4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）  

4.2.4 随机变量的数字特征 离散型随机变量的均值 (强基课——梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值. 2.理解离散型随机变量均值的性质. 3.掌握两点分布、二项分布与超几何分布的均值. 4.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1.离散型随机变量均值的定义 一般地,如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. 则称E(X)=_________________=________为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).离散型随机变量X的均值E(X)也可用EX表示,它刻画了X的_________. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn x1p1+x2p2+…+xnpn xipi 平均取值 2.几种常见分布的均值 (1)两点分布的均值:若X服从参数为p的两点分布,则E(X)=____. (2)二项分布的均值:若X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=____. (3)超几何分布的均值:若X服从参数为N,n,M的超几何分布,即 X~H(N,n,M),则E(X)=_______. p np 3.均值的性质 若Y=aX+b,其中a,b为常数,a≠0,X是随机变量, (1)Y也是随机变量; (2)E(aX+b)=__________. aE(X)+b 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化. (　 ) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平. (　 ) (3)若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4. (　 ) (4)随机变量X的均值E(X)=. (　 ) 基点训练 × × × √ 2.已知随机变量X~B,Y~H(10,m,2),若E(X)=E(Y),则m=(　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:由题意得E(X)=np=,E(Y)===.因为E(X)=E(Y),所以=, 解得m=3. √ 3.若随机变量X的分布列如表,则X的数学期望为　　　　.  解析:E(X)=-1×0.2+2×0.35+4×0.25+5×0.2=2.5. 2.5 X -1 2 4 5 P 0.2 0.35 0.25 0.2 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　离散型随机变量的均值 [例1]　某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值. 解:由题意知X的取值为1,2,3,4, 则P(X=1)=0.6,P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28, P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096, P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024. 所以一年内李明参加驾照考试次数X的分布列为 E(X)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 [思维建模]　求离散型随机变量X均值的步骤 针对训练 1.端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中有8个粽子,其中豆沙粽2个,蜜枣粽6个,这两种粽子的外观完全相同,从中随机取出3个. (1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率; 解:依题意,既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为=. (2)设X表示取到豆沙粽的个数,求随机变量X的分布列与数学期望. 解:由题意得X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, 所以X的分布列为 所以E(X)=0×+1×+2×=. X 0 1 2 P 题型(二)　三种特殊分布的均值 [例2]　从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生二胎政策的态度,某市选取70后作为调查对象,随机调查了10人,其中打算生二胎的有4人,不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人,记打算生二胎的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和均值; 解:由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3. 则P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==. ∴ξ的分布列为 法一　E(ξ)=0×+1×+2×+3×=1.2. 法二　∵ξ~H(10,3,4), ∴E(ξ)==1.2. ξ 0 1 2 3 P (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率作为概率,从该市70后中随机抽取3人,记打算生二胎的人数为η,求随机变量η的分布列和均值. 解:由题意可知,全市70后打算生二胎的概率为P==,η=0,1,2,3.且η~B,则P(η=k)=(k=0,1,2,3), ∴η的分布列为 ∴E(η)=3×=1.2. η 0 1 2 3 P [思维建模] 求常见的几种分布的均值的关注点 (1)关键:根据题意准确判断分布类型. (2)计算:若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布,则可直接代入公式求得均值. 针对训练 2.某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡,“年龄在20岁到34岁之间的会员”为1号会员,占比20%,“年龄在35岁到59岁之间的会员”为2号会员,占比50%,“年龄在60岁到80岁之间的会员”为3号会员,占比30%.现对会员进行水果质量满意度调查,根据调查结果得知,1号会员对水果质量满意的概率为,2号会员对水果质量满意的概率为,3号会员对水果质量满意的概率为. (1)随机选取1名会员,求其对水果质量满意的概率; 解:设事件A:随机选取1名会员,其对水果质量满意,则P(A)=0.2×+0.5×+0.3×=. (2)从会员中随机抽取2人,记抽取的2人中,对水果质量满意的人数为X,求X的分布列和数学期望. 解:由题意知X的可能取值为0,1,2,且X~B, 则P(X=0)==, P(X=1)==,P(X=2)==, 所以X的分布列为 所以E(X)=np=2×=. X 0 1 2 P 题型(三)　离散型随机变量均值的性质 [例3]　已知随机变量X的分布列为 若Y=-2X,则E(Y)=　　　　.  X -2 -1 0 1 2 P m 解析:由离散型随机变量分布列的性质,得+++m+=1, 解得m=,∴E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-. 由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X)=-2×=. [变式拓展] 1.本例条件不变,若Y=2X-3,求E(Y). 解:由公式E(aX+b)=aE(X)+b及E(X)=-,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×-3=-. 2.本例条件不变,若Y=aX+3,且E(Y)=-,求a的值. 解:因为E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3=-,所以a=15. [思维建模] 求随机变量Y=aX+b的均值的方法 (1)定义法:先列出Y的分布列,再求均值. (2)性质法:直接套用公式E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b求解即可. 针对训练 3.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,则以下正确的是(　 ) A.E(X)= B.E(2X+3)= C.E(2X+2)= D.E(2X+1)= 解析:因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,所以P(X=1)=, 故E(X)=0×+1×=,故A错误;E(2X+3)=2E(X)+3=,故B错误; E(2X+2)=2E(X)+2=,故C错误;E(2X+1)=2E(X)+1=,故D正确. √ 4.[多选]已知随机变量X的分布列为 若E(X)=7.5,则以下结论正确的是(　 ) A.a无法确定 B.b=0.4 C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.9 √ X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 √ √ 解析:由分布列的性质,可知0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,故B正确; ∵E(X)=4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=6.8+0.1a=7.5,∴a=7,故A不正确;由均值的性质,可知E(aX)=aE(X)=7×7.5=52.5,故C正确;E(X+ b)=E(X)+b=7.5+0.4=7.9,故D正确.故选BCD. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 A级——综合提能 1.已知某一随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=6.3,则a的值为(　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:根据随机变量X分布列的性质可知b+0.1+0.4=1,所以b=0.5.又E(X)=ab+7×0.1+9×0.4=6.3,所以a=4. √ X a 7 9 P b 0.1 0.4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知随机变量X服从两点分布,E(X)=0.6,则其成功概率为 (　 ) A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 解析:∵随机变量X服从两点分布,设成功的概率为p,∴E(X)=0×(1-p)+ 1×p=p=0.6. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.已知随机变量ξ和η,其中η=4ξ-2,且E(η)=7,若ξ的分布列如下表,则n的值为 A. B. C. D. 解析:∵η=4ξ-2,∴E(η)=4E(ξ)-2=7,∴E(ξ)=,∴=1×+2×m+3×n+4× =2m+3n+,又+m+n+=1,联立求解可得n=,故选A. √ ξ 1 2 3 4 P m n 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,经过一段时间考查后,X,Y的分布列分别是 X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1   Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 据此判定 (　 ) A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 解析:由分布列可得E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(Y) =0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7,∵E(Y)>E(X),∴甲比乙质量好. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.某班举行了一次“心有灵犀”的活动.教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜错得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X的数学期望为 (　 ) A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:依题意得,X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.5)=0.3, P(X=1)=0.4×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2. ∴X的分布列为 ∴E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9. X 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选中,若X表示选中高二(1)班的 候选人的人数,则E(X)的值为　　　　.  解析:X的可能取值为0,1,2,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, 则E(X)=0×+1×+2×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.设ξ的分布列为 若η=2ξ+a,则E(η)=　　　　.  解析:由分布列的性质可知+++a=1,解得a=,所以E(ξ)=1×+2×+3 ×+4×=,所以E(η)=E=2E(ξ)+=2×+=6. 6 ξ 1 2 3 4 P a 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.设离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=··(k=0,1,2,…,300),则E(X)=　　　,若Y=2X-1,则E(Y)=　　　.  解析:由P(X=k)=··,可知X~B, ∴E(X)=300×=100,E(Y)=E(2X-1)=2E(X)-1=200-1=199. 100 199 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.一个盒子里装有5张卡片,其中有红色卡片3张,白色卡片2张,从盒子中任取2张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的2张卡片中,至少有1张红色卡片的概率; 解:设“取出的2张卡片中,至少有1张红色卡片”为事件A, 则P(A)=1-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)在取出的2张卡片中,白色卡片数设为X,求随机变量X的分布列和数学期望. 解:随机变量X的所有可能取值为0,1,2. 则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 所以X的分布列为 E(X)=0×+1×+2×=. X 0 1 2 P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.某全国连锁咖啡店,男会员占60%,女会员占40%.现对会员进行服务质量满意度调查,根据调查结果得知,男会员对服务质量不满意的概率为,女会员对服务质量不满意的概率为. (1)随机选取一名会员,求其对服务质量不满意的概率; 解:设事件A1:会员是男会员,A2:会员是女会员,事件B:对服务质量不满意. 由题意,得P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=, 于是,由全概率公式可得,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)从会员中随机抽取3人,记抽取的3人中,对服务质量不满意的人数为X,求X的分布列和数学期望. 解:由题意知,X~B, 则P(X=0)==,P(X=1)=××=, P(X=2)=×=,P(X=3)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 所以X的分布列为 因为X~B,所以E(X)=3×=. X 0 1 2 3 P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 B级——应用创新 11.从一批含有8件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)=(　 ) A.2 B.1 C.3 D.4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由题意,知随机变量ξ的取值为0,1,2, 则P(ξ=0)==;P(ξ=1)==,P(ξ=2)==, 所以E(ξ)=0×+1×+2×=, 所以E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5×+1=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球;否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值可能是 (　 ) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:根据题意,知发球次数为1的概率P(X=1)=p,发球次数为2的概率P(X=2)=(1-p)p,发球次数为3的概率P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,解得p>或p<.由p∈(0,1)可得p∈. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.已知甲同学计划从某天开始的连续四天内,每天从座位充足的A,B两间教室中选择一间用于自习.若其每天的选择均相互独立,且任意一天选择A教室的概率为p1(0<p1<1),任意连续两天选择相同教室的概率为p2. (1)求p2的取值范围; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解:设事件A为“甲在某天选择A教室自习”,事件B为“甲在某天选择B教室自习”,则P(A)=p1(0<p1<1),P(B)=1-p1. 依题意知,p2=+=2-2p1+1=2+. ∵0<p1<1,∴当p1=时,p2取最小值,为, ∴易知p2的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若p1=p2,记甲在该四天内连续选择相同教室自习的天数最大值为随机变量X(若甲任意连续两天都不在相同教室自习,则X=1),求X的分布列和数学期望. 解:∵p1=p2,∴p2=p1=2-2p1+1,解得p1=或p1=(舍去). 依题意知,X的所有可能取值为1,2,3,4, ①当这四天的选择依次为ABAB或BABA时, P(X=1)=×××+×××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 ②当这四天的选择依次为AABA,ABAA,BBAB,BABB,ABBA,BAAB,AABB或BBAA时, P(X=2)=×××2+×××2+××4==. ③当这四天的选择依次为AAAB,BAAA,BBBA或ABBB时, P(X=3)=××2+××2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 ④当这四天的选择依次为AAAA或BBBB时,P(X=4)=+=. ∴X的分布列为 E(X)=1×+2×+3×+4×=. X 1 2 3 4 P $$