第2章 1.1 椭圆及其标准方程(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）  

第二章 圆锥曲线 1．1 椭圆及其标准方程 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解并掌握椭圆的定义，并能利用其解决相关问题．　　　　 2.掌握椭圆的标准方程的推导． 3．会求简单的椭圆的标准方程，理解点与椭圆的位置关系． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 4 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一)椭圆的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作_____ 焦点 两个 叫作椭圆的焦点 焦距 两个焦点间的 叫作椭圆的焦距 椭圆 定点F1，F2 距离|F1F2| 微点助解 1．对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆． 2．对定义中限制条件“2a(大于|F1F2|)”的理解 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆．(　 ) (2)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆．(　 ) 基点训练 (3)已知点F1(0，－1)，F2(0,1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆．(　 ) (4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ (二)椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 _________________ ____________________ 焦距 2c a，b，c的关系 ___________ 异同点 相同点：椭圆的大小、形状相同； 不同点：焦点位置不同，方程不同 续表 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) b2＝a2－c2 (2)椭圆标准方程的形式：等号左边是“平方＋平方”，右边是“1”，特别注意右边不是0. (3)标准方程中根据x2和y2对应的分母大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上．若含x2项的分母大于含y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上． 基点训练 √ 则b2＝a2－c2＝3， √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 题型(一)　椭圆定义的理解 解：如图，连接QA. 由已知，得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|.根据椭圆的定义得，点Q的轨迹是以O，A为焦点的椭圆． 椭圆定义的应用类型 (1)判定点的轨迹是否为椭圆，关键看是否符合椭圆的定义； (2)作为性质运用．椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)．　　 方法技巧 1．[多选]设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是(　 ) A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 针对训练 √ √ 2．已知P，Q为椭圆上两点且F1，F2为椭圆的两个焦点，当|PF1|＝4时，|PF2|＝8.求Q在运动过程中，|QF1|·|QF2|的最大值． 方法1　定义法求椭圆的标准方程　 [例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)一个焦点坐标为(－5,0)，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26； 题型(二)　椭圆的标准方程 解：(1)由题意2a＝26，a＝13， (2)由题意椭圆另一焦点为(0，－2)． 定义法就是根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．　 方法技巧 方法技巧 3．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，经过点(0,4)； 针对训练 题点1　焦点三角形问题　 题型(三)　椭圆定义的应用 1．若本例增加条件“点B为短轴的一个端点”，求△BF1F2的周长． 解：由例4得|BF1|＋|BF2|＝10，|F1F2|＝8，故△BF1F2的周长为10＋8＝18. 变式拓展 3．本例增加条件“B(2,2)”，求|PF1|＋|PB|的最大值与最小值． 设F1和F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的任意一点，当P，F1，F2三点不在同一条直线上时，点P，F1，F2构成一个三角形，我们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形，如图所示．它们具有以下性质： 常用结论 (1)|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c. (2)|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2. (3)当|PF1|＝|PF2|时，∠F1PF2最大． (4)焦点三角形的周长为2a＋2c. 题点2　求轨迹方程　 [例5]　已知平面内B，C是两个定点，|BC|＝8，△ABC的周长为18，以BC中点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，求出△ABC顶点A的轨迹方程． 变式拓展 (1)求轨迹方程的常用方法．①已知曲线类型用待定系数法；②所求轨迹的点与已知轨迹的点有固定关系，用代入法；③不能判定出曲线类型且不属于②的情况下，常用直接法． 方法技巧 针对训练 √ ∵P，Q在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，|QF1|＋|QF2|＝2a＝8， ∴△PQF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|QF1|＋|QF2|＝|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝16， ∵|PF2|＋|QF2|＝9，∴|PQ|＝7. 3 6．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C. ∴|BM|＋|CM|＝6， 又|CM|＝|AM|， ∴|BM|＋|AM|＝6，根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点，且2a＝6的椭圆． 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且a2＝100，b2＝36，所以c2＝a2－b2＝64，解得c＝8，所以焦距2c＝16，两焦点的坐标分别是(－8,0)，(8,0)． 16 (－8,0)，(8,0) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴m<5，故m的取值范围是(1,5)． (1,5) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为a＝6，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，两式相加得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝24.又|AF2|＋|BF2|＝14，所以|AB|＝10. 10 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝400－256＝144， 即100－b2＝36，所以b2＝64，即b＝8. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立， 所以|PF1|·|PF2|的最大值为100. