4.1.2 第1课时 乘法公式与全概率公式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）  

乘法公式与全概率公式 4.1.2 乘法公式与全概率公式 (概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.能利用条件概率公式得到乘法公式,理解乘法公式的含义. 2.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式,理解全概率公式的含义. 3.了解贝叶斯公式,会利用条件概率、乘法公式和全概率公式推导贝叶斯公式. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　乘法公式 逐点清(二)　全概率公式 逐点清(三)　*贝叶斯公式 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　乘法公式 01 多维度理解 (1)公式:P(BA)=_____________. (2)公式的推导依据:根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率. P(A)P(B|A) [微点助解] (1)乘法公式是条件概率公式的变形应用. (2)乘法公式可理解为事件A与B同时发生的概率等于A发生的概率与A发生的条件下B发生的概率之积. 1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(BA)=(　 ) A. B. C. D. 解析:由题意得P(BA)=P(A)P(B|A)=×=. √ 细微点练明 2.[多选]设P(A|B)=P(B|A)=,P(A)=,则(　 ) A.P(AB)= B.P(AB)= C.P(B)= D.P(B)= 解析:由题意得P(AB)=P(A)P(B|A)=×=,由P(A|B)=, 得P(B)==×2=. √ √ 3.某学校举办闯关比赛,已知某学生通过第一关的概率为0.8,在已知通过第一关的前提下通过第二关的概率为0.5,则该同学两关均通过的概率为　 　.  解析:设该学生通过第一关为事件A,通过第二关为事件B,在通过第一关的前提下通过第二关的概率为P(B|A),因为P(B|A)=,所以P(AB)=P(B|A)P(A)=0.5×0.8=0.4. 0.4 4.一个盒子中有6个白球、4个黑球,从中不放回地每次任取1个,连取2次.求: (1)第一次取得白球的概率; 解:设事件A表示“第一次取得白球”,事件B表示“第二次取得白球”,则事件表示“第一次取得黑球”,由题意得, (1)P(A)==. (2)两次都取得白球的概率; 解:P(AB)=P(A)P(B|A)=×=. (3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率. 解:P(B)=P()P(B|)=×=. 逐点清(二)　全概率公式 02 多维度理解 1.全概率公式 (1)公式:P(B)=_____________________. (2)公式的推导:一般地,如果样本空间为Ω,而A,B为事件,则BA与B是互斥的,且B=BΩ=B(A+)=BA+B,如图所示, 从而P(B)=P(BA+B)=_____________. 由乘法公式可得全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|). P(A)P(B|A)+P()P(B|) P(BA)+P(B) 2.全概率公式的推广 定理1:若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足: (1)任意两个事件均_____,即AiAj=∅,i,j=1,2,…,n,i≠j; (2)A1+A2+…+An=___; (3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n. 则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且P(B)= P(BAi)= _______________. 互斥 Ω P(Ai)P(B) 上述公式也称为全概率公式.n=3时的情形可借助右上图来理解. 1.已知P()=0.6,P(B|A)=0.35,P(B|)=0.2,则P(B)等于(　 ) A.0.26 B.0.27 C.0.28 D.0.29 解析:P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.4×0.35+0.6×0.2=0.26. √ 细微点练明 2.已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机,其占有率和优质率的信息如下表所示. 品牌 甲 乙 占有率 60% 40% 优质率 95% 90% 从该专卖店中随机购买一部智能手机,则买到的是优质品的概率是 (　 ) A.93% B.94% C.95% D.96% 解析:买到的是优质品的概率是0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%. √ 3.长假期间,某人从甲地到乙地驾车出行.已知共有3条路可选,第一条路堵车的概率为,第二条路堵车的概率为,第三条路堵车的概率为.求从甲地到乙地堵车的概率. 解:设事件Bi(i=1,2,3)表示“走第i条路”,事件A表示“堵车”. 则P(B1)=P(B2)=P(B3)=,P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=, 所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=. 所以从甲地到乙地堵车的概率为. 逐点清(三)　*贝叶斯公式 03 多维度理解 1.贝叶斯公式 一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有 P(A|B)==. 2.贝叶斯公式的推广 定理2:若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足: (1)任意两个事件均_____,即AiAj=∅,i,j=1,2,…,n,i≠j; (2)A1+A2+…+An=____; 互斥 Ω (3)__________,i=1,2,…,n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B,有 P(Aj|B) = = . 1>P(Ai)>0 1.