4.2.5 第1课时 正态分布（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）  

正态分布 4.2.5 正态分布(概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.利用二项分布的随机变量分布列的直观图,了解正态曲线的意义. 2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质,明确正态曲线中参数μ,σ的意义及其对正态曲线形状的影响. 3.了解标准正态分布与正态分布的关系.了解变量落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]内概率的大小. 4.掌握正态分布与标准正态分布的转换,能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　二项分布与正态曲线 逐点清(二)　正态曲线的性质 逐点清(三)　正态分布 4 逐点清(四)　标准正态分布 5 课时跟踪检测 逐点清(一)　二项分布与正态曲线 01 多维度理解 (1)二项分布分布列直观图的特点:当n充分大时,随机变量X~B(n,p)的直观表示总是具有________、两边低的“钟形”. (2)正态曲线的解析式:φ(x)=,φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数,其中:μ=______,即X的均值;σ=________,即X的标准差. (3)正态曲线的形状:一般地,φ(x)对应的图象称为正态曲线(也因形状而被称为“钟形曲线”,φ(x)也常常记为φμ,σ(x)). 中间高 E(X) [微点助解] 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)正态曲线的解析式中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差. (　 ) (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量. (　 ) (3)正态曲线是一条钟形曲线. (　 ) (4)正态曲线y=φμ,σ(x)关于直线x=0对称. (　 ) 细微点练明 × √ √ × 2.已知正态曲线的解析式f(x)=,x∈R,则μ,σ分别是(　 ) A.0和4 B.0和2 C.0和8 D.0和 解析:∵f(x)==,∴μ=0,σ=2. √ 3.设随机变量X~N(0,1),则X的正态曲线对应的函数为 (　 ) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析:因为X~N(0,1),所以μ=0,σ2=1,即σ=1,所以X的正态曲线对应的函数为A. √ 4.若随机变量X的正态曲线对应的函数为φμ,σ(x)=,则D=　　　　.  解析:因为D(X)=4,所以D=D(X)=1. 1 逐点清(二)　正态曲线的性质 02 多维度理解 1.正态曲线的性质 (1)正态曲线关于直线______对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置),具有_______、_______的特点; (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为___; (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”:______,说明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以曲线越“胖”;______,说明标准差越小,数据的集中程度越强,所以曲线越“瘦”. x=μ 中间高 两边低 1 σ越大 σ越小 2.正态曲线与x轴在某个区间内所围的面积 (1)在区间[μ-σ,μ+σ]内所围的面积约为_______; (2)在区间[μ-2σ,μ+2σ]内所围的面积约为_______; (3)在区间[μ-3σ,μ+3σ]内所围的面积约为_______. 如图. 0.683 0.954 0.997 [微点助解] (1)正态曲线与x轴无交点,图象始终位于x轴上方.μ=E(X),μ∈R,表示平均水平的特征数,σ2=D(X),表示方差,σ>0. (2)集中性:正态曲线的高峰位于正中央,即均数所在的位置. (3)对称性:正态曲线以均值为中心左右对称,曲线两端永远不与横轴相交. (4)均匀变动性:正态曲线由均值所在处开始,分别向左右两侧逐渐均匀下降. 1.已知三条正态曲线φi(x)=(x∈R,i=1,2,3)如图所示,则下列判断正确的是(　 ) A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 √ 细微点练明 解析:由正态曲线关于直线x=μ对称,知μ1<μ2=μ3,σ的大小决定曲线的形状,σ越大,随机变量的分布越分散,曲线越“矮胖”;σ越小,随机变量的分布越集中,曲线越“瘦高”,则σ1=σ2<σ3,实际上,由φ1(μ1)=φ2(μ2)>φ3(μ3),得=>,即σ1=σ2<σ3. 2.如图分别是甲、乙、丙三种品牌石英钟时间误差分布的正态曲线,则下列说法不正确的是 (　 ) A.三种品牌的石英钟时间误差的均值相等 B.时间误差的均值从大到小依次为甲,乙,丙 C.时间误差的方差从小到大依次为甲,乙,丙 D.三种品牌的石英钟中甲品牌的质量最好 √ 解析:正态曲线中的参数μ,σ分别表示随机变量的均值和标准差.由题图可知甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同,故它们的时间误差的均值相等,A正确,B错误;再根据题图的“高、矮、胖、瘦”情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲,乙,丙,这也说明甲品牌偏离均值的离散程度较小,所以甲品牌的质量最好,故C、D正确. 3.已知随机变量X的正态曲线的解析式为φ(x)=,若正态曲线与x轴在区间(-∞,m]内所围面积为0.3,则正态曲线与x轴在区间(-∞,6-m)内所围面积为　　　　.  解析:区间(-∞,6-m)与区间(m,+∞)关于直线x=3对称,故正态曲线与x轴在区间(-∞,6-m)与在区间(m,+∞)内所围面积相等,正态曲线在区间(m,+∞)内与x轴所围面积为1-0.3=0.7,所以所求面积为0.7. 0.7 4.在一次测试中,测量结果X的正态曲线如图所示,若正态曲线与x轴在区间(0,2)内所围面积为0.2. 求正态曲线与x轴在下列区间内所围面积. (1)(0,4]; 解:由题图可知,正态曲线关于直线x=2对称,故正态曲线与x轴在区间(0,4]内所围面积是在区间(0,2)内所围面积的2倍,即2×0.2=0.4. (2)(4,+∞). 解:正态曲线与x轴在区间(2,4]内所围面积与在区间(4,+∞)内所围面积的和为0.5,故在区间(4,+∞)内所围面积为0.5-0.2=0.3. 