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)， ∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3， ∵点P在椭圆上， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设椭圆的左焦点为F′， 则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝2a＝6，为定值，A正确； △ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|， ∵|AF|＋|BF|为定值6， |AB|的范围是(0,6)， ∴△ABF的周长的范围是(6,12)，B错误； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 令y＝1，可得A，B两点坐标， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)， ∵在已知椭圆的方程中，a＝3，b＝1， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵△PF1F2存在， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵y1≠0，∴y≠0. ∵点P在椭圆上， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)求椭圆M的标准方程； (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 微点助解 (1)a，b，c(都是正数)为三边长，恰好构成一个直角三角形(图中阴影部分)，a是斜边长，所以a＞b，a＞c，且a2＝b2＋c2(如图所示)．另外，a＝|OA1|＝|OA2|＝|A1A2|.(A1，A2是图中椭圆与x轴的交点)． 1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离之和为4，焦距为2，则C的方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：由题设，知可得 ∴C的方程为＋＝1. 2．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为(　 ) A. B. C．(－∞，－3) D．(2，＋∞) 解析：由题意可得0<3＋m<2－m，解得－3<m<－， 所以m的取值范围为. 解析：易知a＋≥6，故选BC. 解：由题意|QF1|＋|QF2|＝|PF1|＋|PF2|＝4＋8＝12，由基本不等式|QF1|·|QF2|≤2＝2＝36，当且仅当|QF1|＝|QF2|＝6时，等号成立，故|QF1|·|QF2|的最大值为36. (2)一个焦点坐标为(0,2)，且椭圆经过点(－，)． 又c＝5，所以b＝ ＝＝12， 椭圆标准方程为＋＝1. 2a＝＋＝＋＝－＋＋＝4，a＝2，c＝2，所以b＝＝2，焦点在y轴上，椭圆标准方程为＋＝1. 方法2　待定系数法求椭圆的标准方程　 [例3]　(1)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和的椭圆的标准方程； (2)求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程． 解：(1)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(λ＞－9)．又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 待定系数法求椭圆的标准方程 (1)定位置：根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上． (2)设方程：设椭圆方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)．无法确定焦点位置时，可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)． (3)寻关系：根据条件列出关于a，b，c(或A，B)的方程组． (4)得方程：解方程组，将所求得的相应值代入所设方程即可．　　 (2)焦点在y轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8，c＝； (3)两个焦点坐标分别是(0，－2)和(0,2)，并且经过点； (4)椭圆中c＝b，且a＋b＝6； (5)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)． 解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题可得c＝3， 将(0,4)代入到方程＋＝1中得b＝4， 故a＝＝＝5， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题可得2a＝8，即a＝4，所以b＝＝＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)易知c＝2，焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1，将代入标准方程解得b2＝6，则椭圆的标准方程为＋＝1. (4)因为c＝b，a2－b2＝c2，解得a＝2b， 又因为a＋b＝6，所以b＝2，a＝4，椭圆的标准方程为＋ ＝1或＋＝1. (5)由题意，椭圆9x2＋5y2＝45化为标准方程＋＝1，知焦点F1(0,2)，F2(0，－2)， 设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)， 将x＝2，y＝代入，得＋＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)． ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. [例4]　已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积． 解：由椭圆＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.|PF1|＋|PF2|＝10，在△PF1F2中，由余弦定理可得，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|·， 可得64＝100－|PF1||PF2|，得|PF1||PF2|＝，故S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝××＝. 2．若本例条件去掉“cos∠F1PF2＝”，求△PF1F2面积的最大值． 解：当|PF1|＝|PF2|时，S最大，此时S＝×2c×b＝12.故△PF1F2面积的最大值为12. 解：由题易知B在椭圆内，则由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，当直线BF2与椭圆交点在x轴的上方，且P，B，F2三点共线时，|PF1|＋|PB|取得最小值，最小值为|PF1|＋|PB|＝|PF1|＋|PF2|－|BF2|＝10－|BF2|＝10－＝10－2； 当直线BF2与椭圆交点在x轴的下方，且P，B，F2三点共线时，|PF1|＋|PB|取得最大值，其最大值为|PF1|＋|PB|＝|PF1|＋|PF2|＋|BF2|＝10＋|BF2|＝10＋2. (5)S＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝b2tan.　　 解：根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值，且定值大于定长的点的集合轨迹为椭圆，|BC|＝8,2c＝8，c＝4以及2a＝18－8＝10，a＝5，则有a2＝25，c2＝16，那么b2＝a2－c2＝9，且A，B，C三点构成三角形，那么点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． 本例条件“△ABC的周长为18”变为“直线AB，AC的斜率分别为kAB，kAC，且kAB·kAC＝－”．其他条件不变，△ABC顶点A的轨迹方程如何求解． 解：设点A(x，y)，B坐标为(－4,0) ，C坐标为(4,0)，则有kAB＝，kAC＝，且kAB·kAC＝－，那么·＝－ ，化简可得＝－ ，－16y2＝9x2－9×16,9x2＋16y2＝9×16，且A，B，C三点构成三角形，那么点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． (2)变式拓展中这种情形也叫椭圆的第三定义．常用结论：在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中，A，B两点关于原点对称，P是椭圆上异于A，B两点的任意一点，若kPA，kPB存在，则kPA·kPB＝－.反之亦成立．　 4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交该椭圆于P，Q两点，若|PF2|＋|QF2|＝9，则|PQ|＝(　 ) A．