高二数学上学期期中模拟卷（范围：空间向量与立体几何+直线与圆+椭圆+双曲线）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（重庆专用）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修第一册空间向量，直线与圆，椭圆，双曲线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 3．若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图①，在中，分别为上的点，.如图②，将沿折起，当四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 6．椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题： ①已知点，直线，则； ②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（    ） A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（    ） A． B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的余弦值为 10．以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1 C．圆：与圆：恰有三条公切线，则 D．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 11．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（    ） A．圆和圆外切 B．圆心在直线上 C． D．的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．四棱锥中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，则与平面所成角的正弦值为 . 13．已知点在圆上，点，当最小时， . 14．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设直线l的方程为 (1)求证：无论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A，B，当面积最小时，求的周长； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l的方程. 16．（15分）已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点． (1)求圆C的标准方程； (2)求直线l所过的定点； (3)当的面积最大时，求直线l的方程． 17．（15分）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，. (1)求证：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点H，使得平面与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 18．（17分）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 19．（17分）在平面直角坐标系中，若点绕着原点O逆时针旋转θ角后得到点，则，．已知曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线：． (1)求曲线的方程； (2)已知，分别是曲线的上、下焦点，M，N是曲线上两动点且它们分布在y轴同侧、x轴异侧，，若，求实数λ的值； (3)在（2）问中，若与的交点为P，则是否存在两个定点，，使得为定值？若存在，求，的坐标；若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修第一册空间向量，直线与圆，椭圆，双曲线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的斜率求直线的倾斜角. 【详解】由直线得其斜率为， 设直线的倾斜角为（），则， 所以，所以直线的倾斜角为， 故选：D 2．关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 【答案】B 【分析】A由空间向量的概念及性质判断；B注意同向共线的情况；C由向量共面定理判断；D根据空间向量共面的推论判断. 【详解】A：若三个空间向量有两个向量共线，而空间中任意两个向量是共面的，故共线的两个向量必与第三个向量共面，对； B：对于两个同向共线的非零向量也有，但它们的夹角为0度，不是锐角，错； C：若、、是共面的向量，则存在且， 显然无解，所以、、是不共面的向量，对； D：由，且，根据空间向量共面的推论知，，，四点共面，对. 故选：B 3．若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答. 【详解】设，依题意，，化简整理得：， 因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 所以动点M的轨迹围成区域的面积为. 故选：D 4．如图①，在中，分别为上的点，.如图②，将沿折起，当四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得四棱锥体积最大时，平面和，再建立如图所示坐标系，求出平面的法向量，最后利用向量法结合点到平面的距离公式计算即可. 【详解】当四棱锥的体积最大时， 平面，由题意得，. 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    所以， 则， 设平面的法向量为， 则即 令，则， 则点到平面的距离为． 故选：B. 5．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论. 【详解】根据题意可得直线恒过点，该点在已知园内， 圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示： 易知圆心到直线的距离为，所以， 又，可得； 因此可得， 所以的面积为. 故选：D 6．椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，中点为，利用点差法结合条件可得点，根据在椭圆内部，进而即得． 【详解】椭圆，即：， 设椭圆上两点关于直线对称，中点为， 则，， 所以， 所以，所以， 代入直线方程得，即， 因为在椭圆内部，所以， 解得 ， 即的取值范围是． 故选：B． 7．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线性质，得到，再由双曲线的定义，以及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】由双曲线，可得，则且， 设是双曲线的右焦点，连接， 因为分别为的中点，， 在直角中，可得， 又由双曲线的定义，可得， 所以. 故选：A. 8．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题： ①已知点，直线，则； ②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（    ） A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立 【答案】C 【分析】对于①，设点是直线上一点，且，可得， 讨论与的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值； 对于②，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】对于①，设点Q是直线上一点，且，可得， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，无最值， 综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故①正确； 对于②，定点、，动点， 满足， 则：， 显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设，. 当时，有，得：； 当时，有，此时无解； 当时，有，； 则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线. 结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，因此②正确， 故选：C. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义， 这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以 说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础知识，以不变应万变才是制胜法宝. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（    ） A． B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BC 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到；B选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D选项，利用异面直线夹角公式进行求解. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， 则，A错误； B选项，平面的法向量为， ，设直线与平面所成角的大小为， 则，B正确； C选项，， 点到直线的距离为，C正确； D选项，， 设异面直线与所成角大小为， 则，D错误. 故选：BC 10．以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1 C．