逐点清(三)　正态分布 03 多维度理解 1.正态分布 一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于φμ,σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a,b]内围成的面积,则称X服从参数为μ与σ的_________,记作X~N(μ,σ2),此时φμ,σ(x)称为X的______________.更进一步的研究表明,此时μ是X的均值,而σ是X的_______,σ2是X的______. 正态分布 概率密度函数 标准差 方差 2.正态分布总体在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈________; (2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈________; (3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈________. 68.3% 95.4% 99.7% 1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于 (　 ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析:∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2,对称轴是x=2.∵P(ξ<4) =0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,∴P(0<ξ<4)=0.6.∴P(0<ξ<2)=0.3. √ 细微点练明 2.若随机变量ξ~N(10,σ2),P(9≤ξ≤11)=0.4,则P(ξ>11)=　　　　.  解析:由P(9≤ξ≤11)=0.4且正态曲线以x=μ=10为对称轴知,P(9≤ξ≤11)=2P(10≤ξ≤11)=0.4,∴P(10≤ξ≤11)=0.2. ∵P(ξ≥10)=0.5,∴P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3. 0.3 3.设ξ~N(1,22),试求: (1)P(-1≤ξ≤3); 解:∵ξ~N(1,22),∴μ=1,σ=2, (1)P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.683. (2)P(3≤ξ≤5). 解:∵P(3≤ξ≤5)=P(-3≤ξ≤-1), ∴P(3≤ξ≤5)=[P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)] =[P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ≤1+2)] =[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)] ≈(0.954-0.683)=0.135 5. 04 逐点清(四)　标准正态分布 (1)定义:___________的正态分布称为标准正态分布. (2)概率计算:如果X~N(0,1),那么对于任意a,通常记Φ(a)=_______,也就是说Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间_______内所围的面积,如图所示. (3)Φ(a)的性质:Φ(-a)+Φ(a)=___. 多维度理解 μ=0且σ=1 P(X<a) (-∞,a) 1 √ 细微点练明 1.已知变量ξ~N(μ,σ2),那么下面服从标准正态分布的是 (　 ) A.ξ B.ξ-μ C. D. 解析:设Z=,则E(Z)=E=0,D(Z)===1,∴Z=~N(0,1),故选D. 2.设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1),已知Φ(-1.96)=0.025,则P(|ξ|<1.96)= (　 ) A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975 解析:∵ξ服从标准正态分布N(0,1),∴P(|ξ|<1.96)=P(-1.96<ξ<1.96)= Φ(1.96)-Φ(-1.96)=1-2Φ(-1.96)=1-2×0.025=0.950. √ 3.随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.现已知随机变量Y服从正态分布N(2,4).若随机变量Z=aY- b(a,b为正实数)服从标准正态分布,则a+b=　　　　.  解析:因为随机变量Y服从正态分布N(2,4),所以E(Y)=2,D(Y)=4.因为随机变量Z=aY-b(a,b为正实数)服从标准正态分布,所以E(Z)=0,D(Z)=1, 所以E(Z)=aE(Y)-b=2a-b=0,D(Z)=a2D(Y)=4a2=1,即 解得a=,b=1,则a+b=+1=. 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.[多选]下面给出的关于正态曲线的四个叙述中,正确的是 (　 ) A.曲线在x轴上方,且与x轴不相交 B.当x>μ时,曲线下降,当x<μ时,曲线上升 C.当μ一定时,σ越小,总体分布越分散,σ越大,总体分布越集中 D.曲线关于直线x=μ对称,且当x=μ时,位于最高点 解析:只有C错误,因为当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.[多选]对于正态分布N(0,1)的概率密度函数φ(x)=,下列说法正确的是(　 ) A.φ(x)是偶函数 B.φ(x)的最大值是 C.φ(x)在x>0时是减函数,在x<0时是增函数 D.φ(x)关于x=1对称 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析:∵φ(x)=,∴φ(x)为偶函数,且其最大值是;当x<0时,函数为增函数,当x>0时,函数为减函数,A、B、C正确;曲线不关于x=1对称,故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.设随机变量ξ服从正态分布N(4,9),若P(ξ≥6)=0.2,则下列结论正确的是 (　 ) A.P(ξ≤2)=0.2,标准差σ=4 B.P(ξ>2)=0.8,标准差σ=3 C.P(ξ>2)=0.8,标准差σ=9 D.P(ξ≤4)=0.2,标准差σ=3 解析:因为随机变量ξ服从正态分布N(4,9),P(ξ≥6)=0.2,所以μ=4,σ2=9, P(ξ≤2)=P(ξ≥6)=0.2,P(ξ≤4)=0.5,所以σ=3,P(ξ>2)=1-P(ξ≤2)=0.8. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.