第1章 2.1 圆的标准方程(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）  

2.1 圆的标准方程 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．会根据圆心与半径写圆的标准方程，根据圆的标准方程得圆心与半径． 2．会用待定系数法和几何法求圆的标准方程．会用坐标法和几何法判断点与圆的位置关系． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．圆的标准方程 圆的图示 圆的几何特征 圆上任一点到______的距离等于定长 圆的标准方程 圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的方程为____________________.特别地，当圆心在坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 圆心 2．点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，A，M两点间距离为d，则 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 D____r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M在圆内 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 ＝ ＞ ＜ 基点训练 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． (　 ) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径． (　 ) (3)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上． (　 ) (4)若圆的标准方程是(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此时圆的半径一定是a. (　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　 √ 3．已知圆C的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝12，则点A(1,6)在(　 ) A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 √ 4．已知圆心坐标为(－2,1)的圆过点(0,1)，则该圆的标准方程是(　 ) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 √ 解析：∵圆过点(0,1)，即点(0,1)在圆上， 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　点与圆的位置关系 √ －2或－6 (－∞，－6)∪(－2，＋∞) 解析：由题意，当点P在圆C上时， 解得a＝－2或a＝－6. 当点P在圆C外时， 判断点与圆的位置关系的两种方法 方法技巧 几何法 利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断 代数法 把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断 1．点P(3，m)与圆(x＋1)2＋y2＝9的位置关系是(　 ) A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 解析：将点P(3，m)代入圆的方程得(3＋1)2＋m2＝16＋m2>9， 则点在圆外，故选B. 针对训练 √ 2．若点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部，则实数a的取值范围是_________________________． 解析：因为点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部， 所以(a－3)2＋(a－3)2>2， 解得a>4或a<2. (－∞，2)∪(4，＋∞) 方法1　直接法求圆的标准方程 [例3]　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心坐标是(4,0)，且过点(2,2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)． 题型(二)　圆的标准方程 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)， 则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8， ∴圆心坐标为(0,0)或(0，－8)． 又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 方法技巧 方法2　待定系数法求圆的标准方程 [例4]　已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，则△ABC外接圆的方程为_________________________． (x－1)2＋(y－3)2＝5 解析：设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 因为A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)， 待定系数法求圆的标准方程的策略 设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题目给出的已知条件找到参数a，b，r的关系，列出方程组并求出a，b，r.此方法的计算量较大，应注意运算的技巧性．方程组中圆的标准方程左端是平方和的形式，右端是同一常数，两式相减后可简化运算．　　 方法技巧 方法3　几何性质法求圆的标准方程 [例5]　过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　 ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 √ 即圆心坐标为(1,1)， 法二　设点C为圆心． ∵点C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设点C的坐标为(a,2－a)． 又∵该圆经过A，B两点， ∴|CA|＝|CB|. 解得a＝1. ∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 几何法求圆的标准方程的两种思路 (1)根据题意设出圆心坐标、半径，然后由圆上任意一点到圆心的距离等于半径列方程求得参数的值，由此确定圆心坐标和半径； (2)从几何的角度考虑，圆心在圆的弦的垂直平分线上，求出连接圆上两点的线段的垂直平分线的方程，与已知的圆心所在直线的方程联立求得圆心坐标，再由两点间距离公式求得半径．　　 方法技巧 A．(x＋2)2＋(y－4)2＝5 B．(x＋2)2＋(y－4)2＝20 C．x2＋(y－1)2＝5 D．x2＋(y－1)2＝20 3．已知点A(1，－1)和点B(－1,3)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为(　 ) 针对训练 √ 解析：法一　因为点A(1，－1)和点B(－1,3)为直径端点， 法二　由题意圆的方程可以为(x－1)(x＋1)＋(y＋1)(y－3)＝0， 即x2＋y2－2y－4＝0，即x2＋(y－1)2＝5. 4．已知圆C过点A(1,2)和B(1,10)且圆心C到直线x－2y－1＝0的距离与半径长相等．求圆C的方程． 解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心坐标为(a,6)，半径为r， 则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2. 将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2　①. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1．以(2，－1)为圆心坐标，4为半径的圆的标准方程为(　 ) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　 ) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 解析：∵12＋32＝10<24， ∴点P在圆内． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．[多选]已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　 ) A．圆M的圆心为(4，－3) B．圆M的圆心为(－4,3) C．圆M的半径为5 D．圆M被y轴截得的弦长为6 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，故圆心坐标为(4，－3)，半径为5，则A、C正确；令x＝0，得y＝0或y＝－6，弦长为6，故D正确．故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(　 ) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为点(0,3)， 又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直， 所以直线l的斜率k＝1.由点斜式， 得直线l的方程是y－3＝x－0， 化简得x－y＋3＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：法一：待定系数法　根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0)，半径为r， 则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二：几何法　因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心，且过点P(－1,1)的圆的标准方程为_______________________． (x－2)2＋(y＋3)2＝25 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为已知圆的圆心坐标为(2，－3)， 所以所求圆的圆心坐标为(2，－3)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为 ______________________________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵点P在圆外， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (x－2)2＋y2＝9 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设圆心C的坐标为(a,0)(a>0)， 解得a＝2， ∴C(2,0)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)易知圆心在线段AB的垂直平分线上，不妨设圆心坐标为(3，a)， 解得a＝±1. 