第1章 1.3 第3课时 直线方程的一般式(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）  

直线方程的一般式 (强基课—梯度进阶式教学) 第3课时 课时目标 1.了解直线方程的一般式的形式特征，理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系． 2．能正确地进行直线方程的一般式与特殊形式的方程的转化． 3．能运用直线方程的一般式解决有关问题． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．直线方程的一般式 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B___________)表示的是__________，称它为直线方程的一般式． 2．直线方程的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系 不全为0 一条直线 基点训练 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式． (　 ) (2)任何一条直线方程的一般式都能与其他四种形式互化． (　 ) (3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线． (　 ) (4)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× √ 3.[多选]直线l在平面直角坐标系中的位置如图，已知l∥x轴，则直线l的方程可以用下面哪种形式写出(　 ) A．点斜式 B．斜截式 C．截距式 D．一般式 √ √ √ 4．经过点A(8，－2)，斜率为－2的直线方程为(　 ) A．x＋2y－4＝0 B．x－2y－12＝0 C．2x＋y－14＝0 D．x＋2y＋4＝0 √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　求直线方程的一般式 (3)由直线的方向向量为a＝(2,4)，可得直线的斜率k＝2，所以所求直线方程为y＋5＝2(x－3)，即2x－y－11＝0. 求直线方程的一般式策略 (1)直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0中要求A，B不同时为0. (2)由直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式去分母、移项就可以转化为直线方程的一般式(化为方程的一般式后原方程的限制条件就消失了)；反过来，也可以由直线方程的一般式化为斜截式、截距式，注意斜截式、截距式的适用条件． (3)解决与图象有关的问题时，常通过把直线方程的一般式化为斜截式，利用直线的斜率和纵截距作出判断．　　 方法技巧 针对训练 题型(二)　由截距、斜率求参数值 1．若本例中直线l的倾斜角为45°，试求m的值． 变式拓展 2．若本例中直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值． 3．本例中当直线l垂直于y轴时，试求m的值． (1)求一般式表示的直线的斜率与其在y轴上的截距，可将其化为斜截式，求其在x轴上的截距，可令y＝0，解出x即为所求． (2)涉及字母参数时，注意分母为零的讨论． 方法技巧 题型(三)　直线方程的一般式的应用 解：(1)证明：已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)， 则(x－2y)m＋2x－y－3＝0， 则A(a,0)，B(0，b)， 又直线l过定点(2,1)， 即a＝4，b＝2时取等号， 所以直线l的方程为x＋2y－4＝0，所以直线l过(4,0)， 方法技巧 含参直线方程的研究策略 (1)明确各种形式方程的系数的几何意义．如点斜式中的斜率k和定点(x0，y0)，斜截式中的斜率k和y轴上的截距b，两点式中的两点坐标，截距式中x轴和y轴上的截距a，b. (2)对已知方程进行必要的转化．　　 针对训练 2．已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值； (2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围． 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线， 所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0不能同时成立，解得m≠1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5．若直线a2x＋y－1＝0的斜率大于－4，则a的取值范围为(　 ) A．(－2,2) 　　　　 B．(－2,0)∪(0,2) C．(－∞，2) 　　　　 D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：直线a2x＋y－1＝0，即y＝－a2x＋1， 则直线的斜率为－a2， 即－a2>－4， 解得－2<a<2. 所以a的取值范围为(－2,2)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．直线l经过点P(－2，－1)且一个方向向量为n＝(6,8)，则直线l方程的一般式为______________． 解析：因为直线l的一个方向向量为n＝(6,8)， 4x－3y＋5＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．若直线的斜率k与直线在y轴上的截距b相等，则该直线一定经过的点是________． 解析：设直线方程为y＝kx＋b， ∵k＝b， ∴y＝kx＋k＝k(x＋1)， 当x＝－1时，y＝0， ∴该直线一定经过的点是(－1,0)． (－1,0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________． 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值． (1)在x轴上的截距为1； (2)斜率为1； (3)经过定点P(－1，－1)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)∵直线过点P′(1,0)， ∴m2－2m－3＝2m－6， 解得m＝3或m＝1， 又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，∴m＝1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：若a＝0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为l经过第四象限， 13．关于x，y的方程a2x－ay－1＝0(a≠0)表示的直线(图中实线)可能是(　 ) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 对于C，直线的斜率和它在y轴上的截距都是负数，不满足题意，所以排除C； 对于D，直线的斜率小于－1，它在y轴上的截距大于零小于1，能满足条件，所以D可能成立．故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知点M(－1,2)，N(2,3)，直线l：mx＋y－m＋2＝0与线段MN有交点，则m的取值范围为__________________________． (－∞，－5]∪[2，＋∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为l：mx＋y－m＋2＝0⇒y＋2＝－m(x－1)， 即直线l过定点Q(1，－2)， 斜率为－m， 如图所示，所以－m≤－2或－m≥5，解得m≥2或m≤－5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)由题意可知，直线l2的斜率存在且不为零， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 微点助解 求直线方程的一般式的策略 (1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． (2)在求直线方程时，设方程的一般式有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式． 