第1章 1.1 1.2 第1课时 直线的倾斜角和斜率(概念课—逐点理清式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）  

第一章 直线与圆 1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系 直线的倾斜角和斜率 (概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.结合图形，探索确定直线位置的几何要素：点和方向. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念．掌握过两点的直线斜率的计算公式. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　直线的倾斜角 逐点清(二)　直线的斜率 逐点清(三)　直线斜率的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　直线的倾斜角 01 多维度理解 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按________方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的________．通常倾斜角用α表示 范围 当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为____.因此，直线的倾斜角α的取值范围为________ 逆时针 倾斜角 0 [0，π) 微点助解 (1)在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等． (2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画，是对直线的倾斜程度的刻画，是相对于x轴正向位置的刻画，如图. 倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 细微点练明 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角． (　 ) (2)一条直线的倾斜角可以为－30°. (　 ) (3)倾斜角为0°的直线有无数条． (　 ) (4)若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)． (　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．如图，直线l与y轴正向之间的夹角为30°，则直线的倾斜角为(　 ) A．30° B．60° C．45° D．不确定 解析：由倾斜角的定义可得，该直线的倾斜角为90°－30°＝60°. √ 3．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　 ) A．α＋40° B．α－140° C．140°－α D．α＋40°或α－140° √ 解析：根据题意，画出图象，如图所示． 因为0° ≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D. 4.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 135° 解析：设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC＝120°， 所以α2＝120°＋α1＝135°. 逐点清(二)　直线的斜率 02 多维度理解 微点助解 (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0. 细微点练明 √ 1．若过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线斜率不存在，则m的值等于 (　 ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 √ 3．已知经过两点(5，m)和(2,8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是(　 ) A．(2,8) B．(8，＋∞) C．(11，＋∞) D．(－∞，11) √ 4．满足下列条件的直线的斜率是否存在？若存在，求其斜率． (1)经过点A(2,3)，B(4,5)； (2)经过点C(－2,3)，D(2，－1)； (3)经过点P(－3,1)，Q(－3,10)； (4)经过点M(a,2)，N(3,6)． 逐点清(三)　直线斜率的应用 03 [典例]　已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)． (1)若A，B，C三点在同一直线上，求实数a的值； (2)若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围． 解：(1)∵A，B，C三点共线， ∴kAB＝kBC， (1)判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在． (2)若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等，也可能都不存在．若斜率相等，说明有公共点，才能得出三点共线．　　 方法技巧 判断下列三点是否在同一条直线上． (1)A(－3,1)，B(2，－4)，C(3,0)； (2)D(5，－1)，E(－1,2)，F(－5,4)． 针对训练 所以kAB≠kAC， 所以A，B，C三点不在同一条直线上． 所以kDE＝kDF. 又直线DE与直线DF有公共点D， 所以D，E，F三点在同一条直线上． 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1．[多选]图中α能表示直线l的倾斜角的是(　 ) √ √ 2．[多选]下列说法正确的是(　 ) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.如图，直线l的倾斜角为(　 ) A．60° B．120° C．30° D．150° 解析：由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是　(　 ) A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0) C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5) 解析：对于D，因为x1＝x2＝－2， 所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．若某条直线与x轴垂直，则该直线的倾斜角和斜率分别是(　 ) A．0°，0 B．90°，不存在 C．90°，0 D．0°，不存在 解析：与x轴垂直的直线的倾斜角是90°，其斜率不存在． 6．已知直线l的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为(　 ) A．25°≤θ≤155° B．－25°≤θ≤155° C．0°≤θ≤180° D．25°≤θ<205° 解析：因为直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°， 所以由0°≤θ－25°<180°得25°≤θ<205°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设A(a，b)是直线l上任意一点， 则平移后得点A′(a－2，b＋2)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．将直线MN绕原点旋转60°得到直线M′N′，若直线M′N′的斜率为1，则直线MN的倾斜角是(　 ) A．105° B．165° C．15°或75° D．105°或165° √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为直线M′N′的斜率为1， 所以直线M′N′的倾斜角是45°， 若将M′N′绕原点逆时针旋转60°得到直线MN， 则直线MN的倾斜角是105°， 若将M′N′绕原点顺时针旋转60°得到直线MN， 则直线MN的倾斜角是165°. 9．若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，b)在同一直线上，则实数b等于(　 ) A．－12 B．－6 C．6 D．12 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为kAB＝kAC， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．[多选]下列各组中，三点不能构成三角形的三个顶点的为(　 ) A．(1,3)，(5,7)，(10,12) B．(－1,4)，(2,1)，(－2,5) C．(0,2)，(2,5)，(3,7) D．(1，－1)，(3,3)，(5,7) 解析：当三点共线时，不能构成三角形，A，B，C，D四个选项中，A，B，D中的三点共线，故选ABD. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．已知三点A(x,2x)，B(1,0)，C(3x，x)，若直线AB的斜率为1，则直线BC的斜率为______． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解得x＝－1， 则点C为(－3，－1)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．若直线l向上的方向与y轴的正方向成40°角，则直线l的倾斜角为________________． 50°或130° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，直线l有两种情况，故直线l的倾斜角为50°或130°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．若A(1,2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点不共线，则实数m的取值范围是____________． 解析：由题意知，kAB≠kAC， {m|m≠3} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0. ∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0. 如果直线经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，那么可得斜率公式为k＝____________. 2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是(　 ) A．5 B．8 C． D．7 解析：由斜率公式可得＝1，解得m＝. 解析：由题意得>1，解得m>11. 解：(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1. (2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1. (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3. (4)当a＝3时，斜率不存在；当a≠3时，直线MN的斜率kMN＝. 即＝， 解得a＝2或a＝. (2)当A，B，C三点共线时，a＝2或a＝， 那么当A，B，C三点不共线， 即点A不在直线BC上时，a≠2且a≠. 故实数a的取值范围为∪∪(2，＋∞)． 解：(1)因为kAB＝＝－1， kAC＝＝－， (2)因为kDE＝＝－， kDF＝＝－， 于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1. 又kAB＝＝3，kAC＝＝， 所以3＝，即b＝6. 解析：由kAB＝＝1， 所以kBC＝＝. 即≠， 解得m≠3. 14．设过点A的直线的斜率为k，分别根据下列条件写出直线上另一点B的坐标(答案不唯一)： (1)k＝4，A(1,2)；(2)k＝－2，A(－2，－3)； (3)k＝－，A(2，－4)；(4)k＝，A(－3,2)． 解：(1)取点B(0，y)，由＝4， 得y＝－2，则点B为(0，－2)． (2)取点B(0，y)，由＝－2， 得y＝－7，则点B为(0，－7)． (3)取点B(0，y)，由＝－， 得y＝－1，则点B为(0，－1)． (4)取点B(0，y)，由＝， 得y＝6，则点B为(0,6)． 证明：由题意得kAB＝，kAC＝， ∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC， ∴＝， ∴x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x， $$