若P(B)=0.4,P(A|B)=0.35,P(A|)=0.2,则P(B|A)等于(　 ) A.0.52 B.0.54 C.0.56 D.0.58 解析:P(B|A)==≈0.54. √ 细微点练明 2.某卡车为乡村小学运送书籍,共装有10个纸箱,其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱,但不知丢失哪一箱.现从剩下的9箱中任意打开两箱,结果都是英语书,则丢失的一箱也是英语书的概率为 (　 ) A. B. C. D. √ 解析:用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书,用Bk表示丢失的一箱为k,k=1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书.由全概率公式得P(A)= P(Bk)P(A|Bk)=×+×+×=, P(B1|A)===÷=. 3.根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下的效果:若以A表示事件“试验反应为阳性”,以C表示事件“被诊断者患有癌症”,则有P(A|C)=0.95,P(|)=0.95.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即P(C)=0.005,试求P(C|A). 解:已知P(A|C)=0.95,P(A|)=1-P(|)=0.05,P(C)=0.005,P()=0.995,由贝叶斯公式,得P(C|A)=≈0.087. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.根据近五年的资料显示,某村庄月光照量X(小时)的统计数据(注:月光照量指的是当月的阳光照射总时长)以及在适合温度下,月光照量与草莓花芽分化的概率的关系,表格如下: X/小时 [160,240) [240,320) [320,400) 月份数 27 18 15 草莓花芽分化的概率 0.90 0.95 0.80 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 该村庄现有一批草莓,根据上表,试估计在适合温度下,草莓花芽分化的概率为 (　 ) A.0.85 B.0.89 C.0.91 D.0.95 解析:根据题意,草莓花芽分化的概率为P=×0.90+×0.95+× 0.80=0.89. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测,对此建筑构件实施两次打击,若没有受损,则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85,当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80,则该构件通过质检的概率为 (　 ) A.0.4 B.0.16 C.0.68 D.0.17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:设Ai表示第i次打击后该构件没有受损,i=1,2,则由已知可得P(A1)=0.85,P(A2|A1)=0.8,所以由乘法公式可得P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)= 0.85×0.8=0.68,即该构件通过质检的概率是0.68. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.现有红、黄、绿三个不透明盒子,其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球;黄色盒子内装有两个红球、两个绿球;绿色盒子内装有两个红球、两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球,将取出的球放入与球同色的盒子中;第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.则第二次抽到红球的概率是 (　 ) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:记取到红球为1球,黄球为2球,绿球为3球,记事件Ai,Bi分别表示第一次、第二次取到i球,i=1,2,3,则P(A1)=,P(A2)=P(A3)=,P(B1|A1)=,P(B1|A2)=,P(B1|A3)=, 由全概率公式知P(B1)= P(Ai)P(B1|Ai)=×+××2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.[多选]设A,B是一个随机试验中的两个事件,若P(B)=,P(A|B)=,P(A+B)=,则下列选项一定正确的是(　 ) A.P(AB)= B.P(AB)= C.P(A)= D.P(A)= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为P(B)=,P(A|B)=,所以P(AB)=P(A|B)P(B)=×=,故A正确,B错误;又P(A+B)=且P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以P(A)=P(A+B)-P(B) +P(AB)=-+=,故C正确,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.某同学进行投篮练习,若他第1球投进,则第2球投进的概率为;若他第1球投不进,则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第2球投进的概率为(　 ) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设A,B分别代表事件“第1球投进”和“第2球投进”, 则由已知条件得P(B|A)=,P(B|)=,P(A)=,则P()=1-P(A)=1-=. 故P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]已知事件A,B满足P(A)=,P(B|A)=,P(|)=,则(　 ) A.P(AB)= B.P(|A)= C.P(B|)= D.P(B)= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析: P(AB)=P(A)P(B|A)=,所以A正确;P(|A)=1-P(B|A)=,所以B错误;P(B|)=1-P(|)=,所以C正确;P()=1-P(A)=,则P(B)=P(A)P(B|A) +P()P(B|)=×+×=,所以D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知A,B为两个随机事件,P(B)=0.3,P(B|A)=0.9,P(B|)=0.2,则P(A)=(　 ) A.0.1 B. C.0.33 D. 