2．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为(　 ) A. B. C. D. 解析：设直线的倾斜角为α，则直线斜率k＝－＝tan α，因为α∈[0，π)，则α＝，故选B. [例1]　根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)； (2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3； (3)经过点(3，－5)，且一个方向向量为a＝(2,4)． 解：(1)根据点斜式可得直线方程为y＋6＝－(x－8)，化简可得x＋2y＋4＝0. (2)根据截距式可得直线方程为＋＝1，化简可得2x－y－3＝0. 1．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式． (1)经过点A(8，－2)，斜率是－； (2)经过点B(4,2)，平行于x轴； (3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)． 解：(1)由点斜式写出直线方程y＝－(x－8)－2＝－x＋2，其一般式为x＋2y－4＝0. (2)由点斜式写出直线方程y＝0×(x－4)＋2＝2，其一般式为y－2＝0. (3)由两点式写出直线方程＝⇔＝，其一般式为x＋y－1＝0. [例2]　设直线l的方程为(m2－m－6)x＋(3m2＋5m－2)y＝3m＋6(m∈R，m≠－2)，根据下列条件分别求m的值． (1)l在x轴上的截距是－4； (2)l的斜率为. 由－＝，解得m＝. 解：(1)令y＝0，得x＝， 由＝－4，解得m＝. (2)直线l的斜率k＝－＝－. 解：由k＝－＝tan 45°，即3－m＝3m－1，得m＝1. 解：当x＝0时，y＝＝， 当y＝0时，x＝， 则＝，即m＝－1. 解：由直线l的斜率k＝－＝0， 得m＝3. [例3]　已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点． (1)证明：直线l过定点； (2)已知点P(－1，－2)，当·最小时，求实数m的值． 由 解得即直线l过定点(2,1)． (2)设直线的方程为＋＝1，a>0，b>0， 所以＋＝1. 又点P(－1，－2)， 则·＝(a＋1,2)·(1，b＋2)＝a＋2b＋5＝(a＋2b)＋5＝9＋＋≥9＋2＝13，当且仅当＝， 即4(m＋2)－3＝0，解得m＝－. 解：(1)由条件知，a≠0且a≠，在直线l的方程中，令y＝0得x＝，令x＝0得y＝， ∴＝×3，解得a＝1或a＝， 经检验，a＝1，a＝均符合要求，故实数a的值为1或. 直线l不通过第四象限， (2)当a＝时，直线l的方程为x＋＝0. 即x＝－1，此时直线l不通过第四象限； 当a≠时，直线l的方程为y＝x＋. 即解得<a≤1， 综上所述，当直线l不通过第四象限时，实数a的取值范围为. A级——综合提能 1．直线＋＝1化成方程的一般式为(　 ) A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3) C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 解析：由＋＝1可得4x＋3y＝12，即4x＋3y－12＝0. 2．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足(　 ) A．m≠0 B．m≠－ C．m≠1 D．m≠1，m≠，m≠0 3．经过点(1，)，倾斜角为120°的直线方程为(　 ) A．x＋y－2＝0 B．x－y＝0 C．x＋y－4＝0 D．x－y＋2＝0 解析：因为直线斜率为tan 120°＝－， 所以该直线方程为y－＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. 解析：因为AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不为零，由直线方程Ax＋By＋C＝0，可化为y＝－x－，因为AC<0，且BC>0，可得k＝－>0，y轴截距－<0，所以直线通过第一、三、四象限，不通过第二象限． 所以直线l的斜率为k＝，由点斜式得直线l的方程为y＋1＝(x＋2)，即4x－3y＋5＝0. 解析：由已知得∴m＝3. 9．根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点(0,2)，且倾斜角为； (2)经过点(2,1)，在x，y轴上有不为0且相等的截距． 解：(1)由题意可知该直线的斜率为k＝tan＝，在纵轴上的截距为b＝2， 所以该直线方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0. (2)由题意可设该直线在两坐标轴上的截距为m(m≠0)，由截距式可得其方程为＋＝1， 代入点(2,1)得＋＝1，解得m＝3，故直线方程为x＋y－3＝0. (2)由斜率为1，得 解得m＝. (3)直线过定点P(－1，－1)，则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，解得m＝或m＝－2. B级——应用创新 11．已知直线l的斜率与直线3x＋4y－5＝0的斜率相等，且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24，则直线l的方程是(　 ) A．3x＋4y－12＝0 B．3x＋4y＋12＝0 C．3x＋4y－24＝0 D．3x＋4y＋24＝0 解析：直线3x＋4y－5＝0的斜率为－，可设l的方程为y＝－x＋b.令y＝0，得x＝b，由题可知·|b|＝24，得b＝±6，由于直线l在第一象限与坐标轴围成三角形，所以b＝6，所以选C. 12．若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为(　 ) A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪[2，＋∞) C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪ 则l的方程为x＝－，不经过第四象限． 若a＝2， 则l的方程为y＝－，经过第四象限． 若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y＝－x－， 所以－<0或 解得a<0或<a<2或a>2. 综上，a的取值范围为(－∞，0)∪，故选C. 解析：关于x，y的方程a2x－ay－1＝0(a≠0)表示的是直线，且直线的斜率为a，在y轴上的截距为－，直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积为－1.对于A，直线的斜率和它在y轴上的截距都是正数，不满足题意，所以排除A； 对于B，直线的斜率小于1，它在y轴上的截距大于－1小于零，不满足题意，所以排除B； 因为kQM＝＝－2，kQN＝＝5， 15．已知直线l1：x＋y＋4－3m＝0. (1)求证：无论m为何实数，直线l1恒过一定点M； (2)若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线l2的方程． 解：(1)证明：将直线l1的方程化为m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0，解方程组解得故直线l1恒过定点M. 设直线l2的方程为y＋2＝k， 令x＝0，可得y＝k－2，令y＝0，可得x＝－1， 由已知可得解得k<0， 所以三角形面积为S＝＝≥＝4，当且仅当k＝－2时，等号成立，此时直线l2的方程为y＋2＝－2，即2x＋y＋4＝0. $$