的取值范围． ∴e2＝>，∴e>， 又0<e<1， ∴椭圆离心率的取值范围为. 直接法 若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解 方程法或 不等式法 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围 4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：法一　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，整理得b2＝3c2.又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，解得e＝或e＝－(舍去)． 法二　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，所以＝×2b，即＝，所以e＝. 法三　如图，由题意，得在椭圆中，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝×2b＝b，|BF|＝a.在Rt△FOB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即c×b＝a×b，解得＝，所以椭圆的离心率e＝. 5．已知F1，F2分别是椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆M上，且|PF1|－|PF2|＝4b，则M的离心率的取值范围为(　 ) A. B. C. D. 解析：由题意得则|PF1|＝a＋2b，|PF2|＝a－2b，由|PF1|＝a＋2b≤a＋c，|PF2|＝a－2b≥a－c，得2b≤c，即4b2＝4(a2－c2)≤c2，得≥.又0<e<1，所以M的离心率的取值范围为. [例4]　某颗小行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处．小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位，最远距离是5.563天文单位(1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为1.50×108 km，是天文学的一种长度单位)．求椭圆轨道的长半轴长和短半轴长各是多少个天文单位(参考数据：≈2.875 2)． |PF1|达到最大值＝a＋c. 所以 因此b＝＝≈2.875 2， 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)， c＝5⇒b＝＝12， 所以椭圆的方程为＋＝1. 所以＋＝1⇒x＝±， 则－5＝，＋5＝. 所以绳子与地面(水平面)的接触点到两根旗杆的距离分别是 m， m. A级——综合提能 1．[多选]已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　 ) A．长轴长为 　 B．焦距为 C．焦点坐标为 　 D．离心率为 解析：由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1， 所以a＝，b＝，c＝， 所以长轴长2a＝1，焦距2c＝，焦点坐标为，离心率e＝＝. 2．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　 ) A. B. C. D. 解析：由e2＝e1，得e＝3e.因此＝3×.因为a＞1， 所以a＝. 3．若椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k<9，k≠0)，则两椭圆必定(　 ) A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距 C．有相等的短轴长 D．有相等的离心率 解析：因为k<9，k≠0，所以25－k>9－k>0，所以椭圆＋＝1(k<9，k≠0)中a2＝25－k≠25，b2＝9－k≠9，故A、C错误； 椭圆＋＝1(k<9，k≠0)的c2＝a2－b2＝25－k－(9－k)＝16，椭圆＋＝1的c2＝25－9＝16，故两椭圆c相等，所以有相等的焦距，故B正确； 离心率e＝，两椭圆a不相等，c相等，显然离心率不一样，故D错误． 4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　 ) A. B. C. D. ∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝. 5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，短轴的右端点为B，M(1,0)为线段OB的中点，则椭圆的标准方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：因为M(1,0)为线段OB的中点，且B(b,0)，所以b＝2， 又椭圆C的离心率e＝， 所以＝＝＝，所以a＝2， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 6．若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C的长轴长为________． ∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，由于＋＝1表示的是椭圆，则m>1， ∴m＝2，则椭圆方程为＋＝1，∴a＝，2a＝2. 2 7．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为8π，且离心率为，则C的标准方程为______________． ＋＝1 解析：设C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则 解得所以C的标准方程为＋＝1. 解析：设小椭圆的长半轴长为a，a>0，依题意，e＝＝＝，则＝， 9．求下列曲线的标准方程． (1)长轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆； (2)一个焦点为(0,2)，长轴长为6的椭圆． 解：(1)由题意，2a＝12，∴a＝6，又e＝，即＝，∴c＝4， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 10．已知P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点． 解：(1)由题意可得|PF1|＝|PF2|＝a，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝2a2＝4c2，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝＝4，所以a2＝8，所以b2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)法一　若△POF2为等边三角形，则P的坐标为，代入方程＋＝1，可得＋＝1，解得e2＝4±2，又0<e<1，所以e＝－1. 法二　由△POF2为等边三角形，所以|OF1|＝|OF2|＝|OP|，所以PF1⊥PF2，由∠OF2P＝，|F1F2|＝2c，所以|PF1|＝c，|PF2|＝c，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝(＋1)c，所以e＝－1. B级——应用创新 11.如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，F是左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|＝(　 ) 解析：因为把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，设椭圆的右焦点为F′，且a2＝4，可得a＝2，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得|P1F|＝|P9F′|，|P2F|＝|P8F′|，|P3F|＝|P7F′|，…， 所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|＝(|P9F′|＋|P9F|)＋(|P8F′|＋|P8F|)＋…＋(|P5F′|＋|P5F|)＝9a＝18. 12．[多选]已知椭圆C：＋＝1，F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点．下列说法正确的是(　 ) A．椭圆离心率为 B．|PF1|的最大值为3 C．0≤∠F1PF2≤ D．|PF1|＋|PF2|＝2 解析：由椭圆C：＋＝1，可得a＝2，b＝，则c＝＝1，由椭圆C的离心率为e＝＝，所以A正确； 当点P为椭圆的短轴的端点时，可得|PF1|＝|PF2|＝a＝2，|F1F2|＝2c＝2，所以∠F1PF2＝，根据椭圆的几何性质，可得0≤∠F1PF2≤，所以C正确； 13．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 解析：依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1.故c＝1.又C的离心率e＝＝＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＋＝1.故选B. 14．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________． 解析：根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)，设F1(－c，0)，F2(c,0)，设M(x0，y0)，·＝0⇒(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝0⇒x－c2＋y＝0⇒y＝c2－x， 点M(x0，y0)在椭圆内部，有＋<1⇒b2x＋a2(c2－x)－a2b2<0⇒x>2a2－，要想该不等式恒成立，只需2a2－<0⇒2a2c2<a4⇒2c2<a2⇒e＝<，而e>0⇒0<e<. 15．椭圆E与椭圆＋＝1有共同的焦点，且经过点A. (1)求椭圆E的标准方程和离心率； (2)设F为E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，求·的最大值． 解：(1)由＋＝1可得c＝1， 设椭圆E的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 因为椭圆E经过点A， 所以解得 所以椭圆E的标准方程为＋＝1， e＝＝. (2)由(1)可知椭圆E：＋＝1，所以F(－1,0)． 设M(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)， 所以·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2. 因为－2≤x≤2，所以当x＝2时，·取得最大值，为×(2＋2)2＋2＝6， 即·的最大值为6. ∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)设M(x0，y0)(x0∈(－2,2))，则＋＝1①. ＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)， 由MP⊥MH可得·＝0，即(t－x0)(2－x0)＋y＝0②. 由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3. ∵x0≠2，∴t＝x0－. $$