4.2.2 离散型随机变量的分布列（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）  

4.2.2 离散型随机变量的分布列 (强基课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解离散型随机变量分布列的概念,了解分布列对刻画随机现象的重要性. 2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.　　 3.理解两点分布的特点. CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一)离散型随机变量的分布列 1.离散型随机变量的分布列 一般地,当离散型随机变量X的取值范围是{x1,x2,…,xn}时,如果对任意k∈{1,2,…,n},概率____________都是已知的,则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示,这个表格称为X的_________或________. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn P(X=xk)=pk 概率分布 分布列 2.离散型随机变量分布列的性质 (1)pk ______0,k=1,2,…,n; (2) pk=p1+p2+…+pn=___. ≥ 1 1.设随机变量X的可能取值为1,2,…,n,并且取1,2,…,n是等可能的.若P(X<4)=0.3,则下列结论正确的是 (　 ) A.n=3 B.n=4 C.n=10 D.n不能确定 解析:因为随机变量X的可能取值为1,2,…,n,并且取1,2,…,n是等可能的,所以P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3,解得n=10.故选C. 基点训练 √ 2.设随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3,则C=　　　　.  解析:由分布列的性质得C=1,所以C=. (二)两点分布 1.两点分布 一般地,如果随机变量的分布列能写成如下表格的形式(其中0<p<1), 则称这个随机变量服从参数为___的__________ (或_________). X 1 0 P ___ ____ p 1-p p 两点分布 0-1分布 2.伯努利试验 所有可能结果只有两种的随机试验通常称为伯努利试验.两点分布也常称为伯努利分布,两点分布中的p也常被称为__________. 成功概率 在射击试验中,令X=如果射中的概率是0.9,则随机变量X的分布列为　　　　.  答案: 基点训练 X 0 1 P 0.1 0.9 解析:由题意知X服从两点分布,故随机变量X的分布列为 X 0 1 P 0.1 0.9 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　离散型随机变量的分布列 [例1]　每年9月第三个公休日是全国科普日.某校为迎接2025年全国科普日,组织了科普知识竞答活动,要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答(每道题被选中的概率相等).设随机变量X表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数. (1)求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率; 解:设“该选手恰好选中一道‘智慧生活题’”为事件A,则P(A)==. (2)求随机变量X的分布列. 解:由题意可知X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P [思维建模] 求离散型随机变量分布列的三个关键点 (1)随机变量的取值. (2)每一个取值所对应的概率. (3)用所有概率之和是否为1来检验(此种情况计算概率时不可用对立事件的概率). 针对训练 1.一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球,其中红球有2个,白球有3个.从中任意取出3个球, (1)求取出的3个球恰有一个红球的概率; 解:设“取出的3个球恰有一个红球”为事件A,则P(A)===. (2)若随机变量X表示取得红球的个数,求随机变量X的分布列. 解:随机变量X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, 故X的分布列为 X 0 1 2 P 题型(二)　分布列的性质及其应用 [例2]　设随机变量X的分布列P=ak(k=1,2,3,4,5). (1)求常数a的值; 解:由题意知,所给分布列为 (1)由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=. X 1 P a 2a 3a 4a 5a (2)求P. 解:法一　P=P+P+P(X=1)=++=. 法二　P=1-P=1-=. [变式拓展] 本例条件不变,求P. 解:∵<X<,∴X=,,. ∴P=P+P+P=++=. [思维建模] 分布列的性质及其应用 (1)利用分布列中各概率之和为1,可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数. (2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式. 针对训练 2.设离散型随机变量X的分布列为 (1)求随机变量η=|X-1|的分布列; 解:由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3, 列表为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m X 0 1 2 3 4 |X-1| 1 0 1 2 3 即随机变量η的可能取值为0,1,2,3, 所以P(η=0)=P(X=1)=0.1, P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3, 故η=|X-1|的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 (2)求随机变量ξ=X2的分布列. 解:列表得 即随机变量ξ的可能取值为0,1,4,9,16. 从而ξ=X2的分布列为 X 0 1 2 3 4 X2 0 1 4 9 16 ξ 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 题型(三)　两点分布 [例3]　已知一批200件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数,求X的分布列. 解:由题意知,X服从两点分布,P(X=0)==,所以P(X=1)=1-=. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P [思维建模] 两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的; (2)两点分布中的两结果一个对应1,另一个对应0; (3)由互斥事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1)),便可求出P(X=1)(或P(X=0)); (4)在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,就可以利用两点分布来研究它. 针对训练 3.已知离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=3-4P(X=1)=a,则a= (　 ) A. B. C. D. 解析:因为X服从两点分布,所以P(X=0)+P(X=1)=1.因为P(X=0)=3-4P(X　=1)=a,所以P(X=0)=3-4[1-P(X=0)],解得P(X=0)=,所以a=,故选C. √ 4.某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述1次试验的成功次数,则P(X=1)等于 (　 ) A.0　　　　　　　B.　　　　　　　C.　　　　　　　D. 解析:设失败率为p,则成功率为2p,∴X的分布列如表所示. ∴p+2p=1,解得p=,∴P(X=1)=,故选D. √ X 0 1 P p 2p 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——综合提能 1.若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,则P(Y=-2)=(　 ) A.0.2 B.0.8 C.1 D.0 解析:由Y=-2,且Y=3X-2,得X=0,所以P(Y=-2)=0.8. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示,则P(ξ≥9)= (　 ) A.0.69 B.0.67 C.0.66 D.0.64 解析:P(ξ≥9)=1-P(ξ=8)=1-0.36=0.64,故选D. √ ξ 8 9 10 P 0.36 a 0.33 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.