当圆心坐标为(3,1)时， 圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5. 当圆心为(3，－1)时， 圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝5. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.如图，已知两点P1(4,9)和P2(6，3)，且圆以P1P2为直径． (1)求圆的方程； (2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)设圆心C(a，b)，半径r， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——应用创新 11．[多选]以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为(　 ) A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20 C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．[多选]设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　 ) A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点(3,0) C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意可知圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)的圆心C(k，k)，半径r＝2.不论k如何变化，圆心C(k，k)始终在直线y＝x上，故A正确； 令(3－k)2＋(0－k)2＝4，整理得2k2－6k＋5＝0，因为Δ＝(－6)2－4×2×5＝－4<0，可知方程无解，所以所有圆Ck均不经过点(3,0)，故B正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 令(2－k)2＋(2－k)2＝4，整理得k2－4k＋2＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×2＝8>0，可知方程有两个不同的解，所以经过点(2,2)的圆Ck有且只有两个，故C错误； 因为半径r＝2，所以所有圆的面积均为π×22＝4π，故D错误． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 假设丁错误，甲、乙、丙正确，则由甲、丙可知圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，A(3,3)满足上式，符合题意．综上所述，结论错误的同学是丁．故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上． (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆E的方程． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0， 且AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为－3. 又因为点T(－1,1)在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)， 即3x＋y＋2＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 故点A的坐标为(0，－2)， 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)， 所以点M为矩形ABCD外接圆圆心． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3，4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上． (1)求圆C的方程； (2)设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1， ∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)， 即y＝－x＋3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即圆心C为(－3，6)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 2．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心坐标和半径分别为(　 ) A．(－1,5)， B．(1，－5)， C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3 因为＝>2， 所以点A(1,6)在圆外，故选C. 解析：圆心坐标为(－1,3)，半径为＝2， ∴该圆的半径为圆心(－2,1)与点(0,1)两点之间的距离r＝＝2， ∴该圆的标准方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝4. [例1]　已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　 ) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 解析：由题意，得a＋b＝1，ab＝－， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8， ∴点P在圆C内． [例2]　已知点P(2,1)和圆C：2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝____________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为_____________________________． 由2＋(1－1)2＝1 ， 由2＋(1－1)2>1， 解得a<－6或a>－2. 所以有 解得 因此△ABC外接圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5. 解析：法一　由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，线段AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x， 则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点． 由得 得 圆的半径为＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. ∴ ＝， 故圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5. 所以AB的中点M， 即M(0,1)为圆心， 由|AB|＝＝2， 则圆的半径r＝＝， 而r＝，代入①， 得(a－1)2＋16＝， 解得a＝3，r＝2，或a＝－7，r＝4. 故圆C的方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80. 5．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　 ) A.2＋y2＝ B.2＋y2＝ C.2＋y2＝ D.2＋y2＝ 由题意得 解得 所以圆E的标准方程为2＋y2＝. 所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上． 又圆E的圆心在x轴的正半轴上， 所以圆E的圆心坐标为. 则圆E的半径为|EB|＝＝， 所以圆E的标准方程为2＋y2＝. 所以所求圆的半径为＝5， 所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. ∪ ∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>，∴a>或a＜－. 8．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为____________________． 由题意知，＝， 则圆C的半径为r＝|CM|＝＝3. ∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9. 9．根据下列条件，分别求相应圆的标准方程． (1)圆心为C，半径r＝； (2)圆心为C(，1)，过点A(－1，)； (3)与x轴相交于A(1,0)，B(5,0)两点，且半径等于. 解：(1)将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为2＋(y－3)2＝3. (2)易知圆的半径为r＝|AC|＝＝，所以圆的方程为(x－)2＋(y－1)2＝6. 由半径为可得r＝＝， 则由C为P1P2的中点得a＝＝5，b＝＝6. 又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝， ∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. (2)分别计算点到圆心的距离|CM|＝＝， |CN|＝＝>，|CQ|＝＝3<. 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 解析：令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0)．|AB|＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20.以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20. 13．在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为；乙：该圆经过点(3,3)；丙：该圆的圆心坐标为(2,1)；丁：该圆经过点(7,0)．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是(　 ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：设A(3,3)，B(2,1)，C(7,0)．假设甲错误，乙、丙、丁正确，|AB|＝＝，|BC|＝＝，|AB|≠|BC|，矛盾，所以甲正确． 假设乙错误，甲、丙、丁正确，由甲、丙正确可知圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，C(7,0)不满足上式，矛盾，所以乙正确． 假设丙错误，甲、乙、丁正确，由乙、丁得|AC|＝＝5>2，与半径为矛盾，所以丙正确． (2)由 解得 又因为|AM|＝＝2， 从而矩形ABCD外接圆E的方程为(x－2)2＋y2＝8. 联立 解得 则半径r＝＝2. ∴圆C的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40. (2)∵|AB|＝＝4， ∴圆心C到AB的距离d＝＝4， ∴点P到AB的距离的最大值为d＋r＝4＋2， ∴△PAB的面积的最大值为×4×(4＋2)＝16＋8. $$