圆：与圆：恰有三条公切线，则 D．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 【答案】BCD 【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；由题意知两圆外切，由圆心距等于半径即可求得值，即可判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】直线， 所以，所以，解得， 所以直线恒过定点，故A错误； 圆，圆心为到直线的距离为， 所以直线与圆相交，平行于直线l且距离为的直线分别过圆心以及和圆相切， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离为，故B正确； 由：可得，圆心，， 由：可得， 圆心，，由题意可得两圆相外切，所以， 即，解得：，故C正确； 设，所以，     因为、，分别为过点所作的圆的两条切线，所以，， 所以点，在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为 . 整理可得：，与已知圆C：，相减可得. 消去可得：，即， 由解得，所以直线经过定点，故D正确. 故选：BCD. 11．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（    ） A．圆和圆外切 B．圆心在直线上 C． D．的取值范围是 【答案】AC 【分析】根据双曲线定义和圆的切线长定理可知的横坐标均为，可判断A正确；由三角形性质可知只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心一定不在直线上，B错误；利用直角三角形的射影定理可知，可得，即，选项C判断正确，求出的表达式并利用函数单调性即可得出其取值范围，可判断D错误. 【详解】易知双曲线的渐近线方程为；两渐近线倾斜角分别为和， 对于A，设圆与轴切点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为； 由双曲线定义和圆的切线长定理可知的横坐标均为，即与轴垂直， 故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A判断正确； 对于B，由双曲线定义知，中，则只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心一定不在直线上，选项B判断错误； 对于C，在中，,， 设圆的半径分别为， 则由直角三角形的射影定理可知，即，则， 故，选项C判断正确； 对于D,由直线AB的倾斜角取值范围为可知的取值范围为, 则的取值范围为, 故 则， 令则在上单调递减，在上单调递增； 易知，所以的值域为； 故的值域为，选项D判断错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：在求解双曲线中焦点三角形内切圆问题时，往往利用双曲线定义和圆的切线长定理可知圆心的横（纵）坐标与双曲线顶点的横（纵）坐标相同. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．四棱锥中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，则与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及，由与平面所成角，根据即可求解. 【详解】因为底面，底面是正方形， 所以两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，   则，，，，，则重心， 因而，，， 设平面的一个法向量为， 则，令则， 则， 故答案为：. 13．已知点在圆上，点，当最小时， . 【答案】 【分析】找到当最小时P点所在的位置，再结合勾股定理可得结果. 【详解】设圆的圆心为，半径为4， 如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接， 则，，而， 由勾股定理得， 所以当最小时，. 故答案为：. 14．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义，通过假设一条焦半径长，就可以得到其他焦半径的表示，再利用勾股定理来消元假设的字母，最后利用一个角和余弦定理来建立一个的齐次式，求解离心率. 【详解】令椭圆：（）的半焦距为， 设，则，由点在轴上， ，得， 而，，因此， 即，解得， 在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，而， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设直线l的方程为 (1)求证：无论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A，B，当面积最小时，求的周长； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，，，， 【分析】（1）变形方程为，依题意列出方程组，解出即可； （2）求得轴截距后，表示出的面积，利用基本不等式求得最值，进一步计算即可； （3）根据截距为整数且斜率为正值，求得的值，即可得到所求直线方程. 【详解】（1）由得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由， 令，得， 令，得， 由，解得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以得周长为. （3）直线在两坐标轴上的截距均为整数，即，均为整数， 所以，均为整数，又斜率为正值即，即， ， 所以直线的方程为，，，. 16．（15分）已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点． (1)求圆C的标准方程； (2)求直线l所过的定点； (3)当的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依次求出圆心和半径即可得解； （2）由题意列出方程组即可求解； （3），当时，面积最大，此时为等腰直角三角形，圆心到直线l的距离，据此即可求出m. 【详解】（1），圆C的圆心的圆心坐标为，且和直线相切， 所以圆C的半径为， 所以圆C的标准方程为； （2）由，得， 由， ∴直线l过定点； （3）∵，∴当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，故圆心到直线l的距离， ∴，解得， ∴此时l的方程为：或. 17．（15分）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，. (1)求证：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点H，使得平面与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在满足题意的点H，此时. 【分析】（1）由题意以A为原点建立空间直角坐标系，接着求出和平面的一个法向量，计算即可得证. （2）设求出，由和求出平面的一个法向量，由和求出平面的一个法向量，接着由平面与平面所成角的正弦值为得，进而求出，从而得解. 【详解】（1）由题意可以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则， 所以，令，则， ∴， ∵平面，∴平面. （2）由（1）得，，，，， 假设在线段（不含端点）上存在一点H，使得平面与平面所成角的正弦值为， 则，， 设平面法向量，则， 所以，令，则， 设平面法向量，则， 所以，令，则， 设平面与平面所成角为，则， 所以， 整理得，∵，∴. 故存在满足题意的点H，此时. 18．（17分）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值. 【详解】（1）由题意得解得， 故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为， 由得， 由，得， 则. ， 解得或 当时，直线经过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为. （3）直线，均不与轴垂直，所以，则且， 所以 为定值. 19．（17分）在平面直角坐标系中，若点绕着原点O逆时针旋转θ角后得到点，则，．已知曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线：． (1)求曲线的方程； (2)已知，分别是曲线的上、下焦点，M，N是曲线上两动点且它们分布在y轴同侧、x轴异侧，，若，求实数λ的值； (3)在（2）问中，若与的交点为P，则是否存在两个定点，，使得为定值？若存在，求，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，分别为，且定值为6 【分析】（1）利用旋转可得相关点坐标，即可代入求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，根据向量共线的坐标关系可得，进而得，利用两点距离公式，代入化简即可求解， （3）根据平行得相似，即可根据相似比，结合双曲线定义即可化简求解. 【详解】（1）由于曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线：， 故曲线绕原点逆时针旋转后得到曲线：． 设是上任意一点，绕着原点O逆时针旋转θ角后得到点， 则，， 由于在上，所以，化简得， 故的方程为， （2）设直线，,, 联立直线与双曲线的方程，消去得， ， 所以由韦达定理可得，， 因为，故，， 即， ，化简得， 代入可得，故， 结合，故， 由可得 ， 由于在双曲线上，故， 所以， 代入和可得， 故 （3）由双曲线方程可得， 不妨设，由（2）知， 故， 由于，则，， ， 因此 ， 故存在两个定点，，使得为定值， 且，分别为，且定值为6 【点睛】关键点点睛：利用向量共线坐标关系得，利用得，代入两点距离化简可得，第三中，利用（2）的结合和相似，结合双曲线的定义求解. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$