已知随机变量X~N(μ,σ2),Y~B(6,p),且P(X≤4)=,E(X)=E(Y),则p=(　 ) A. B. C. D. 解析:由X~N(μ,σ2),P(X≤4)=,得E(X)=μ=4.由Y~B(6,p),得E(Y)=6p,因此6p=4,解得p=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.设随机变量ξ服从正态分布,ξ的正态曲线如图所示,若P(ξ<0)=p,则P(0<ξ<1)与D(ξ)分别为 (　 ) A.-p, B.p, C.-p, D.p, 解析:根据题意得P(0<ξ<1)==-p,由正态曲线得ξ~N, 所以D(ξ)==. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.某市高三年级女生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(163,9),现在该市随机选择一名高三女生,则她的身高位于[166,169]内的概率是 (　 ) 参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954. A.0.135 5 B.0.135 7 C.0.135 9 D.0.136 1 解析:依题意,得μ=163,σ=3,所以P(166≤X≤169)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)≈ (0.954-0.683)=0.135 5. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.[多选]某地生产的甲、乙两类水果的质量X,Y(单位:kg)分别服从正态分布N(λ,),N(μ,),它们的正态曲线如图所示,则下列说法正确的是(　 ) A.λ<μ B.σ1>σ2 C.P(X≥x0)>P(Y≥x0) D.P(X≥x0)<P(Y≥x0) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:根据正态曲线可知甲类水果的平均质量λ<x0,乙类水果的平均质量μ>x0(x0>0),∴λ<μ,A正确;根据正态曲线可知,甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,所以σ1<σ2,B错误;根据正态曲线可知P(X≥x0)<0.5,P(Y≥x0)>0.5,所以P(X≥x0)<P(Y≥x0),C错误,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.传输信号会受到各种随机干扰,为了在强干扰背景下提取微弱信号,可用同步累积法.设s是需提取的确定信号的值,每隔一段时间重复发送一次信号,共发送m次,每次接收端收到的信号Xi=s+εi(i=1,2,3,…,m),其中干扰信号εi为服从正态分布N(0,σ2)的随机变量.令累积信号Y= Xi,则Y服从正态分布N(ms,mσ2),定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方,例如X1的信噪比为,则累积信号Y的信噪比是接收一次信号的(　 ) A.倍 B.m倍 C.倍 D.m2倍 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由Y服从正态分布N(ms,mσ2),得Y的信噪比为=m.又接收一次信号X1的信噪比为,所以=m,所以累积信号Y的信噪比是接收一次信号的m倍. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.[多选]某市有甲、乙两个工厂生产同一型 号的汽车零件,零件的尺寸分别记为X,Y,已知 X,Y均服从正态分布,X~N(μ1,),Y~N(μ2,), 其正态曲线如图所示,则下列结论正确的是(　 ) A.甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B.甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由题图可知,μ1=μ2,σ1<σ2,故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值,故A正确,B错误;甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性,故C正确,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.某工厂生产的一批零件的使用寿命X(单位:年)近似服从正态分布N(80,σ2).若P(60≤X≤100)=,则从这批零件中任意取出1件,其寿命低 于60的概率是　　　　.  解析:由P(60≤X≤100)=,X服从正态分布N(80,σ2), 得P(X<60)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),那么对于任意a,记Φ(a)= P(X<a),已知Φ(a)=0.7,则P(|X|<a)=　　　　.  解析:由题可知,P(|X|<a)=P(-a<X<a)=1-2P(X>a)=1-2[1-Φ(a)]=1-2×(1-0.7)=0.4. 0.4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.若正态曲线对应的函数为φμ,σ(x)=·,分别写出正态曲线与x轴在下列区间内所围的面积: (1)[μ-σ,μ]; 解:根据对称性,正态曲线与x轴在区间[μ,μ+σ]内所围的面积与在区间[μ-σ,μ]内所围的面积相等,约为0.341 5. (2)[μ-2σ,μ]. 解:根据对称性,正态曲线与x轴在区间[μ-2σ,μ]内所围的面积与在区间[μ,μ+2σ]内所围的面积相等,约为0.477 0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.已知随机变量X~N(μ,σ2),且其正态曲线在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上为减函数,且P(72≤X≤88)=0.683. (1)求参数μ,σ的值; 解:由于正态曲线在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数, ∴正态曲线关于直线x=80对称, 即参数μ=80.又P(72≤X≤88)=0.683. 结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,可知σ=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求P(64≤X≤72). 解:∵P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=P(64≤X≤96)≈0.954, ∴P(64≤X≤72)=[P(64≤X≤96)-P(72≤X≤88)]≈0.135 5. $$