4.2.1 随机变量及其与事件的联系（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）  

随机变量及其与事件的联系 (概念课——逐点理清式教学) 4.2.1 课时目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.能写出离散型随机变量的可能取值,并能解释其表示的事件. 3.理解随机变量之间的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　随机变量的概念 逐点清(二)　随机变量的取值与 试验结果的对立 逐点清(三)　随机变量之间的关系 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　随机变量的概念 01 多维度理解 随机变量的相关概念 定义 一般地,如果随机试验的样本空间为Ω,而且对于Ω中的每一个样本点,变量X都有___________实数值与之对应,就称X为一个随机变量 表示 随机变量一般用大写英文字母______,…或小写希腊字母_____,…表示 范围 随机变量所有可能的取值组成的集合,称为这个随机变量的取值范围 分类 (1)离散型随机变量:随机变量的所有可能的取值可以_________出来. (2)连续型随机变量:连续型随机变量可以在某个实数范围内连续取值 唯一确定的 X,Y,Z ξ,η,ζ 一一列举 [微点助解] (1)随机变量的取值由随机试验的结果决定. (2)随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果,试验的结果对应着随机变量的值,即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数. 1.[多选]一副扑克牌共有54张牌,其中52张是正牌,另2张是副牌(大王和小王),从中任取4张,则随机变量可能为 (　 ) A.所取牌数 B.所取正牌和大王的总数 C.这副牌中正牌数 D.取出的副牌的个数 √ 细微点练明 √ 解析:所取牌数为4,是一个常数,不是随机变量,所以A错误;4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3,4,所以是随机变量,所以B正确;这副牌中正牌数为52,是一个常数,不是随机变量,所以C错误;4张牌中所取出的副牌的个数可能为0,1,2,所以是随机变量,所以D正确.故选BD. 2.袋中有大小相同、质地均匀的5个黑球、3个白球,从中任取2个,则可以作为随机变量的是 (　 ) A.至少取到1个黑球 B.取到黑球的个数 C.至多取到1个黑球 D.取到球的个数 解析:根据随机变量的定义,正确的是B选项,其中A、C选项是事件,D选项取到球的个数是2,为确定值.故选B. √ 3.下列变量中,哪些是随机变量,哪些是离散型随机变量?并说明理由. (1)某机场一年中每天运送乘客的数量; 解:某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数; 解:某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量. (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数; 解:明年5月1日到10月1日期间,所查酒驾的人数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量. (4)一瓶果汁的容量为500±2 mL. 解:由于果汁的容量在498 mL~502 mL之间波动,是随机变量,但不是离散型随机变量. 逐点清(二)　随机变量的取值与试验结果的对立 02 多维度理解 1.随机变量与事件的联系 一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是任意实数,那么X=a,X≤b,X>b等都表示事件,而且: (1)当a≠b时,事件X=a与X=b______; (2)事件X≤a与X>a相互对立,因此P(X≤a)+P(X>a)=___. 互斥 1 2.解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点 (1)关键点:解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值对应的意义,即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果. (2)注意点:解答过程中不要漏掉某些试验结果. 1.袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值个数为 (　 ) A.25 B.10 C.7 D.6 解析:X的可能取值为1+2=3,1+3=4,1+4=5=2+3,1+5=6=4+2,2+5=7=3+4, 3+5=8,4+5=9,共7个. √ 细微点练明 2.在一次比赛中,需回答三个问题,比赛规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值的个数为 (　 ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:可能回答全对,两对一错,两错一对,全错四种结果,相应得分为300分,100分,-100分,-300分,因此甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值有4个. √ 3.写出下列随机变量可能取的值,并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)袋中有大小相同的红球10个,白球5个,从袋中每次任取1个球,取后不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数; 解:设所需的取球次数为X,则X=1,2,3,4,…,11,X=i表示“前(i-1)次取到的均是红球,第i次取到白球”,这里i=1,2,3,4,…,11. (2)从分别标有数字1,2,3,4的4张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和. 解:设所取卡片上的数字之和为X,则X=3,4,5,6,7. X=3表示“取出标有1,2的两张卡片”; X=4表示“取出标有1,3的两张卡片”; X=5表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”; X=6表示“取出标有2,4的两张卡片”; X=7表示“取出标有3,4的两张卡片”. 逐点清(三)　随机变量之间的关系 03 一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是实数且a≠0,则Y=aX+b也是一个随机变量.由于X=t的充要条件是Y=at+b,因此P(X=t)=P(Y=at+b). [典例]　某商场的促销员是按照下述方式获取税前月工资的:底薪500元,每工作1 h再获取35元.从该商场促销员中任意抽取一名,设其月工作时间为X h,获取的税前月工资为Y元. (1)当X=80时,求Y的值; 解:由题意知Y=500+35X,当X=80时,Y=500+35×80=500+2 800=3 300. (2)若P(Y>2 950)=0.27,求P(X≤70)的值. 解:当Y>2 950时,500+35X>2 950, ∴35X>2 450,解得X>70, 即P(Y>2 950)=P(X>70)=0.27. ∴P(X≤70)=1-P(X>70)=1-0.27=0.73. [思维建模] 求解此类问题的关键是明确随机变量的取值所表示的含义.对于变量间的关系问题,可类比函数关系求解. 某快递员是按下述方式获取税前月工资的:底薪1 200元,每送取一件商品获取3元.从该快递公司中任意抽取一名快递员,设其月送商品件数为X,获取的税前月工资为Y元. (1)写出X,Y之间的关系式; 解:由题意得Y=3X+1 200. 针对训练 (2)当X=1 200时,求Y的值; 解:当X=1 200时, Y=1 200×3+1 200=4 800. (3)若P(X≤2 000)=0.6,求P(Y>7 200)的值. 解:当X≤2 000时,Y≤7 200, ∴P(X≤2 000)=P(Y≤7 200)=0.6, ∴P(Y>7 200)=1-P(Y≤7 200)=1-0.6=0.4. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.[多选]给出下列四个命题正确的是 (　 ) A.某次数学期中考试中,其中一个考场30名考生中做对选择题第10题的人数是随机变量 B.黄河每年的最大流量是随机变量 C.