设X是一个离散型随机变量,则下列不能作为X分布列的一组概率取值的数据是 (　 ) A., B.0.1,0.2,0.3,0.4 C.p,1-p(0<p<1) D.,,…, √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:根据分布列的性质可知,所有的概率之和等于1,且0≤pk≤1,k=1,　2,…,n.因为+=1,满足0≤pk≤1,所以A能成为X分布列的一组概率取值的数据;因为0.1+0.2+0.3+0.4=1,且满足0≤pk≤1,所以B能成为X分布列的一组概率取值的数据;因为p+1-p=1,且满足0≤pk≤1,所以C能成为X分布列的一组概率取值的数据;因为++…+=1-=,所以D不能成为X分布列的一组概率取值的数据. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.设随机变量X的分布列P(X=k)=(k=1,2,3,4,5),则P(X≥4)=(　 ) A.　　　　　　B.　　　　　　　C.　　　　　　　D. 解析:由题意得P(X=k)===, ∵ P(X=k)=1,∴×==1,解得m=.∴P(X≥4)=×=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.一袋中装有5个球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3个球,以ξ表示取出的三个球中的最小号码,则随机变量ξ的分布列为 (　 ) A. 　B. C. 　D. √ ξ 1 2 3 P ξ 1 2 3 4 P ξ 1 2 3 P ξ 1 2 3 P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:随机变量ξ的可能取值为1,2,3. P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.若随机变量X服从两点分布,P(X=0)=2a,P(X=1)=3a,则a=　　　　.  解析:因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2a,P(X=1)=3a,所以2a+3a=1,解得a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示: 则常数q的值为　　　　.  解析:由已知得0.36+1-2q+q=1,解得q=0.36. 0.36 X 0 1 2 P 0.36 1-2q q 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.随机变量X的分布列如下: 其中a,b,c满足a+c=2b,则P(|X|=1)=　　　　.  解析:因为a+c=2b,所以a+b+c=3b=1,b=,a+c=,所以P(|X|=1)=P(X=-1)+　P(X=1)=a+c=. X -1 0 1 P a b c 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.已知离散型随机变量X的分布列为 (1)求3X+2的分布列; 解:由题意,知3X+2=-4,-1,2,5,8, 则3X+2的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 3X+2 -4 -1 2 5 8 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求|X-1|的分布列; 解:由题意,知|X-1|=0,1,2,3,则|X-1|的分布列为 |X-1| 0 1 2 3 P 0.3 0.4 0.1 0.2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)求X2的分布列. 解:由题意,知X2=0,1,4,则X2的分布列为 X2 0 1 4 P 0.1 0.4 0.5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球,规定每取出1个黑球记2分,而取出1个白球记-1分,取出黄球记零分. (1)以X表示所得分数,求X的分布列; 解:依题意,当取到2个白球时,随机变量X=-2;当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1;当取到2个黄球时,随机变量X=0; 当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1; 当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当取到2个黑球时,随机变量X=4,所以随机变量X的可能取值为-2,-1,　0,1,2,4,则P(X=-2)==,P(X=-1)==, P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=4)==, 所以X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 4 P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求得分X>0的概率. 解:由(1)得P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=++=, 所以得分X>0的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——应用创新 11.一袋中装有4个白球和2个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个不放回,取出后记下颜色,若为红色则停止抽取,若为白色则继续抽取,停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X,则P(X≤2)=(　 ) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:令X=k表示前k个球为白球,则第(k+1)个球为红球,此时P(X=0)==,P(X=1)=×=,P(X=2)=××=, 则P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.两对孪生兄弟共4人随机排成一排,设随机变量ξ表示孪生兄弟相邻的对数,则 (　 ) A.P(ξ=0)>P(ξ=1) B.P(ξ=0)=P(ξ=1) C.P(ξ=0)<P(ξ=1) D.P(ξ=1)>P(ξ=2) 解析:4人排成一排共有=24种不同的排法,ξ的所有可能取值为0,1,2,所以P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,所以P(ξ=0)=　P(ξ=1)=P(ξ=2). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n), pi=1,定义M(X)= pipn+1-i.若p1pn=,则当n=3时,M(X)的最大值为　　　.  解析:由题意知,当n=3时,M(X)= pip4-i=p1p3+p2p2+p3p1=2p1p3+=+[1-(p1+　p3)]2.∵p1>0,p3>0,p1p3=,∴p1+p3≥2=,当且仅当p1=p3=时,等号成立.∴≤p1+p3<1,0<1-(p1+p3)≤,∴M(X)≤+=,即M(X)的最大值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.小明参加一个抽纸牌游戏,规则如下:有九张质地完全相同的纸牌,其中有1张大王牌,其余四种花色为红桃、黑桃、方块、梅花,各2张.逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌,每次抽牌后,都往牌堆中加入一张新的大王牌. (1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下,第三次抽牌抽到红桃牌的概率. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”. 则P(A)=×+×=, P(AB)=××+××+××+××=. 所以小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下,第三次抽牌抽到红桃牌的概率为P(B|A)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)抽牌过程中,若抽到大王牌,则宣告游戏结束:若累计抽到两张花色相同的纸牌,也宣告游戏结束;否则游戏继续.用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数,求X的分布列. 解:X的所有可能取值为1,2,3,4,5,则P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)　=××=,P(X=4)=×××=,P(X=5)=×××=, 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P $$