解析:由全概率公式可得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=0.9P(A) +0.2[1-P(A)],即0.3=0.7P(A)+0.2,解得P(A)=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.越来越多的人喜欢参加户外极限运动,据调查数据显示,A,B两个地区分别有3%,8%的人参加户外极限运动,两个地区的总人口数的比为2∶3.若从这两个地区中任意选取一人,则此人参加户外极限运动的概率为p1;若此人参加户外极限运动,则此人来自A地区的概率为p2,那么 (　 ) A.p1=,p2= B.p1=,p2= C.p1=,p2= D.p1=,p2= √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设M=“此人参加户外极限运动”,R=“此人来自A地区”,S=“此 人来自B地区”.依题意,得P(R)=,P(S)=,P(M|R)=,P(M|S)=,所以p1=P(M)=P(MR)+P(MS)=P(M|R)P(R)+P(M|S)P(S)=×+×==;p2=P(R|M)====. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.来自某高中三个班级的60个学生参加某大学的三位一体面试,其中1班10人,2班20人,3班30人,面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽一位,面试完毕以后再选择下一位面试,则1班的所有学生先于其他两个班完成面试的概率的是 (　 ) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:记“最后面试的学生来自2班”为事件B,“最后面试的学生来自3班”为事件C,“1班参加面试的学生先于其他两班学生完成面试”为事件D,显然事件B,C互斥,则D=BD+CD.当事件B发生时,只需考虑1,3两个班所有参加面试的学生中最后面试的那位来自3班,则P(BD)=P(B)P(D|B)=×=.当事件C发生时,只需考虑1,2两个班所有参加面试的学生中最后面试的那位来自2班,则P(CD)=P(C)P(D|C)=×=.所以P(D)=P(BD)+P(CD)=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.[多选]有甲、乙两个小组参加某项测试,甲组的合格率为70%,乙组的合格率为90%.已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的70%,30%.从这两组组成的总体中任选一个人,用事件A1,A2分别表示选取的该人来自甲、乙组,事件B表示选取的该人测试合格,则下列结论正确的是 (　 ) A.P(A1B)=0.49 B.P(B|A1)=0.9 C.P(A2B)=0.21 D.P(B)=0.76 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由已知可得,P(A1)=0.7,P(A2)=0.3,P(B|A1)=0.7,P(B|A2)=0.9.根据乘法公式可知P(A1B)=P(B|A1)P(A1)=0.7×0.7=0.49,故A正确; 由已知可得P(B|A1)=0.7,故B错误; 根据乘法公式可知P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=0.9×0.3=0.27,故C错误; 因为P(B)=P(A1B)+P(A2B)=0.49+0.27=0.76,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(B|A)=0.8,则P(B|)=　　　.  解析:因为P(A)=0.4,所以P()=1-P(A)=0.6,由全概率公式得P(B)= P(A)P(B|A)+P()P(B|),所以0.5=0.4×0.8+0.6·P(B|),解得P(B|) =0.3. 0.3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.已知P(A)=0.4,P(B|A)=0.5,P(A|B)=0.25,则P(B)=　　　.  解析:由概率乘法公式可知,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B), 即0.4×0.5=0.25P(B),解得P(B)==0.8. 0.8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三家产品数所占比例为2∶3∶5,混合在一起,现取到一件产品为正品,试判断它是由甲、乙、丙三个厂中哪厂生产的可能性最大. 解:“取到一件产品为正品”的概率为0.95×+0.90×+0.80× =0.86,则它是甲厂的概率为=,是乙厂的概率为 =,是丙厂的概率为==,所以它是丙厂生产的概率最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.某公司对购买其产品的消费者进行了调研.已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为33%,且这些消费者可以分为A,B,C三类,其中A类消费者占30%,其在一年内再次购买产品的概率为60%;B类消费者占40%,其在一年内再次购买产品的概率为30%;C类消费者占x%,其在一年内再次购买产品的概率为y%. (1)求x与y的值; 解:记一年内再次购买产品为事件D,消费者是A类消费者记为事件A,消费者是B类消费者记为事件B,消费者是C类消费者记为事件C, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则P(A)=30%,P(B)=40%,P(C)=x%, P(D|A)=60%,P(D|B)=30%,P(D|C)=y%, 所以P(A)+P(B)+P(C)=30%+40%+x%=1,解得x=30. 所以P(D)=30%×60%+40%×30%+30%×y%=33%,解得y=10. (2)若一名消费者在一年内再次购买了产品,求其是B类消费者的概率. 解:依题意可得P(B|D)====. $$