某体育馆共有6个出口,散场后从某一出口退场的人数是随机变量 D.方程x2-2x-3=0根的个数是随机变量 解析:选项A、B、C对应的量都是随机的实数,故正确;选项D中方程x2-2x-3=0的根有2个是确定的,不是随机变量. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.下列叙述中,是离散型随机变量的为 (　 ) A.将一枚均匀的硬币掷五次,出现正面和反面向上的次数之和 B.某人早晨在车站等出租车的时间 C.连续不断地射击,首次命中目标所需要的次数 D.袋中有2个黑球、6个红球,任取2个,取得一个红球的可能性 解析:选项A,掷硬币不是正面向上就是反面向上,次数之和为5,是常量;选项B,是随机变量,但不能一一列出,不是离散型随机变量;选项D,事件发生的可能性不是随机变量. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.袋中装有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回的条件下依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量ξ,则ξ所有可能取值的个数是 (　 ) A.25 B.10 C.15 D.9 解析:由题意得,两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.袋中装有5个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示“放回3个红球”事件的是 (　 ) A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5 解析:依题意“放回3个红球”表示前3次摸到黑球,第4次摸到红球,故ξ=4. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.抛掷两枚质地均匀的骰子一次,X表示第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差,则X的取值范围为 (　 ) A.{X|0≤X≤5,X∈N } B.{X|-5≤X≤0,X∈Z} C.{X|1≤X≤6,X∈N } D.{X|-5≤X≤5,X∈Z} 解析:因为两枚骰子的点数均可能为1~6的整数,所以X∈{X|-5≤X≤5, X∈Z}. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.抛掷2枚骰子,所得点数之和记为ξ,那么ξ=4表示的随机试验结果是 (　 ) A.2枚都是4点 B.1枚是1点,另1枚是3点 C.2枚都是2点 D.1枚是1点,另1枚是3点,或者2枚都是2点 解析:A表示的是随机试验中ξ=8的其中一个结果,B、C表示的是随机试验中ξ=4的部分结果,而D是代表随机试验中ξ=4的所有试验结果. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值之和是 (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:若甲抢到一题但答错,乙抢到两题都答错,则X=-1;若甲没抢到题,乙抢到三题但答错两题或全错、甲抢到两题,一对一错,乙抢到一题但答错,则X=0;若甲抢到一题并答对,乙抢到两题一对一错或全错、甲抢到三题,两对一错,则X=1;若甲抢到两题且答对,则X=2;若甲抢到三题且答对,则X=3,∴X所有可能取值之和为-1+0+1+2+3=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为 (　 ) A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品 B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品 C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品 D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品 解析:由题意ξ=k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k,因此前k次检测到的都是正品,第k+1次检测到的是一件次品. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知X,Y均为随机变量,且X=2Y,若X的所有可能取值为0,2,4,则Y的所有可能取值为　　　.  解析:因为X=2Y,所以Y=X.又因为X∈{0,2,4},所以Y∈{0,1,2}. 0,1,2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.将4把串在一起的钥匙逐一试开1把锁,其中只有1把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能打开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大可能取值为　　.  解析:由于是依次试验,可能前3次都打不开锁,则剩下一把一定能打开锁,所以试验次数X的最大可能取值为3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.小王钱包中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张用来买晚餐,用X表示这两张金额之和,则X的可能取值为　　　　 .  解析:由题意,随机变量X的可能取值为6,11,15,21,25,30. 其中,X=6表示“抽到的是1元和5元”;X=11表示“抽到的是1元和10元”; X=15表示“抽到的是5元和10元”;X=21表示“抽到的是1元和20元”; X=25表示“抽到的是5元和20元”;X=30表示“抽到的是10元和20元”. 6,11,15,21,25,30 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字,只记得最后三个数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后三个数字(都大于5且两两不同),设他拨到所要号码的次数为ξ,则随机变量ξ的可能取值共有　 种.  解析:因为后三位数字两两不同,且都大于5,所以只能是6,7,8,9中的三个数字,所以有=24种. 24 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.甲进行3次射击,记甲击中目标的次数为ξ,则ξ的取值范围为 　　　　 ;若已知甲一次也未中的概率为0.05,则他至少击中一次的概率为　　　.  解析:甲在3次射击中,可能一次也未中,也可能中1次,2次,3次,故ξ的可能取值为0,1,2,3.因为一次也未中的概率为0.05,即P(ξ=0)=0.05,所以P(ξ>0)=1-0.05=0.95. {0,1,2,3} 　0.95 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ. (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值; 解: ξ 0 1 2 3 结果 取得3个黑球 取得1个白球, 2个黑球 取得2个白球, 1个黑球 取得3个白球 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若规定抽取的3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果如何都加上6分.求最终得分η的可能取值,并判定η的随机变量类型. 解:由题意可得η=5ξ+6, 而ξ可能的取值为0,1,2,3, 所以η对应的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6. 即6,11,16,21,显然η为离散型随机变量. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可获得价值分别为1 000元,2 000元,3 000元的奖品(奖品重复设立),小王对三关中每个问题回答正确与否相互之间没有影响,用X表示小王所获奖品的价值,写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000, X=0表示“第一关就没有通过”; X=1 000表示“第一关通过,而第二关没有通过”; X=3 000表示“第一、二关通过,而第三关没有通过”; X=6 000表示“三关都通过”. $$