5 　　　　　　　　 B．6 C．7 　　　　　　　　 D．8 解析：∵椭圆＋＝1，∴a2＝16，a＝4， 5.如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为________． 解析：根据题意可得|PF1|＋|PF2|＝2a，可得|PF2|＝2a－4，又c2＝a2－2，利用余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝－， 即＝－，整理可得＝－，解得a＝3. ∴a＝3，c＝2，b＝ ＝， ∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1. A级——综合提能 1．已知椭圆＋＝1上一点P(x，y)到其中一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为(　 ) A．2 B．3 C．1 D. 2．“1<k<5”是方程“＋＝1表示椭圆”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若方程表示椭圆，则有因此1<k<5且k≠3，故“1<k<5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件． 3．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，|AB|＋|AC|＝6，则顶点A的轨迹方程是(　 ) A.＋＝1(x≠±3) B.＋＝1(x≠±2) C.＋＝1(x≠±3) D.＋＝1(x≠±2) 解析：在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，|AB|＋|AC|＝6>|BC|＝4，则顶点A的轨迹满足椭圆的定义，a＝3，c＝2，b＝， 所以顶点A的轨迹方程是＋＝1(x≠±3)． 4．关于椭圆C：＋＝1，有下列四个命题：甲：m＝4； 乙：n＝9；丙：C的焦距为6；丁：C的焦点在x轴上．如果只有一个假命题，则该命题是(　 ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：当甲、乙为真命题时，椭圆方程为＋＝1，椭圆的焦距为2c＝2＝2，且焦点在y轴上，此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题．当乙、丙和丁是真命题时，b＝＝3,2c＝6， ∴a2＝b2＋c2＝9＋9＝18，此时椭圆方程为＋＝1，符合题意，故甲是假命题． 5．设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上， 若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　 ) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：由椭圆C：＋y2＝1，可得a＝，b＝1，c＝2，因为·＝0，所以PF1⊥PF2， 由题意可得 即|PF1|·|PF2|＝＝＝2. 6．椭圆＋＝1的焦距是___，焦点坐标是______________． 7．若点P(0,1)位于焦点在x轴上的椭圆＋＝1的内部，则m的取值范围是________． 解析：由题意知＋<1，又m>0，∴m>1，又椭圆的焦点在x轴上， 8．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AF2|＋|BF2|＝14，则|AB|＝________. 9．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)b＝1，c＝，焦点在y轴上； (2)a＝10，c＝6； (3)经过点P(－2，0)，Q(0,2)两点； (4)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点(2，－)． 解：(1)因为b＝1，c＝，所以a2＝b2＋c2＝16， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为＋x2＝1. (2)因为a＝10，c＝6，所以b2＝a2－c2＝100－36＝64，因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为＋＝1或＋＝1. (3)由题意得P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以a＝2，b＝2， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (4)设椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上， 因为c＝＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)， 故设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意得解得或(舍去)． 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 10．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1 (0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点． (1)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值； (2)求|PF1|·|PF2|的最大值． 解：(1)由椭圆方程知＋＝1，a＝10，c2＝100－b2，则|PF1|＋|PF2|＝20, 由△F1PF2的面积为S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝， 解得|PF1|·|PF2|＝， (2)由基本不等式得|PF1|·|PF2|≤＝100， B级——应用创新 11．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　 ) A．± B．± C．± D．± ∴＋＝1，即y2＝，则点P的纵坐标为±，故点M的纵坐标为±. 12．[多选]设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是(　 ) A．|AF|＋|BF|为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6,12] C．当m＝时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF的面积为 令y＝，可得A，B两点坐标， 不妨设A(－，)，B(，)， 又∵F(，0)，∴·＝(－2，0)·(－，－)＝6－6<0， ∴△ABF不是直角三角形，C错误； 不妨设A(－，1)，B(，1)，则BF⊥x轴， ∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．故选AD. 13．已知点F是椭圆C：＋＝1的左焦点，点P为C上一点，A，则|PA|＋|PF|的最小值为(　 ) A. B. C．4 D. 解析：设椭圆C：＋＝1的右焦点为F′(2,0)． 由A，得|AF′|＝.根据椭圆的定义可得|PF|＋|PF′|＝2a＝6， 所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋6－|PF′|≥6－|AF′|＝6－＝. 14．已知椭圆＋y2＝1，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为(2,0)，则|PA|的最小值为________． 解析：令P(x，y)且－3≤x≤3，则|PA|＝，而y2＝1－，故|PA|＝＝， 所以当x＝时，|PA|min＝. 15．椭圆＋y2＝1上有动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程． ∴c＝＝2，则已知椭圆的两焦点为F1(－2，0)， F2(2，0)． ∴y1≠0.由三角形重心坐标公式有 即 ∴＋y＝1， ∴＋(3y)2＝1(y≠0)，故△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2＋＝1(y≠0)． 16．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点. 设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5， 故椭圆M的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±. 又＋y＝1，所以x＝，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，. $$